Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden

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1 Wissenschaftliches Arbeiten Quantitative Methoden Prof. Dr. Stefan Nickel WS 2008 / 2009

2 Gliederung I. Motivation II. III. IV. Lesen mathematischer Symbole Wissenschaftliche Argumentation Matrizenrechnung V. Metriken VI. Algorithmen VII. Optimierungsprobleme & Optimierungsverfahren VIII. Praktischer Umgang mit Daten Seite 2

3 Gliederung I. Motivation Seite 3

4 I. Motivation: Ziel der Veranstaltung Was ist das Ziel dieser Veranstaltung? Das Ziel ist die Verbesserung der Fähigkeiten zum selbständigen wissenschaftlichen Arbeiten. Wie sieht die Zielgruppe aus? Der Kurs ist vor Allem auf Studierende ausgelegt, die gerade mit dem Hauptstudium beginnen / begonnen haben. Seite 4

5 I. Motivation: Ziel der Veranstaltung Wie wird das Ziel erreicht? Welche Vorteile bringt diese Veranstaltung mir, als Student? Im Rahmen des Kurses werden grundlegende mathematische Kenntnisse vermittelt und elementare Verfahrensweisen zum wissenschaftlichen Arbeiten vorgestellt. Diese erleichtern im weiteren Verlauf des Studiums das Verständnis des Vorlesungsstoffs das Lesen wissenschaftlicher Arbeiten (in Hinblick auf die zukünftige Seminararbeit) das eigenständige Erstellen wissenschaftlicher Texte (in Hinblick auf die zukünftige Diplomarbeit) Seite 5

6 I. Motivation: Ziel der Veranstaltung Am Ende des Semesters gibt es eine Abschlussprüfung. Jeder Kursteilnehmer, der diese Prüfung besteht, erhält einen Schein (mit Note) über die erfolgreiche Teilnahme am Kurs. Seite 6

7 Gliederung I. Motivation II. Lesen mathematischer Symbole i. Das griechische Alphabet ii. iii. iv. Aussagen Mengen Summen Seite 7

8 II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet alpha lambda phi beta my chi gamma ny psi delta xi omega epsilon zeta eta theta iota kappa o pi rho sigma tau upsilon Seite 8

9 II. Lesen mathematischer Symbole: Das griechische Alphabet Gamma Delta Theta Lambda Pi Sigma Phi Psi Omega Seite 9

10 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Definition: Eine Aussage ist die gedankliche Widerspiegelung eines Sachverhalts in Form eines Satzes einer natürlichen oder künstlichen Sprache. Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch. Man spricht vom Prinzip der Zweiwertigkeit. Man nennt wahr bzw. falsch den Wahrheitswert der Aussage und bezeichnet ihn mit W (oder 1) bzw. F (oder 0). [vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001] Eine Aussage ist die Zuerkennung eines n-stelligen Prädikates an n Subjekte. Jeder Aussage wird ein Wahrheitswert W = wahr oder F = falsch zugeordnet, und zwar nur einer von beiden. [vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972] Seite 10

11 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Dieses Kind ist 7 Jahre alt. 1 Subjekt: Kind 1 Prädikat: ist 7 Jahre alt Max ist älter als Moritz 2 Subjekte: Max, Moritz 1 Prädikat: ist älter als Max ist größer als Moritz und kleiner als 1.80m 3 Subjekte: Max, Moritz, 1.80m 2 Prädikate: ist größer als, ist kleiner als Seite 11

12 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Operationen mit Aussagen Negation: Sei A eine Aussage, dann wird die Negation von A mit bzw. bezeichnet. Da A entweder wahr oder falsch ist, wird die Negation durch die folgende Wahrheitstafel definiert: Sprechweise: Nicht A Beispiele: Seite 12

13 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Operationen mit Aussagen Konjunktion: Sind A und B zwei Aussagen, so kann man eine zusammengesetzte Aussage bilden, die nur dann wahr ist, wenn A und B gleichzeitig wahr sind. und wird mit bezeichnet. Sprechweise: A und B Bemerkung: Seite 13

14 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag und minimieren den Faktoreinsatz. 5 ist gerade und 7 ist durch 2 teilbar. Heute habe ich Uni und morgen ist Freitag. Seite 14

15 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Operationen mit Aussagen Disjunktion: Für zwei Aussagen A und B heißt die Disjunktion A oder B:, d.h. ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist. Sprechweise: A oder B Bemerkung: Seite 15

16 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag oder minimieren den Faktoreinsatz. 5 ist gerade oder 7 ist durch 2 teilbar. Heute habe ich Uni oder morgen ist Freitag. Seite 16

17 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Operationen mit Aussagen Implikation: Die Aussage A impliziert logisch die Aussage B. Sprechweise: Wenn A, dann B A impliziert B Aus A folgt B B ist notwendig für A A ist hinreichend für B Seite 17

18 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen minimieren den Faktoreinsatz, wenn sie den Faktorertrag maximieren. 5 ist gerade ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist. Morgen ist Freitag ist eine notwendige Bedingung dafür, dass ich heute Uni habe. Seite 18

19 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Operationen mit Aussagen Äquivalenz: Die Aussagen A und B heißen logisch äquivalent, wenn entweder A und B wahr oder A und B falsch sind. Sprechweise: A ist äquivalent mit B A dann und nur dann, wenn B A genau dann, wenn B A ist notwendig und hinreichend für B Seite 19

20 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Die nach dem Wirtschaftlichkeitsprinzip handelnden Unternehmen maximieren den Faktorertrag genau dann, wenn sie den Faktoreinsatz minimieren. 5 ist gerade ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 7 durch 2 teilbar ist. Ich habe heute Uni ist äquivalent mit der Aussage, dass morgen Freitag ist. Seite 20

21 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beschränkte Quantifizierungen: Häufig ist es vorteilhaft, sich bei Quantifizierungen nur auf die Elemente einer vorgegebenen nichtleeren Menge zu beziehen: All-Quantor Existenz-Quantor für alle Elemente aus der Menge es gibt ein Element aus der Menge Bemerkung: Es ist nicht wahr, dass für alle Elemente in M die Aussage p(x) gilt. ist äquivalent zu Es existiert ein Element in M, für die die Aussage p(x) nicht gilt. Seite 21

22 II. Lesen mathematischer Symbole: Aussagen Beispiele: Für alle Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen gilt, dass sie gerade sind. Es existiert mindestens eine Zahlen aus der Menge der ganzen Zahlen für die gilt, dass sie gerade ist. Egal durch welche Zahl aus der Menge M man 10 dividiert, das Ergebnis ist immer kleiner als 3. In der Menge M gibt es Zahlen, durch die man 10 dividieren kann, um ein Ergebnis zu erhalten, das kleiner als 3 ist. Alle Zahlen zwischen 2 und 4 sind gleich 5 sind. Die Zahl 5 liegt zwischen 2 und 4. Seite 22

23 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Definition: Eine Menge A ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohldefinierter Objekte a unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge... Mengen können beschrieben werden durch Aufzählung aller ihrer Elemente in geschweiften Klammern oder durch eine definierende Eigenschaft, die genau den Elementen der Menge zukommt. [vgl. Bronstein, Semendjajew et al.: Taschenbuch der Mathematik. 2001] Eine Menge ist die Zusammenfassung wohldefinierter Objekte, die Elemente der Menge. Sie wird entweder durch Aufzählung oder durch Aussagen, die Zugehörigkeiten eindeutig festlegen, gegeben. [vgl. Stöppler: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Lineare Algebra und ökonomische Anwendung. 1972] Seite 23

24 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Beispiele: 3 Elemente: 2, 4, 7 4 Elemente: Uwe, Gabi, Elke, Claudia Unendlich viele Elemente: alle reellen Zahlen 2 Elemente: 2, 4 Seite 24

25 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Teilmenge: Sind A und B Mengen und gilt so heißt A Teilmenge von B:. Mit anderen Worten: A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch zu B gehören. Gibt es für in B weitere Elemente, die nicht in A vorkommen, so heißt A echte Teilmenge von B, und man schreibt: Beispiel:, C ist echte Teilmenge von A. Seite 25

26 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Operationen mit Mengen Vereinigung: Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge oder Vereinigung ist definiert durch Sprechweise: A vereinigt mit B Bemerkung: Seite 26

27 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Beispiele: Seite 27

28 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Durchschnitt: Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge oder der Durchschnitt ist definiert durch Sprechweise: A geschnitten mit B Bemerkung: Seite 28

29 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Beispiele: Seite 29

30 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Komplement: Das relative Komplement einer Menge B bzgl. einer Menge A oder die Differenz von A und B, bezeichnet mit, ist die Menge all der Elemente, die in A, aber nicht in B liegen: Das absolute Komplement einer Menge A, bezeichnet mit ist das relative Komplement von A bzgl. der universellen Menge U (auch häufig mit Grundgesamtheit G bezeichnet), nämlich die Menge all der Elemente, die nicht in A liegen (aber in U): Sprechweise: A ohne B Seite 30

31 II. Lesen mathematischer Symbole: Mengen Beispiele: Seite 31

32 II. Lesen mathematischer Symbole: Summen Die wichtigsten Summenformeln: Arithmetische Summen: Wichtiger Spezialfall: Seite 32

33 II. Lesen mathematischer Symbole: Summen Geometrische Summe: Wichtiger Spezialfall: Seite 33

34 II. Lesen mathematischer Symbole: Summen Sonstige wichtige Summen: Seite 34

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