Start: 12. Oktober 2015 Kontakt: Dr Heinz Haberzettl ( ) Büro : C Schöfferstrasse 3 (Hochhaus)

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1 Informationen zur Vorlesung Vorlesungen Montag: 3.Block - 4. Block ab 1:45 Uhr 3 SWS Hörsaal C im Hochhaus der h-da Übungen ( alle 14 Tage ) Montag: 5.Block 1 SWS Hörsaal C und 08.0 (im Hochhaus der h-da) Betreuer: Heinz Haberzettl / Fabian Gernandt Start: 1. Oktober 015 Kontakt: Dr Heinz Haberzettl ( heinz.haberzettl@h-da.de ) Büro : C Schöfferstrasse 3 (Hochhaus) Tutor: Fabian Gernandt ( fabian.gernandt@stud.h-da.de)

2 Mathematik für Chemiker I Themenüberblick 1. Aufbau des Zahlensystems, reelle und komplexe Zahlen. Folgen, Reihen und Grenzwerte 3. Funktionen 4. Differentialrechnung von Funktionen einer Variablen 5. Differentialrechnung von Funktionen mehrerer Variablen 6. Potenzreihenentwicklung von Funktionen 7. Integration von Funktionen

3 Literaturempfehlungen: Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1-3 Vieweg und Teubner, 009 ISBN: ferner Hans Gerhard Zachmann, Ansgar Jüngel Mathematik für Chemiker Wiley-VCH ISBN: Götz Brunner, Reiner Brück Mathematik für Chemiker Spektrum - Akademischer Verlag ISBN:

4 Literaturempfehlungen: Die Reihe selbstorganisiert erlernen von Frau OStR. Ursula Pirkl mit den Themenheften - Grundlegendes zu Algebra und Funktionen - Differenzialrechnung - Integralrechnung - Lineare Algebra (.Semester ) - Stochastik (.Semester ), um grundlegende Kenntnisse aufzufrischen und zu fixieren. Mit diesen Arbeitsheften wurde und wird im Vorbereitungskurs MatheFit erfolgreich mit Erstsemestern gearbeitet. ( siehe auch ) Mathe-Lernzentrum, eine Kooperation des Kompetenzzentrum Lehre plus mit dem Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften )

5 Informationen zur Vorlesung Aktuelle Informationen (Skripte, Übungsblätter, etc.) unter: Zu den Übungen Jede Woche wird in der Vorlesung ein Übungszettel ausgeteilt, der in der nächsten Woche abzugeben ist und in den darauf folgenden Übungsstunden besprochen wird. Die Bearbeitung und Abgabe der Übungszettel wird allen Studierenden zur kontinuierlichen Vorbereitung auf die Klausur am Semesterende empfohlen. Leistungsnachweis Der Leistungsnachweis wird mit einer schriftliche Prüfung (Klausur) durchgeführt. Es werden insgesamt drei Termine angeboten.

6 1. Mengen und Teilmengen Der naive Ansatz von G. Cantor lässt sich zusammenfassen in Definition 1: Eine Menge ist die Zusammenfassung von Objekten unserer Anschauung und unseres Denkens zu einem Ganzen. Die so zusammengefassten Objekte werden Elemente der Menge genannt. Ist also m ein Element einer Menge M, so schreiben wir kurz m M, sonst m M ( für die Aussage (x M) ). Georg Cantor 3.März Januar 1918 (Gründer der Naiven Mengenlehre) machte sein Abitur in Darmstadt. 6

7 Die leere Menge Die einfachste vorstellbare Menge ist diejenige, welche gar keine Elemente enthält. Diese heißt leere Menge und wird mit dem Symbol ( oder häufig auch mit {} ) bezeichnet. Enthält dagegen M wenigstens ein Element, so sagen wir, die Menge ist nicht leer. Diese einfachste Menge hat die Eigenschaft, in jeder anderen Menge enthalten zu sein, da sie gar kein Element besitzt. 7

8 Allgemein definieren wir: Definition : Es sei M eine Menge. Ein Menge N, für die jedes Element n N auch in M liegt, für die also n N : n M gilt, nennen wir eine Teilmenge von M und schreiben dafür N M (oder nennen M eine Obermenge von N und schreiben M N ). Eine genauere Schreibweise ist N M, N M ( gelesen N ist eine echte Teilmenge von M ). 8

9 Mengen lassen sich durch Aufzählung ihrer Elemente darstellen, wenn es sich nur um endlich viele Elemente handelt, oder aber durch Angabe einer die Menge charakterisierenden Eigenschaft (was für beliebige, auch nicht endliche Mengen möglich ist). Beispiel 1 : So kann die Menge M aller griechischen Kleinbuchstaben durch Aufzählung aller Kleinbuchstaben, also M = {α, β, γ, δ, ε, ζ, η, ϑ, ι, κ, λ, μ, ν, ξ, o, π, σ, τ, υ, ϕ, χ, ψ, ω} oder durch die sie charakterisierende Eigenschaft angegeben werden: M = {x : x ist ein griech. Kleinbuchstabe }. lies: Die Menge aller x, für die gilt... In der Schule haben Sie vielleicht auch {x...} statt {x :... } geschrieben. 9

10 Die griechischen Buchstaben zum Nachschlagen finden Sie hier einmal kurz zusammengestellt: α, A alpha η, H eta v, N ny τ, T tau β, B beta ϑ, Θ theta ξ, Ξ xi υ, Υ ypsilon γ, Γ gamma ι, I iota o, O omikron ϕ, Φ phi δ, Δ delta κ, K kappa π, Π pi χ, X chi ε, E epsilon λ, Λ lambda ρ, P rho ψ, Ψ psi ζ, Z zeta μ, M my σ, Σ sigma ω, Ω omega Hinweis: Falls die zugehörigen Schrifttypen auf Ihrem PC, Laptop, Smartphone, etc nicht geladen sind, kann auf dieser Seite jetzt Schrott stehen. ;-) Beispiel : Bezeichnen wir mit A die Menge aller Buchstaben des griechischen Alphabets, so ist A M bzw. M A für die Menge M der griechischen Kleinbuchstaben aus unserem vorigen Beispiel. Hinweis: Im Allgemeinen verwende ich =. 10

11 Verknüpfungen von Mengen Je zwei Mengen kann man nun auf die mannigfachste Art miteinander verknüpfen, um daraus eine neue Menge zu erzeugen: Definition 3: Es seien M und N zwei Mengen. Dann ist durch M N := {x : x M oder x N} = {x : x M x N} die Vereinigung (oder Union) und durch M N := {x : x M und x N} = {x : x M x N} der Durchschnitt von N und M erklärt. Mit M \ N := {x : x M und x N} = {x M : (x N)} wird die Differenz von zwei Mengen bezeichnet. 11

12 Verknüpfungen von Mengen Je zwei Mengen kann man nun auf die mannigfachste Art miteinander verknüpfen, um daraus eine neue Menge zu erzeugen: Definition 4: Es seien M und N zwei Mengen mit N M. Dann bezeichnet man die Mengendifferenz M \ N auch als Komplement von N in M M (N) = M \ N = M N = N M. Bisweilen sind auch die Bezeichnungen N C und N geläufig. Beispiel 3: In der Menge der natürlichen Zahlen sind die Mengen der geraden und ungeraden Zahlen komplementär zueinander. 1

13 Geometrische Interpretation: Es seien M 1 und M jeweils die Mengen der Punkte, die zu den umrandeten Flächen in den folgenden Bildern gehören. Dann ergeben sich für die Relationen M 1 M folgende Konfigurationen ( Euler Diagramme ): M 1 M (M 1 M ) (M 1 M ) 13

14 John Venn jr. 4.Aug April

15 Verknüpfungen von Mengen M N := {x : x M oder x N } = {x : x M x N} M N := {x : x M und x N } = {x : x M x N} M \ N := {x : x M und x N } = {x : x M (x N)} Beispiel 4: Es sei M := {α, β, γ} und N := {γ, δ}. Dann ist M N = {α, β, γ, δ}, M N = {γ} M \ N = {α, β}. und 15

16 Beispiel 5: Venn-Diagramm Wikipedia 16

17 Exkurs: Beweismethoden I. Direkter Beweis Beispiel: Gültigkeit der 3. binomischen Formel Behauptung: ( a b ) ( a + b ) = a² - b² Beweis : ( a b ) ( a + b ) = a a b a + a b b b = a a a b + a b b b = a a b b = a² - b². qed 17

18 Exkurs: Beweismethoden II. Indirekter Beweis Beispiel: Die Wurzel aus ist kein Bruch. Q Behauptung: Die Wurzel aus ist ein Bruch. Annahme: = p q Dann folgt durch Quadrieren = p² q² Q ; p und q sind teilerfremde, ganze Zahlen. q² = p², d.h. aber p ist durch teilbar. Mit p = k => q² = (k)² = 4 k² => q² = 4 k² : => q² = k², d.h. auch q ist durch teilbar. Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind, d.h. keinen gemeinsamen Teiler haben. Also muss die Annahme, dass ein Bruch ist, verworfen werden. 18

19 Exkurs: Beweismethoden III. Beweis durch vollständige Induktion Ablauf der vollständigen Induktion Gegeben sei eine Aussage A(n) über die natürlichen Zahlen N, (n N). 1. : Prüfen des Induktionsanfangs: A(1).a: Formulieren der Induktionsvoraussetzung: Es gelte A(n)..b: Formulieren der Induktionsbehauptung: Zu zeigen ist, dass A(n+1) gilt..c: Beweisen des Induktionsschritts: A(n) => A(n+1) Damit ist (nach Peano) gezeigt, dass die Aussage A(n) für alle n N erfüllt ist, also dass sie auf alle natürlichen Zahlen zutrifft. Die Folge von Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung, Induktionsbehauptung und Induktionsschritt nennt man 19 vollständige Induktion.

20 Exkurs: Beweismethoden III. Beweis durch vollständige Induktion Beispiel: Aussage A(n): Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n², (n -1) = n² n N. 1. Induktionsanfang: Dieser Schritt ist simpel: Für n = 1 gilt 1 = 1².. Induktionsschritt:.a Es gelte die Induktionsvoraussetzung A(n), also dass (n -1) = n² n N. Diese Aussage ist nicht bewiesen, sie ist nur die allgemeine Fassung des Ausdrucks im Induktionsanfang (dort wurden konkrete Zahlen eingesetzt) und wird im Induktionsschritt als Voraussetzung für die nachfolgend zu zeigende.b Induktionsbehauptung A(n+1) (n +1) = (n+1)² n N. 0

21 Exkurs: Beweismethoden III. Beweis durch vollständige Induktion Beispiel: Aussage A(n): Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n², (n -1) = n² n N. 1. Induktionsanfang: Dieser Schritt ist simpel: Für n = 1 gilt 1 = 1².. Induktionsschritt:.a Induktionsvoraussetzung: A(n), also dass (n -1) = n² n N..b Induktionsbehauptung A(n+1) ((n+1) +1) = (n+1)² n N..c Induktionsbeweis: ((n+1)-1) = (n-1) +((n+1)-1) = n² + n = n² + n + 1 = (n + 1)² qed 1

22 Exkurs: Beweismethoden III. Beweis durch vollständige Induktion noch ein Beispiel: n Aussage A(n): i=1 i = n(n+1) n N. n 1. Induktionsanfang: Für n = 1 gilt i=1 i = 1 = 1(1+1) = = 1.. Induktionsschritt:.a Induktionsvoraussetzung: A(n), i n+1.b Induktionsbehauptung A(n+1) i=1 i.c Induktionsbeweis: n+1 i=1 i = (n+1)(n+1 +1) = (n+1)(n+) = n(n+1) = n(n+1) n i=1 = n(n+1) = n²+n+n+ + (n+1) = (n+1)(n+1 +1) n = n²+n n N n N + n+ + (n+1) = i=1 i + (n+1) qed