Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Transkript

1 überblick Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014

2 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Table of Contents 1 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan 2

3 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Allgemeines Übungsblätter sollen im Allgemeinen innerhalb von 2 Wochen bearbeitet werden. Bei Fragen an mich oder den Tutor: : flo@cis.uni-muenchen.de Simon Preißner simon.preissner@gmx.de Hompage der Vorlesung: Link zum Skript:

4 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Termine Vorlesung: Montag 13:00 bis 16:00 Uhr (Raum 123). Übung: Dienstag 10:00 bis 12:00 Uhr (Raum L155). Erste Vorlesung ist heute am 07.April Die zweite Vorlesung ist morgen am Dienstag den 08. April Am 21. und 22. April 2014 ist keine Vorlesung und keine Übung (Ostern). Am 9. und 10. Juni 2014 ist ebenfalls keine Vorlesung und keine Übung (Pfingsten). Am 19. Mai 2014 ist aller Vorausicht nach auch keine Vorlesung. Die Klausur findet am 7. Juli 2014 statt!

5 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Übungsaufgaben Zur Vorlesung gibt es ein Skript von Professor Schulz, dass Sie auf der Internetseite des Kurses herunterladen können. Im Verlauf der Vorlesung werden Übungsblätter herausgegeben, für deren Bearbeitung - je nach Umfang - zwischen einer und zwei Wochen Zeit zur Verfügung stehen. Machen Sie die Übungen! Sie können die Übungsblätter in Gruppen bis zu drei Leuten vor der Übung abgeben. Sie bekommen Ihre Übungsblätter korrigiert zurück.

6 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan Plan Folgende werden in den ersten Wochen behandelt werden: Heute: Mathematische Ausssagen. Morgen Dienstag : Mengen I. Montag : Mengen II. Montag : Mengen III. Montag : I Montag : II

7 Table of Contents 1 Allgemeines Termine Übung und Skript Plan 2

8 Im Bereich der natürlichen Sprache bezeichnen Aussagen Sätze, die entweder wahr oder falsch sein können. Oftmals können die Wahrheitswerte von Aussagen in natürlicher Sprache aber auch im Auge des Betrachters liegen oder sogar ambig sein: München ist schön Der Mond ist rund

9 Aussagen in der Mathematik können dagegen immer nur wahr oder falsch sein: ((x > 0) (y > 0)) ((x + y) > 0) Wenn x und y größer Null sind, dann ist auch immer deren Summe größer Null. Trifft diese Aussage auch zu, falls x und y kleiner Null sind?

10 Mengen Eine erste Definition des Mengenbegriffs soll helfen Mengen zu veranschaulichen: Definition Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen a. a Nach dem deutschen Mathematiker Georg Cantor ( ) Mengen sind also eine Reihe von Elementen. Objekte sind entweder in einer Menge enthalten oder eben nicht: a M a / M

11 Mengen Intuitiv kann man sich Mengen als Schachteln vorstellen, die Elemente enthalten. Es gibt Schachteln, die keine Elemente enthalten (leere Menge): bzw. {}. Ebenso gibt es Schachteln, die wiederum andere Schachteln enthalten. Abbildung : Schachteldarstellung von Mengen

12 Mengen Abbildung : A ist (echte) Teilmenge von B Wichtige Beziehungen von Mengen untereinander stellen die Inklusion und Äquivalenz von Mengen dar: Eine Menge A ist Teilmenge einer anderen Menge B, falls alle Elemente von A auch Element von B sind: A B a : x A x B. Sind auch alle Elemente von B Elemente von A, so sind die beiden Mengen äquivalent: A = B x : x A x B

13 Mengenoperationen Es gibt eine Reihe von Operatoren, die auf Mengen arbeiten. Zwei der häufigsten Operatoren sind der Schnitt und die Vereinigung ( und ). (a) Venndiagramm der Vereinigungsmenge A B (b) Venndiagramm der Schnittmenge A B Abbildung : Venndiagramme einfacher Mengenoperationen

14 beschreiben allgemein Verbindungen von Elementen einer oder mehrerer Mengen. Relationen beschreiben dabei sehr allgemeine Beziehungen von Elementen: Tom, Anna, Hans, Peter, Maria, Heidi Funktionen beschreiben dagegen eindeutige Zuordnungen von Elementen: f : x 2x

15 (a) Relation aus den Tuplen 1, a, 1, c, 2, a, 4, b, 4, c (b) Beispiel einer Funktion f : A B Abbildung : Funktionen und Relationen Sehen Sie den wichtigen Unterschied zwischen den beiden Bildern? Was unterscheidet?

16 Eigenschaften von Relationen bezeichnen Relationen, die eine Menge bestimmter Eigenschaften aufweisen. Diese Eigenschaften, die eine Relation als Äquivalenzrelation auszeichnen, sind: Reflexivität: a A : R(a, a) Transitivität: a, b, c A : (R(a, b) R(b, c)) R(a, c) Symmetrie: a, b A : (R(a, b) R(b, a)

17 Äquivalenzrelationen Wie der Name schon andeutet, weisen Äquivalenzrelationen genau diejenigen Eigenschaften auf, die auch den aus der Mathematik bekannten Gleichheitsoperator oder Äquivalenzoperator = 1 auszeichnen: Reflexivität: R =(a, a), R =(b, b)... (infix: a = a, b = b... ) Transitivität: R =(a, b), R =(b, c) R =(a, c) (infix a = b, b = c a = c) Symmetrie: R =(a, b), R =(b, a) (infix: a = b b = a) 1 Nicht zu verwechseln mit dem aus unterschiedlichen Programmiersprachen bekannten Zuweisungsoperator =.

18 bilden den Zusammenschluss von Mengen und zugeordneten interessanten Relationen bzw. Funktionen auf eben diesen Mengen. Sie dienen in der Mathematik dazu, interessante Strukturen zu untersuchen und zu vergleichen. Eine naheliegende Struktur auf der Menge der natürlichen Zahlen ist zum Beispiel die Struktur N, +,, die aus der Menge der natürlichen Zahlen, der Addition + und der üblichen Ordnung besteht.

19 Eine formale Sprache ist eine abstrakte Sprache, bei der im Unterschied zu konkreten Sprachen nicht die Kommunikation im Vordergrund steht, sondern die mathematische Verwendung. Die sog. Chompsky-Hierarchie bezeichnet eine Hierarchie von formalen Sprachen, die durch unterschiedliche zugrundeliegende Grammatiken generiert werden können. Abbildung : Teilmengenbeziehungen der Sprachklassen in der Chompsky-Hierarchie

20 Formale Sprachen bestehen aus einem Alphabet Σ. Das Alphabet bezeichnet dabei die Menge der Zeichen (Symbole) einer Sprache. Beispiele für Alphabete sind: Σ = {0, 1} Σ = {a,..., z} Σ = {Mann, Frau, Kind, der, die, den, das, lobt}

21 Eine formale Sprache L ist dann definiert als irgendeine beliebige Teilmenge von Σ, wobei Σ alle Worte beliebiger Länge aus Σ bezeichnet: Σ = {a, b} Σ = {ɛ, a, b, aa, ab, bb, aaa, aab,... } L Σ = {a, b, aa, bb, aabbaabb}

22 Eine interessante Klasse von formalen Sprachen ist die Klasse der sog. regulären Sprachen. Diese Klasse von Sprachen umfasst genau diejenigen Sprachen, die mit Hilfe regulärer Ausdrücke beschrieben werden können. Dabei existiert für jede reguläre Sprache ein deterministischer, endlicher Automat, der genau diese Sprache erkennt: Abbildung : DEA der die Sprache L = a b = {b, ab, aab, aaab, aaaab,... } erkennt

23 Fragen?