Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

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1 Mengen und Mengenoperationen (Teil III) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014

2 Table of Contents Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 1 Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 2 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 3 4 5

3 Vereinigung über Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Definition Vereinigung A sei eine Mengenfamilie. Die Menge A := {x B A : x B} heißt Vereinigung von A.

4 Durchschnitt über Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Definition Durchschnitt Sei A eine Mengenfamilie. Die Menge A := {x B A : x B} heißt Durchschnitt von A.

5 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie I Lemma Für beliebige Mengen gelten stets die folgenden Identitäten: A i I B i = i I (A B i ) (1) A i I B i = i I (A B i ) (2) ( i I A i ) ( j JB j ) = i I ( j J(A i B j )) (3) i I ( j J(A i B j )) = j J( i I (A i B j )) (4) ( i I A i ) ( j JB j ) = i I ( j J(A i B j )) (5) i I ( j J(A i B j )) = j J( i I (A i B j )) (6)

6 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie II Die Beweisführung für diese Identitäten sind allesamt ähnlich und sollen hier für 9 vorgestellt werden. Zum Beweisen der Äquivalenz zweier Mengen, reicht es aus zu zeigen dass ein Element genau dann Element der linken Seite ist, wenn es auch Element der rechten Regelseite ist. x (A i I B i ) x ( i I (A B i ))

7 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie III x (A i I B i ) x A ( i I : x B i ) i I : (x A x B i ) i I : x A B i (7) x i I (A B i )

8 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie IV Lemma Für beliebige Mengen gelten stets die folgenden Identitäten: ( i I A i ) ( j JB j ) = i I ( j J(A i B j )) (8) ( i I A i ) ( j JB j ) = i I ( j J(A i B j )) = j J( i I (A i B j )) (9)

9 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie V Beweis von Formel (9). Setze A = i I A i, B = j JB j. Aus der Formel () folgt: A B = ( i I A i ) B = i I (A i B ) (10) = i I ( j J(A i B j )) A B = A ( j JB j ) = j J(A B j ) (11) = j J( i I (A i B j ))

10 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie VI Lemma (De Morgansche Regeln, allgemeine Form) Es sei A i B für alle i I. Es bezeichne die Komplementbildung in B. Dann gilt: ( i I A i ) = i I A i (12) ( i I A i ) = i I A i (13)

11 Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilie VII Der Beweis für Formel (12): x ( i I A i ) x B x i I A i x B ( j I : x A j ) j I : (x B x A j ) (14) j I : x A j j i I A i

12 Table of Contents Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 1 Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 2 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 3 4 5

13 I Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Bei einfachen Mengen kann man nur fragen ob ein bestimmtes Element Teil der Menge ist oder nicht. Eine naheliegende Verallgemeinerung stellt jene dar, wo jedes Element endlich oft auftreten kann und Mengen anhand der Vielfachheit des Auftretens eines gegebenen Elements unterschieden werden können. Diese Mengen sind unter dem Begriff bekannt. Zur Darstellung von werden häufig eckige Klammern [] verwendet. Z.B. ist [a, a, b, e, e, g, m, m, O, r, r, u] die Multimenge der der Buchstaben des Wortes Oberammergau, und [2, 2, 3, 3, 5, 11] ist die Multimenge der Primfaktoren der Zahl Was ist die Menge der Buchstaben von Oberammergau?

14 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Äquivalenz und Teilmengen von Definition Äquivalenz von Zwei sind gleich genau dann, wenn sie die selben Elemente in der selben Vielfachheit enthalten. Definition Teilmultimenge Eine Multimenge A ist Teilmultimenge einer Multimenge B, A m B, wenn jedes Element von A auch in B mit mindestens gleicher Häufigkeit vorkommt.

15 Beispiele Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Es gelten somit folgende Beziehungen: [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] [1, 2, 5] [1, 2, 3] m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] [1, 1, 2, 5] m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] [1, 1, 2, 5, 5] m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] [1, 1, 2, 5, 5, 5] m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5] [1, 1, 2, 3, 5, 5, ] m [1, 1, 2, 2, 2, 5, 5]

16 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Durchschnitt und Vereinigung von Definition Vereinigung von Die Vereinigung von zwei A und B ist diejenige Multimenge A m B, die genau die Elemente enthält, die in einer der beiden Mengen vorkommen und wo ein Element x mit der Vielfachheit max(n, m) in A m B auftaucht, wobei m und n die Anzahl des Vorkommens des Elements X in A bzw. B ist. Definition Durchschnitt von Der Durchschnitt von zwei A und B ist diejenige Multimenge A m B, die genau die Elemente enthält, die in beiden vorkommen und wo ein Element x mit der Vielfachheit min(n, m) vorkommt.

17 Beispiele Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Es gilt somit: [1, 1, 2, 2, 2, 5] m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5] [1, 1, 2, 2, 2, 5] m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 5]

18 Summe und Differenz von Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Definition Summe von Die Summe von zwei A und B ist diejenige Multimenge A + B, die genau die Elemente enthält, die in einer der beiden Mengen vorkommen und wo ein Element x mit der Vielfachheit m + n in A + B auftaucht. Definition Differenz von Die Differenz von zwei A und B ist diejenige Multimenge A \ m B, die genau die Elemente enthält, die in beiden vorkommen und wo ein Element x mit der Vielfachheit m n vorkommt.

19 Beispiele Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von Es gilt somit: [1, 1, 2, 2, 2, 5] + [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5] [1, 1, 2, 2, 2, 5] \ m [1, 3, 3, 3, 5, 5] = [1, 2, 2, 2]

20 Table of Contents 1 Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 2 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 3 4 5

21 Wohlfundiertheit Zur genaueren Formalisierung des Mengenkonzepts wird in aller Regel das Konzept der Wohlfundiertheit gefordert. Definition Wohlfundiertheit Eine nichtleere Menge M ist wohlfundiert genau dann wenn, M ein Element A M enthält für das gilt: M A =. Wenn gilt A M und A M =, wird A auch ɛ-minimales Element genannt. Das Prinzip der Wohlfundiertheit fordert also, dass jede nichtleere Menge eine ɛ-minimales Element enthält. Dies hat zur Folge, dass es keine unendlich absteigende Ketten von Mengen git, die in einer Elemtschaftsbeziehung stehen. M i+1 M i M 2 M 1 M 0

22 Nichtfundierte Mengen In jüngerer Zeit wurde von verschiedener Stelle bemerkt, dass es zur Modellierung von gewissen Problemen der Informatik und der Linguistik angebrachter ist, auf die Wohlfundiertheit von Mengen zu verzichten und auch nichtfundierte Mengen zuzulassen. Solche nichtfundierte Mengen sind hilfreich bei der Formalisierung zyklischer Datenstrukturen, oder auch in der Linguistik, etwa für logische Modellierung von Selbstreflexionen. Die Konzepte von Mengen bleiben aber von der Frage der unbetroffen und wir werden nicht näher auf nichtfundierte Mengen eingehen.

23 Table of Contents 1 Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 2 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 3 4 5

24 Aussagenlogische Tautologien und Mengen I Viele mengentheoretischen Identitäten können durch Verwendung von aussagenlogischen Tautologien bewiesen werden. Dieser Zusammenhang ist nicht verwunderlich, da die mengentheoretischen Operationen,, über die aussagenlogischen Junktoren,, definiert werden. Was ist die Definition der Vereinigung von zwei Mengen A, B? Was ist die Definition des Durchschnitts von zwei Mengen A, B?

25 Aussagenlogische Tautologien und Mengen II Es seien A, B und C beliebige Teilmengen von M. Dann sind alle mengentheoretischen Aussagen wahr, die wir aus den Tautologien 1-11 dadurch erhalten, dass wir jedes Vorkommen von ersetzen α, β und γ durch A, B bzw. C ersetzen. mit mit mit (Komplementbildung in M) mit =

26 Aussagenlogische Tautologien und Mengen II Es seien wiederum A, B und C beliebige Teilmengen von M. Tautologie (1): α α α A A = A Tautologie (7): (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (A (B C)) = ((A B) (A C)) Tautologie (9): ( α) = α ( A) = A Tautologie (11): (α β) ( α β) (A B) = ( A B)

27 Aussagenlogische Tautologien und Mengen III Ganz allgemein lassen sich sogar alle aussagenlogischen Tautologien der Form α β immer in mengentheoretische Identitäten übersetzen, wenn sie nur die Junktoren, und enthalten. Auch andere aussagenlogische Tautologien lassen sich in allgemeingültige Aussagen über Menge übersetzen.

28 Aussagenlogische Tautologien und Mengen IV Aus den Tautologien 12 und 13 erhält man zum Beispiel folgende Gesetzmäßigkeiten: (A B) (A B = B) (A B) (A B = A) Wie lauten die entsprechenden aussagenlogischen Tautologien? (Hinweis: Wie ist die Teilmengenbeziehung A B definiert?)

29 Russellsche Antinomie Das sog. Russelsche Antinomie zeigt die Grenze der naiven Mengentheorie auf. Wenn man annimmt, dass man wirklich in beliebiger Weise wohlunterschiedene Objekte zu einer Menge zusammenfassen kann könnte man folgende Menge definieren: M := {A A ist Menge, A A} M soll die Menge aller Mengen sein, die sich nicht selbst enthalten. Da M sich nicht selbst enthält, sollte M in M enthalten sein: M M M M M M M M

30 Das Barbier-Paradoxon Es gibt zahlreiche populäre Formulierungen der Russelsche Antinomie. Eines davon ist das sog. Barbier-Paradoxon: Barbier-Paradoxon Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, nur nicht die, die sich selbst rasieren. Wenn das so ist, rasiert der Barbier von Sevilla sich dann selbst? Wenn er sich also nicht selbst rasiert, dann rasiert er sich selbst. Wenn er sich selbst rasiert, dann rasiert er sich nicht selbst.

31 Table of Contents 1 Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Vereinigung und Durchschnitt über Mengenfamilien Gesetze 2 Äquivalenz und Teilmengen von Durchschnitt und Vereinigung von Summe und Differenz von 3 4 5

32 tl;dr Gesetze für Operationen zwischen Mengenfamilien Wie für die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen, gibt es eine Reihe von Regelmäßigkeiten für die Vereinigung und den Durchschnitt über Mengenfamilien. Die allgemeinen De Morganschen Regeln sind die Verallgemeinerung der Komplementbildung von Mengenfamilien. sind Mengen die anhand der Vielfachheit ihrer Elemente unterschieden werden. Der Durchschnitt und die Vereinigung von sind analog zu den normalen Mengen definiert. Alle aussagenlogischen Tautologien lassen sich in eine mengetheoretische Identität überführen. Die Russelsche Antinomie ( Barbier von Sevilla ) zeigt die Grenzen der naiven Mengentheorie auf.