348 Anhang A Vektorrechnung

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1 348 Anhang A Vektorrechnung A Vektorrechnung Kräfte, Momente und weitere Größen treten in der Mechanik als Vektoren im Anschauungsraum auf, d.h. zu ihrer Beschreibung ist neben einem Betrag die Angabe von Richtung, Richtungssinn und ev. auch des Angriffspunktes erforderlich. A.1 Eigenschaften von Vektoren Freie, linienflüchtige und gebundene Vektoren Als freier Vektor a wird die Menge aller gerichteten Strecken bezeichnet, die mit a gleiche Längen, Richtungen und Orientierungen im dreidimensionalen Anschauungsraum IR 3 besitzen. Alle Elemente dieser Menge können somit durch Parallelverschiebung eines beliebigen anderen Elementes erzeugt werden. Ein Vektor ist linienflüchtig, wenn er nur längs der durch ihn selbst definierten Wirkungslinie verschoben werden darf, er heißt gebunden, wenn sein Angriffspunkt fest im Raum definiert ist und er nicht mehr verschoben werden darf. Addition und Subtraktion Die Addition zweier Vektoren a und b geschieht durch Parallelverschiebung von b in den Endpunkt von a, das Ergebnis c ist dann der Vektor vom Anfangspunkt von a zum Endpunkt von b. Eine Differenz d = a b wird durch Anhängen des entgegengesetzten Vektors von b, b, ana erzeugt.

2 A.1 Eigenschaften von Vektoren 349 Betrag eines Vektors Der Betrag a eines Vektors a ist die Länge a der durch a repräsentierten Strecke im Raum in den gewählten Maßeinheiten. Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor, ein Vektor der Länge 0 heißt Nullvektor. Es gilt: a = a = a T a Kollineare und komplanare Vektoren Kollineare Vektoren sind zueinander parallel, eine Gruppe komplanarer Vektoren besitzt eine gemeinsame Senkrechte, d.h. komplanare Vektoren lassen sich auf eine gemeinsame Ebene parallelverschieben. Linear abhängige und unabhängige Vektoren Die Vektoren a 1, a 2, a 3 heißen linear abhängig, wenn es reelle Zahlen α 1,α 2,α 3 gibt so daß α 1 a 1 + α 2 a 2 + α 3 a 3 = 0 und α α2 2 + α2 3 > 0 gilt, d.h. wenn mindestens ein Vektor a i durch eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren a j, a k dargestellt werden kann. Andernfalls heißen sie linear unabhängig. 3 linear abhängige Vektoren a 1, a 2, a 3 sind immer komplanar. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Das Ergebnis der Multiplikation eines Vektors a mit einem Skalar (reelle Zahl) λ ist ein Vektor b, dermita Richtung und Orientierung gemeinsam hat und den Betrag b = λ a besitzt. Es gilt: a λ = λ a Kommutativität λ (a + b) = λ a + λ b Distributivität Skalarprodukt Das Skalarprodukt a T b (auch inneres Produkt genannt) zweier Vektoren ist eine reelle Zahl λ mit λ := a b cos ϕ (ϕ ist der von a und b eingeschlossene Winkel). Es gilt: a T b = b T a Kommutativität a T (b + c) = a T b + a T c Distributät aber: (a T b) c a (b T c) (im allgemeinen!)

3 350 Anhang A Vektorrechnung Vektorprodukt / Kreuzprodukt Das Ergebnis des Kreuz- oder Vektorproduktes a b ist ein Vektor c, dersenkrecht auf a und b steht, den Betrag c = a b sin ϕ besitzt und so orientiert ist, daß (a, b, c) ein Rechtssystem bildet. (Rechte-Hand-Regel: a =Daumen;b = Zeigefinger; c = Mittelfinger) Dabei ist ϕ der von a und b eingeschlossene Winkel. Der Betrag c = a b sin ϕ entspricht dem Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogrammes. Es gilt: a b = b a Antikommutativität a (b c) = (a c) b (a b) c Doppeltes Kreuzprodukt (a b) (a b) = a 2 b 2 (a b) 2 (Lagrange) (a b) (c d) = (a c) (b d) (a d) (b c) (Laplace) Spatprodukt Das Spatprodukt a (b c) dreier Vektoren a, b, c ist ein Skalar λ, dessen Wert dem Volumeninhalt des von a, b, c aufgespannten Spates (Parallelepiped) entspricht. Liegen drei Vektoren d, e, f in einer Ebene, gilt immer: d (e f) =0.

4 A.2 Vektoren in Koordinatendarstellung 351 Es gilt: a (b c) = b (c a) =c (a b) Zyklische Vertauschung hingegen: a (b c) = a (c b) = b (a c) Paarweise Vertauschung A.2 Vektoren in Koordinatendarstellung Komponenten eines Vektors Drei Einheitsvektoren e x, e y, e z bilden eine orthonormale Basis, wenn e x e y =0 und e z = e x e y gilt. ( e x, e y, e z ) ist dann ein Rechtsystem. Ein Vektor a kann nun bezüglich eines solchen Koordinatensystems durch Verschieben in den Ursprung O und Angabe der Achsenabschnitte a x,a y,a z dargestellt werden. Rechenregeln Hinsichtlich der Eigenschaften von Vektoren ergeben sich folgende Rechenregeln:

5 352 Anhang A Vektorrechnung Betrag: a = a a = a 2 x + a2 y + a2 z Addition: a x b x a x + b x a + b = a y + b y = a y + b y a z b z a z + b z Subtraktion: a x b x a x b x a b = a y b y = a y b y a z b z a z b z Multiplikation mit Skalar λ: a x λ a x λ a = a λ = λ a y = λ a y a z λ a z Skalarprodukt: a b = a x b x a y b y a z b z = a x b x + a y b y + a z b z Vektorprodukt: a x b x a y b z a z b y a b = a y b y = a z b x a x b z a z b z a x b y a y b x Spatprodukt: a x a y a z a (b c) = b x b y b z c x c y c z = a x (b y c z c y b z ) a y (b x c z b z c x ) + a z (b x c y b y c x ) Schlange-Operator Für einen Vektor r IR 3 ist die Matrix r IR 3,3 (sprich r Schlange ) so definiert, daß das Ergebnis ra dem Kreuzprodukt r a entspricht. r y a z r z a y 0 r z r y ra = r z a x r x a z = r a mit r := r z 0 r x r x a y r y a x r y r x 0 Insbesondere gilt entsprechend dem Vektorprodukt die Regel ra = ãr und r = r T.

6 353 B Definition Matrixrechnung Eine zweidimensionale Anordnung von m n Zahlen a ij in einem Rechteckschema nennt man eine Matrix A. Sie wird auch als (m, n)-matrix bezeichnet, sprich m mal n - Matrix A. Die Zahlen a ij heißen Elemente, der Index i bezieht sich auf die Zeile und j auf die Spalte, in der a ij innerhalb von A steht. Im Gegensatz zu einem Skalar werden i.a. Matrizen und Vektoren fett gesetzt. a 11 a 1n A =... a m1 a mn Die Spalten der Matrix lassen sich zu den Spaltenvektoren a j zusammenfassen; ebenso läßt sich eine Zeile als Zeilenvektor a i angeben: a 1 a 1j A =[a 1,, a n ]=. mit a j =. und a i =[a i1,,a in ] a m a mj Spezielle Matrizen Transponierte einer Matrix Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten (die erste Zeile wird die erste Spalte, die erste Spalte wird zur ersten Zeile usw.) einer Matrix A entsteht die transponierte Matrix A T (gesprochen A transponiert ), sie hat dann n Zeilen und m Spalten. Beispiel: [ ] a 17 A = ; A T = 4a 3b 0 3b sin α 17 sin α Quadratische Matrix Eine Matrix ist quadratisch, wenn m = n gilt (Zeilenzahl = Spaltenzahl). Diagonalmatrix Hier gilt m = n und a ij =0für i j, d.h. eine Diagonalmatrix ist quadratisch und nur auf der Hauptdiagonalen besetzt.

7 354 Anhang B Matrixrechnung Obere Dreiecksmatrix Die Matrix A ist eine obere Dreiecksmatrix, wenn sie quadratisch ist und nur die Elemente der Hauptdiagonalen sowie rechts oberhalb dieser Diagonalen besetzt sind: a ij =0für i>j. Untere Dreiecksmatrix Die Matrix A ist eine untere Dreiecksmatrix, wenn sie quadratisch ist und nur die Elemente der Hauptdiagonalen sowie links unterhalb dieser Diagonalen besetzt sind: a ij =0für i<j. Nullmatrix Eine Matrix heißt m n- Nullmatrix, wenn alle m n Elemente a ij gleich Null sind. Einheitsmatrix Eine Matrix heißt n n- Einheitsmatrix E n, wenn sie quadratisch ist und nur die n Hauptdiagonalelemente mit 1 besetzt sind. Symmetrische Matrix Eine Matrix A ist symmetrisch, wenn A = A T gilt. Antimetrische Matrix Eine Matrix A ist antimetrisch, wenn A = A T gilt. Reguläre Matrix Eine Matrix A ist regulär, wenn sie quadratisch ist und ihre Determinante det A von Null verschieden ist. Singuläre Matrix Eine Matrix A ist singulär, wenn sie quadratisch ist und ihre Determinante det A identisch Null ist.

8 355 Orthogonale Matrix Eine Matrix A ist orthogonal, wenn sie quadratisch ist und ihre Spalten und Zeilen untereinander Skalarprodukte bilden, die Null oder Eins werden, so daß das Produkt AA T = E n zur Einheitsmatrix wird. Kehrmatrix oder inverse Matrix Die Kehrmatrix oder inverse Matrix A 1 zu einer gegebenen Matrix A ist diejenige Matrix, die das Produkt AA 1 = E n zur Einheitsmatrix werden läßt. Daraus folgt u.a., daß die transponierten Matrizen von orthogonalen Matrizen immer auch die inversen Matrizen sind (Anwendung: Transformationsmatrizen im kartesischen Anschauungsraum sind immer orthogonal, die transponierten Matrizen sind automatisch die inversen Transformationen (Rücktransformationen)). Für quadratische 2 2 Matrizen gilt insbesondere ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 Rechenoperationen Spur ( ; A 1 a22 a = 12 a 21 a 11 ) 1 det A Spur einer Matrix, kurz sp A, ist die Summe der Hauptdiagonalelemente einer quadratischen Matrix A, sp A = i a ii. Rang Der Rang einer Matrix A ist die Anzahl von linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix. Eine Zeile ist dann linear abhängig, wenn sie durch Linearkombination von anderen Zeilen der Matrix gebildet werden kann, ebenso sind Spalten nur dann linear unabhängig, wenn keine von ihnen durch eine Linearkombination der anderen Spalten gebildet werden kann. Der Rang einer Matrix A ist ebenso die maximale Dimension einer beliebigen quadratischen Untermatrix von A, deren Determinante von Null verschieden ist. Determinante Die Determinante einer Matrix A ist eine skalare Kenngröße dieser Matrix. a 11 a 1n a 11 a 1n det A = det.. =.. a n1 a nn a n1 a nn det A = ( 1) j(π) a 1i,1 a 2i,2 a ni,n π

9 356 Anhang B Matrixrechnung Die Summe ist dabei über alle möglichen Permutationen π der Zahlen 1, 2,,n zu erstrecken. Für Matrizen der Dimensionen 2 und 3 führt diese Definition zu a 11 a 12 a 21 a = a 11 a 22 a 12 a a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 )+a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) a 31 a 32 a 33 Eigenschaften von Determinaten. Sei A eine quadratische n n Matrix. Dann gilt: 1. det A = det A T 2. det λa = λ n det A 3. det (a 1,λa 2, a 3, )=λdet (a 1, a 2, a 3, )=λdet A (Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar, gilt analog für Zeilen) 4. det (a 1, a 3, a 2, a 4, )= det (a 1, a 2, a 3, a 4 ) (Vertauschen zweier Spalten, gilt analog für Zeilen) 5. det (AB) =det (A)det (B) =det (BA) 6. det (Dreiecksmatrix) = Produkt der Hauptdiagonalelemente Addition Voraussetzung zur Addition zweier Matrizen A und B ist, daß sowohl die Zeilenanzahl und auch die Spaltenanzahl von beiden Matrizen identisch sind. Das Ergebnis von A + B = C ist eine Matrix C mit den Elementen c ij = a ij + b ij. Multiplikation Das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix A mit einem Skalar λ ist eine Matrix C mit: A λ = λa = C mit c ij = λa ij Voraussetzung zur Multiplikation A B einer m A n A Matrix A mit einer m B n B Matrix B ist, daß die Zeilenanzahl von B mit der Spaltenanzahl von A identisch ist: n A = m B. Das Ergebnis von A B = C ist eine m A n B Matrix C: A B = C mit c ij = k=n A k=1 a ik b kj Bei quadratischen Matrizen ist des weiteren die Reihenfolge der Multiplikation ist dabei signifikant AB BA!

10 357 Rechenregeln 1. AB BA (von Sonderfällen abgesehen) 2. ABC =(AB)C = A(BC) 3. (AB) T = B T A T 4. (ABCD) T = D T C T B T A T etc. 5. (AB) 1 = B 1 A 1 6. A(B + C) =AB + AC 7. (A + B)C = AC + BC

11 358 Anhang C Tabellen C Tabellen C.1 Griechisches Alphabet A α alpha B β beta Γ γ gamma δ delta E ɛ,ε epsilon Z ζ zeta H η eta Θ θ, ϑ theta I ι iota K κ kappa Λ λ lambda M µ my N ν ny Ξ ξ xi O o omikron Π π,ϖ pi P ρ,ϱ rho Σ σ, ς sigma T τ tau Υ υ ypsilon Φ φ, ϕ phi X χ chi Ψ ψ psi Ω ω omega C.2 Materialdaten ϱ[kg/m 3 ] E[GP a] ν[ ] σ max [N/mm 2 ] Baustahl (R m ) Vergütungsstahl (R m ) Gußeisen (R m ) Al-Legierungen (R m ) Kupfer (R m ) Polyamid Glas Elastomere C.3 Konstanten Gravitationskonstante γ = m 3/kgs2 Erderadius r E = km Erdmasse m E = kg Norm-Erdbeschleunigung g = m/s 2 C.4 Umrechnung von Größen Zoll (engl. inch) 1inch =25.4mm Pferdestärke 1PS = 735.5W