Skalar-, Vektor- und Spatprodukt, Inhalt von 1-, 2-, 3- und höherdimensionalen Parallelotopen und Simplices, Cayley-Menger-Determinante

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1 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 1 Skalar-, Vektor- und Spatprodukt, Inhalt von 1-, 2-, 3- und höherdimensionalen Parallelotopen und Simplices, Cayley-Menger-Determinante November 2007 Zum Verständnis der folgenden Abhandlung werden vorausgesetzt Addition, Subtraktion, skalare Multiplikation und Länge von Vektoren, einige Sätze aus der Geometrie sowie die üblichen Manipulationen von Matrizen, welche Determinanten unverändert lassen, und Determinantengesetze Skalarprodukt Gesucht wird die Länge des Differenzenvektors a-b b=( b x, b y, b z ) a-b=( a x -b x, a y -b y, a z -b z ) φ a=(a x, a y, a z ) Ia-bI 2 =( a x -b x ) 2 + ( a y -b y ) 2 + (a z -b z ) 2 Ia-bI 2 = a 2 x - 2a x b x + b 2 x + a 2 y - 2a y b y + b 2 y + a 2 2 z - 2a z b z + b z Ia-bI 2 = a 2 x - 2a x b x + b 2 x + a 2 y - 2a y b y + b 2 y + a 2 2 z - 2a z b z + b z Ia-bI 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z - 2a x b x - 2a y b y - 2a z b z + b 2 x + b 2 2 y + b z Ia-bI 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z 2( a x b x + a y b y + a z b z ) + b 2 x + b 2 2 y + b z Ia-bI 2 = IaI 2 2( a x b x + a y b y + a z b z ) + IbI 2

2 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 2 Bemerkung: Der Kosinussatz für ein Dreieck mit den Seiten IaI, IbI, und dem eingeschlossenen Winkel φ ergibt Ia-bI 2 = IaI 2 2 IaI IbI cos φ + IbI 2, so dass folgende Definition sinnvoll ist Definition: Skalarprodukt <ab> oder ab der Vektoren a und b : <a,b>: = a x b x + a y b y + a z b z = IaI IbI cos φ ab: = a x b x + a y b y + a z b z = IaI IbI cos φ Das Skalarprodukt ist bilinear und symmetrisch Orthogonalität von Vektoren: Die Vektoren a=(a x, a y, a z ) und b=( b x, b y, b z ) sind orthogonal genau dann, wenn <ab> =0 Vektorprodukt Gesucht wird ein Vektor c orthogonal zu den beiden Vektoren a,b c=( c x, c y, c z ) b=( b x, b y, b z ) a=(a x, a y, a z ) <a,c> = 0 : a x c x + a y c y + a z c z = 0 <b,c> = 0 : b x c x + b y c y + b z c z = 0 Auflösen des Gleichungssystems a x c x + a y c y = - a z c z I b y

3 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 3 b x c x + b y c y = - b z c z I a y a x b y c x + a y b y c y = - b y a z c z b x a y c x + b y a y c y = - a y b z c z - (a x b y - b x a y )c x = (a y b z - b y a z )c z c x = (a y b z - b y a z )c z / (a x b y - b x a y ) a x c x + a y c y = - a z c z b x c x + b y c y = - b z c z I b x I a x b x a x c x + b x a y c y = - b x a z c z - a x b x c x + a x b y c y = - a x b z c z (a x b y - b x a y )c y = (-a x b z + b x a z )c z c y = ( -a x b z + b x a z )c z / (a x b y - b x a y ) Der Vektor c hat jetzt folgende Form: c = ( (a y b z - b y a z )c z / (a x b y - b x a y ), (-a x b z + b x a z )c z / (a x b y - b x a y ), c z ) Um Bruchterme zu vermeiden, setzt man die noch variable Größe c z = a x b y - b x a y und es folgt : c = ( a y b z - b y a z, -a x b z + b x a z, a x b y - b x a y ) c = ( a y b z - b y a z, -( a x b z - b x a z ), a x b y - b x a y ) Definition: Vektorprodukt a b der Vektoren a und b : a b := ( a y b z - b y a z, -( a x b z - b x a z ), a x b y - b x a y )

4 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 4 i j k Determinatenschreibweise: a b = a x a y a z b x b y b z Hier bedeuten i,j,k die Einheitsvektoren der Achsen x,y,z Flächeninhalt des Parallellogramms Zu den Vektoren a, b ist der Flächeninhalt A des aufgespannten Parallelogramms gesucht b=( b x, b y, b z ) h = - <ab> a + b IaI 2 φ a=(a x, a y, a z ) IbI cos φ IaI <ab> a IaI 2 a A = IaI IhI A 2 = IaI 2 IhI 2 A 2 = IaI 2 <h,h>

5 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 5 A 2 = IaI 2 (<- <ab> a + b, - <ab> a + b > IaI 2 IaI 2 A 2 = IaI 2 ( <ab> 2 <a,a> - 2 <ab> <a,b> + <b,b> ) IaI 4 IaI 2 A 2 = IaI 2 ( <ab> 2-2 <ab> 2 + IbI 2 ) IaI 2 IaI 2 A 2 = IaI 2 ( - <ab> 2 + IbI 2 ) IaI 2 A 2 = - <ab> 2 + IaI 2 IbI 2 Determinatenschreibweise: A 2 = <a,a> <b,a> <a,b> <b,b> A 2 = - ( a x b x + a y b y + a z b z ) 2 + ( a x 2 + a y 2 + a z 2 )( b x 2 + b y 2 + b z 2 ) Klammer Auflösen, Zusammenfassen und Ausklammern ergibt: A 2 = ( a y b z - b y a z ) 2 + ( a x b z - b x a z ) 2 + ( a x b y - b x a y ) 2 A = sqrt ( ( a y b z - b y a z ) 2 + ( a x b z - b x a z ) 2 + ( a x b y - b x a y ) 2 ) Weil andererseits Ia bi = sqrt ( ( a y b z - b y a z ) 2 + (-( a x b z - b x a z )) 2 + ( a x b y - b x a y ) 2 ) folgt, daß A = Ia bi Das Vektorprodukt a b ist also ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht und als Betrag den Flächeninhalt A des von a und b aufgespannten Parallelogramms hat Aus der Geometrie ist bekannt, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten IaI, IbI und dem Winkel φ gegeben ist zu A = IaI IbI sin φ Damit haben wir ein wichtiges Ergebnis: A = Ia bi = IaI IbI sin φ

6 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 6 Spatprodukt Gesucht ist das Volumen des von den Vektoren a,b,c aufgespannten Parallelotops a b b=( b x, b y, b z ) c=(c x, c y, c z ) ψ a=(a x, a y, a z ) V = A h V = Ia bi IcI cos ψ V = <a b, c > V = ( a y b z - b y a z ) c x - ( a x b z - b x a z ) c y + ( a x b y - b x a y ) c z a x a y a z Determinatenschreibweise: <a b,c > = b x b y b z c x c y c z Definition: Das von den Vektoren a, b, c aufgespannte Parallelepiped hat das Volumen V = < a b, c > Das Produkt <a b, c > heißt Spatprodukt Das Spatprodukt ist zyklisch: < a b, c > = < b c, a> = < c a, b >

7 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 7 Inhalt des Tetraeders bzw 3-dimensionalen Simplex Gesucht ist das Volumen des von den Vektoren a,b,c, aufgespannten Tetraeders b=( b x, b y, b z ) c=(c x, c y, c z ) a=(a x, a y, a z ) a x a y a z V = 1/3 1/2 <a b,c > = 1/3! b x b y b z c x c y c z Man kann die Determinante auch von der transponierten Matrix bilden a x b x c x V = 1/3! a y b y c y a z b z c z

8 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 8 Man kann das Volumen auch über die 4 Eckpunkte des Tetraeders P 0, P 1, P 2, P 2 beschreiben Ausgenutzt werden hierbei die zulässigen Manipulationen für Determinaten wie zum Beispiel Hinzufügen von geeignete Zeilen und Spalten, Addition zweier Zeilen oder Spalten, etc P o (p 0x, p 0y ), P 1 (p 1x, p 1y ), P 2 (p 2x, p 2y ), P 3 (p 3x, p 3y ) P 3 =(p 3x, p 3y, p 3z ) P 2 =(p 2x, p 2y, p 2z ) c=(c x, c y, c z ) b=( b x, b y, b z ) P 1 =(p 1x, p 1y, p 1z ) P 0 =(p 0x, p 0y, p 0z ) a=(a x, a y, a z ) p 1x p 0x p 1y p 0y p 1z p 0z V = 1/3! p 2x p 0x p 2y p 0y p 2z p 0z p 3x p 0x p 3y p 0y p 3z p 0z p 0x p 0y p 0z 1 V = 1/3! p 1x p 0x p 1y p 0y p 1z p 0z 0 p 2x p 0x p 2y p 0y p 2z p 0z 0 p 3x p 0x p 3y p 0y p 3z p 0z 0

9 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 9 p 0x p 0y p 0z 1 V = 1/3! p 1x p 0x p 1y p 0y p 1z p 0z 0 p 2x p 0x p 2y p 0y p 2z p 0z 0 p 3x p 0x p 3y p 0y p 3z p 0z 0 p 0x p 0y p 0z 1 V = 1/3! p 1x p 1y p 1z 1 p 2x p 2y p 2z 1 p 3x p 3y p 3z 1 Bemerkung: Die Volumendarstellung des Tetraeders oder eines 3-dimensionalen Simplex in Abhängigkeit von den Ecken P 0, P 1, P 2, P 2 oder von den Kanten(vektoren) ist zur Generalisierung des Inhalts für nieder- und höherdimensionale Simplices geeignet, was allerdings noch gezeigt werden muß p 0x p 0y p 0z 1 p 1x p 1y p 1z 1 V = 1/3! = 1/3! p 2x p 2y p 2z 1 p 3x p 3y p 3z 1 p 1x p 0x p 1y p 0y p 1z p 0z p 2x p 0x p 2y p 0y p 2z p 0z p 3x p 0x p 3y p 0y p 3z p 0z Inhalt der Strecke bzw des 1-dimensionalen Simplex P 0 (p ox ), P 1 (p 1x ) p 0x 1 l = p 1x - p ox = 1/1! = 1/1! p 1x 1 p 1x - p 0x qed

10 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 10 Inhalt des Dreiecks bzw des 2-dimensionalen Simplex P o (p 0x, p 0y ), P 1 (p 1x, p 1y ), P 2 (p 2x, p 2y ) P 2 (p 2x, p 2y ) p 2x -p 0x p 1x -p 2x p 2y -p 0y p 1y -p 2y p 1y -p 0y P 1 (p 1x, p 1y ) P o (p 0x, p 0y ) p 1x -p 0x A= (p 1x -p 0x )(p 2y -p 0y )-1/2(p 1x -p 0x )( p 1y -p 0y )-1/2(p 2x -p 0x )( p 2y -p 0y )-1/2(p 1x -p 2x )( p 1y -p 2y ) A=1/2p 0x (p 1y -p 2y )-1/2p 0y (p 1x -p 2x )+1/2(p 1x p 2y -p 2x p 1y ) p ox p oy 1 A = 1/2! p 1x p 1y 1 = 1/2! p 2x p 2y 1 p 1x p 0x p 2x p 0x p 1y p 0y p 2y p 0y qed

11 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 11 Inhalt von Parallelotopen Im E 3 sei eine orthonormierte Basis e 1, e 2, e 3 mit dem entsprechenden Koordinatensystem KS gegeben: e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1) Die Vektoren a 1 =(a 11, a 12, 0), a 2 =(a 21, a 22, 0), a 3 =(a 31, a 32, a 33 ) spannen ein 3-dimensionales Parallelotop auf s 1 = 1/a 1 (-a 12,a 11, 0) ist ein Einheitsvektor in der 1-2 Ebene des E 3 senkrecht zu a 1 die Vektoren a 1, a 2 sollen eine rechtsorientierte Basis der 1-2 Ebene darstellen Die Vektoren a 1 =(a 11, a 12, 0), a 2 =(a 21, a 22, 0) spannen ein 2-dimensionales Parallelotop auf KS e 3 e 2 a 3 e 1 s 1 h 1 a 2 a 1 Berechnung des Inhalts V P (a 1,a 2 ) Grundseite x Höhe : des 2-dimensionalen Parallelotops nach der Vorschrift V P (a 1,a 2 ) =a 1 h 1 mit h 1 = (a 21, a 22, 0) 1/a 1 (-a 12,a 11, 0) V P (a 1,a 2 ) = a 1 (a 21, a 22, 0) 1/a 1 (-a 12,a 11, 0) V P (a 1,a 2 ) = (a 21, a 22, 0) (-a 12,a 11, 0) V P (a 1,a 2 ) = a 11 a 22 - a 21 a 12 Inhalt des (2-dimensionalen) Parallelotops in Determinatenform: V P (a 1,a 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22

12 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 12 Inhalt des (3-dimensionalen) Parallelotops in Determinatenform: Der Inhalt des 3-dimensionalen Parallelotops erhält man nach der Vorschrift Grundfläche x Höhe : V P (a 1,a 2,a 3 ) = V(a 1,a 2 ) a 33 a 11 a 12 0 V P (a 1,a 2,a 3 ) = a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 Man kann zeigen, dass die Determinantendarstellung für den Inhalt gültig bleibt beim Übergang zu einer anderen orthonormierten Basis bzw einem anderen Koordinatensystems KS a 11 a 12 a 13 V P (a 1,a 2,a 3 ) = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Inhalt des (n-dimensionalen) Parallelotops in Determinatenform: In entsprechender Weise kann man verfahren, wenn man den Inhalt eines n-dimensionalen Parallelotops, das von den Vektoren a 1, a n aufgespannt wird, wobei die Vektoren a 1, a n-1 die (n-1)-dimensionaler Hyperfläche als Grundfläche aufspannen, erhalten will a 11 a 12 a 1n V P (a 1,,a n ) = a n1 a n2 a nn

13 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 13 Inhalt von Simplices Zur Bestimmung des Inhalts von Simplices ist die Integration in Kombination mit den Strahlensätzen das adäquate Medium Wie bereits gezeigt gilt für n= 1,2,3 V S (a 1,,a n ) = 1/n! V P (a 1,,a n ) Das heißt, der Inhalt des n-dimensionalen Simplex unterscheidet sich vom Inhalt des n- dimensionalen Parallelotops nur um den Faktor 1/n! KS a n e n e n-1 h h e 1 V S (a 1,,a n-1 ) (h /h) n-1 a n-1 V S (a 1,,a n-1 ) = 1/(n-1)! V P (a 1,,a n-1 ) a 1 Durch vollständige Induktion bzw Schluss von n-1 nach n erhält man die Gültigkeit für alle n Im Folgenden bedeutet 0Int h das bestimmte Integral in den Grenzen 0 bis h V S (a 1,,a n ) = 0Int h V S (a 1,,a n-1 ) (h /h) n-1 dh V S (a 1,,a n ) = 0Int h 1/(n-1)! V P (a 1,,a n-1 ) (h /h) n-1 dh V S (a 1,,a n ) = 1/n 1/(n-1)! V P (a 1,,a n-1 ) h n /h n-1 0] h V S (a 1,,a n ) = 1/n! V P (a 1,,a n-1 ) h n /h n-1 V S (a 1,,a n ) = 1/n! V P (a 1,,a n-1 ) h V S (a 1,,a n ) = 1/n! V P (a 1,,a n ) qed

14 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 14 Die Cayley-Menger-Determinate Die nun folgende Abhandlung beschreibt relativ formal, wie man das Inhaltsquadrat eines aus den Punkten P 0,, P n gebildeten n-dimensionalen Simplex durch eine Determinante darstellen kann, in welcher im wesentlichen die Quadrate der Kantenlängen l 2 ij = I P i - P j I 2 vorkommen Diese Determinate heißt Cayley-Menger-Determinate Sie stellt eine Verallgemeinerung der Heronformel für den Flächeninhalt eines Dreiecks auf höherdimensionale Simplices dar Darstellung des Inhalts in Abhängigkeit von den Eckpunktes des Simplex P 0 (p 01,, p 0n ), P 1 (p 11,, p 1n ),, P n (p n1,, p nn ) : p 11 - p 01 p 1n - p 0n V = 1/n! p n1 - p 01 p nn -p 0n Man fügt eine 0-te Zeile und und eine n+1-te Spalte hinzu: p 01 p 0n 1 p 11 - p 01 p 1n - p 0n 0 V = 1/n! p n1 - p 01 p nn - p 0n 0 Jetzt addiert man die 0-te Zeile zur 1-ten bis zur n-ten Zeile: p 01 p 0n 1 p 11 p 1n 1 V = 1/n! p n1 p nn 1

15 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 15 Übergang zur Cayley-Menger-Determinante: V = 1/n! p 01 p 02 p 0n 1 p 11 p 12 p 1n 1 1 p n1 p n2 p nn 1 V 2 = 1/n! 2 p 01 p 02 p 0n 1 p 11 p 12 p 1n 1 1 p n1 p n2 p nn 1 2 V 2 = 1/n! 2 p 01 p 02 p 0n 1 p 11 p 12 p 1n 1 1 p n1 p n2 p nn 1 p 01 p 11 p n1 p 02 p 12 p n2 p 0n p 1n p nn transponierte Matrix P 0 P 0 +1 P 0 P 1 +1 P 0 P n +1 V 2 = 1/n! 2 P 1 P 0 +1 P 1 P 1 +1 P 1 P n +1 P n P 0 +1 P n P 1 +1 P n P n +1

16 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 16 P 0 P 0 +1 P 0 P 1 +1 P 0 P n +1 V 2 = 1/n! 2 P 1 P 0 +1 P 1 P 1 +1 P 1 P n +1 P n P 0 +1 P n P 1 +1 P n P n +1 P 0 P 0 +1 P 0 P 1 +1 P 0 P n +1 0 V 2 = 1/n! 2 P 1 P 0 +1 P 1 P 1 +1 P 1 P n +1 0 P n P 0 +1 P n P 1 +1 P n P n P 0 P 0 +1 P 0 P 1 +1 P 0 P n +1 0 V 2 = -1/n! 2 P 1 P 0 +1 P 1 P 1 +1 P 1 P n +1 0 P n P 0 +1 P n P 1 +1 P n P n P 0 P 0 P 0 P 1 P 0 P n 1 V 2 = -1/n! 2 P 1 P 0 P 1 P 1 P 1 P n 1 P n P 0 P n P 1 P n P n

17 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 17 Weil p 01 p 02 p 0n 0 p 11 p 12 p 1n 0 0 p n1 p n2 p nn 0 = 0 p 01 p 02 p 0n 0 p 11 p 12 p 1n 0 p n1 p n2 p nn 0 p 01 p 11 p n1 p 02 p 12 p n2 p 0n p 1n p nn P 0 P 0 P 0 P 1 P 0 P n P 1 P 0 P 1 P 1 P 1 P n = = 0 P n P 0 P n P 1 P n P n kann man in der letzten Matrix unten rechts die -1 durch 0 ersetzen P 0 P 0 P 0 P 1 P 0 P n 1 V 2 = -1/n! 2 P 1 P 0 P 1 P 1 P 1 P n 1 P n P 0 P n P 1 P n P n Die Skalarprodukte P i P k kann man wie folgt ersetzen: l ik 2 = (P i -P k ) (P i -P k )= P i P i - 2 P i P k + P k P k P i P k = 1/2 (P i P i + P k P k - l ik 2 )

18 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 18 P 0 P 0 1/2 (P 0 P 0 + P 1 P 1 - l 01 2 ) 1/2 (P 0 P 0 + P n P n - l 0n 2 ) 1 1/2 (P 1 P 1 + P 0 P 0 - l 2 10 ) P 1 P 1 1/2 (P 1 P 1 + P n P n - l 2 1n ) 1 1/2 (P n P n + P 0 P 0 - l n0 2 ) P n P n Und dann kann man von der 0-ten Zeile bzw 0-ten Spalte das 1/2 P 0 P 0 - fache der letzten Zeile bzw letzten Spalte abziehen, von der 1-ten Zeile bzw 1-ten Spalte das 1/2 P 1 P 1 - fache der letzten Zeile bzw letzten Spalte abziehen, usw, von der n-ten Zeile bzw n-ten Spalte das 1/2 P n P n - fache der letzten Zeile bzw letzten Spalte abziehen, so dass man folgendes erhält: 0-1/2 l /2l 0n 2 1 V 2 = -1/n! 2-1/2l /2l 2 1n 1-1/2l n0 2-1/2l n l 01 2 l 0n 2 1 V 2 = -1/n! 2 (-1/2) n l l 2 1n 1 l n0 2 l n Diese Determinante ist nun die Cayley-Menger-Determinante Das n-fache Herausziehen des Faktors (-1/2 ) ist noch etwas kritisch zu sehen!

19 Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik 19 Quellen: [1] Stengler, Rita: Volumenfunktionen von Polyedern: Von Heron bis Sabitow, Staatsexamensarbeit, Universität Mainz, 2003