Potenzen der Linearen Algebra

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1 Potenzen der Linearen Algebra Stufen der Verallgemeinerung und ihre didaktische Umsetzung in der Lehre Fakultät für Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Dieter Schott E-Post: Hamburg, Februar 2015

2 2 Überblick Skalare und Vektoren Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt Vektorraum Linearer Raum Allgemeines Skalarprodukt Matrizen und Skalarprodukte / Vektorprodukte Determinanten und Parallelotopprodukte Allgemeines Vektorprodukt Lineare Abbildungen Bilinearformen

3 3 Einordnung Lineare Algebra relativ jung Tor zur Algebra, (mehrdimensionalen, Funktional-) Analysis Geometrische, physikalische Vorstellungen Strauß, Rögner, Wismar WFR 05/2006 LA und EW, TUMULT Junglas, Bochum, WFR 03/2013 LA und Roboter

4 4 Skalare und Vektoren (im Raum) Skalar (Zahl): Länge (+), Arbeit, Energie (±) Vektor (Verschiebung, Pfeil): Länge (Betrag), Richtung (orientierte Gerade); Kraft, Moment Darstellungen (Koordinaten: Vektor Punkt) T a= ( a, a, a ) = a e + a e + ae ONB x y z x x y y z z T a= a e = a (cos α,cos β,cos γ) ONB a a= λb + λb + λb B

5 5 Elementare Operationen (Struktur) Addition: Verkettung von Verschiebungen entgegengesetzter Vektor: Orientierungsänderung Subtraktion Multiplikation mit positivem Skalar: Streckung Skalarmultiplikation: orientierte Streckung

6 6 Skalarprodukt (Ebene, Raum) Physikalische Motivation Arbeit (Skalar): Kraft x Weg Sonderfall (Schule): W = F s Vektorfall: W = < F,s > = F s cos φ(f,s) [ Analysis: < F(x),s(x) > dx ] Skalarprodukt (koordinatenfreie Definition) <a,b> = a b cos φ(a,b) Winkel (spitz, stumpf) Orthogonalität, Projektion

7 7 Vektorprodukt (Raum) Physikalische Motivation Moment (Vektor): Kraft x Abstand (vom Drehpunkt) Sonderfall (Schule): M = F r (senkrechter Abstand) Vektorfall: M(O) = r(op) x F Vektorprodukt (koordinatenfrei): c = a x b: c a,b, c = a b sinφ(a,b) Parallelogramm (a,b,c) Rechtssystem b x a = - a x b Orthogonalität, Orientierung Flächen (Parallelogramm, Dreieck)

8 8 Spatprodukt (Raum) Spatprodukt: < a,b,c > = < a x b,c > = - < b,a,c > Spatvolumen: Betrag (bei Quader abc) Orientierung dreier Vektoren (Rechts- u. Linkssystem) Unabhängigkeit dreier Vektoren Abstände (Punkt-Ebene, Gerade-Gerade) Spat Parallelotop

9 9 Koordinatendarstellung (Raum) < ab, >= ab + ab + ab =< a a> 2 a, x x y y z z ab y z ab z y a b= azbx axbz ab x y ab y x < abc,, >= abc + abc + abc x y z y z x z x y abc abc abc x z y y x z z y x Betrag, Winkel Kreuzregel Parallelogrammprodukt Sarrus-Regel

10 10 Geometrie: Parametergleichungen r= a r= a+ λu λ λ r= a+ u + u Punkt Gerade Ebene

11 11 Normalengleichung < n, r > = d = < n,a > n Normalenvektor, r allgemeiner Ortsvektor Hesse-Form Ebene: Gerade Raum: Ebene

12 12 Raum Vektorraum Linearer Raum 2 3 n R R R X, R X a+ b 0, a, λa, a b A = a, a,..., a, lin( A) { } 1 2 m Lin. Teilraum Lin. Unabhängigkeit Rang Basis Dimension Vektoren, Matrizen Polynome, Folgen, Funktionen Lineare Abbildungen

13 13 Geometrie r= a r= a+ λu r= a+ λ1u λmu < nr, >= d =< na, > m Affin-lineare Teilräume Punkt: Dimension 0 Gerade: Dimension 1 Dimension m Hyperebene (Kodimension 1) Lineare Gleichung

14 14 Euklidischer Raum, Skalarprodukte Axiome Skalarprodukt Betrag <a,a> 0, <a,a> = 0 a = 0 a² = a ² = <a,a> <a,b> = <b,a> Winkel <a+b,c> = <a,c> + <b,c> spitz, stumpf <λ a,b> = λ <a,b> orthogonal < ab, > = ab < ab, > = λ ab, λ > 0 < a, b > = a( x) b( x) dx i i i i i i

15 15 Fourier-Entwicklungen n n V R = L L, m n pr( a L ) = < a, e > e, e ONS n i= 1 n m { } { } m i i i i= 1 a= < ae, > e, e ONB m i i i

16 16 Matrizen Matrix: horizontale Erweiterung eines Vektors (mehr als eine Spalte), Zeile und Zahl als Sonderfälle, Elementare Operationen: A+B, -A, λ A Transponieren: T A Skalarprodukt im Matrizenkalkül: Matrizen als Abbildungen: y = A x Matrixprodukt: A B (Formatbedingung) T < a,b > =a b B A A B, A B = O für gewisse A O oder B O Umkehrabbildung (inverse Matrix): existiert nicht immer!

17 17 Determinanten als Parallelotopprodukt nxn Matrix (quadratisch), N r = d lineares Gls. Determinante Funktional det(.), das genau dann nicht verschwindet, wenn Matrix invertierbar ist Induktiv: für n=2: Kreuzregel, Parallelogrammprodukt für n=3: Sarrus-Regel, Spatprodukt für n: Entwicklungssatz (Laplace), Parallelotopprodukt Geometrie: Invertierbarkeit, falls Parallelotop nicht entartet (Inhalt ungleich 0)

18 18 Matrizen als Abbildungen D S ϕ ϕ cosϕ sin ϕ =, det( D ) = 1 sinϕ cos ϕ ϕ cosϕ sin ϕ =, det( S ) = 1 sinϕ cos ϕ ϕ = =, 1 = T = ϕ ψ ψ ϕ ϕ+ ψ ϕ ϕ ϕ D D D D D D D D = = = T = 1 ϕ 0 ϕ ϕ 0 ϕ ϕ S S D D S S S

19 19 Matrizen als Abbildungen (Forts.) T BB = E det( B) =± 1 det( B) = 1, B r= r, det( B E) = 0 det( B) = 1 C= λ B Bewegung Drehung Umlegung Ähnlichkeits-T. Orthogonale Matrizen B Orthonormalbasen Koordinatentransformationen

20 20 Schreibweisen des Vektorproduktes ex ey ez 0 az ay b x a b= det ax ay az = az 0 ax by bx by bz ay ax 0 b z

21 21 Verallgemeinerung Vektorprodukt n R ( n 3, n= 2) a a... a = ( a, a,..., a ) = c 1 2 n n 1 { 1, 2,..., n 1} Hyperebene ( 1 2 n 1 c) [ 1 2 n 1] ( a1 a2 an 1 c) ( ) c lin a a a O c = det a, a,..., a, e = I a, a,..., a 0 det,,...,, < ca, >= det a, a,..., a, a n 1 2 n 1 n n=2 c = det e1 e2 L e a L a M M a... a 1,1 1, n n n 1,1 n 1, n Vektorprodukt 0, falls Faktoren linear abhängig

22 22 Lineare Abbildungen (Operatoren) A( λx + λ x ) = λax + λ Ax Ax= b, A Ax= A b T T XAb (, ), XAAAb (, ) T T Affin-linear Ax = λ x, y = Ax + b A: Differential- oder Integraloperator

23 23 Bilearformen XYY,, = LX (, X) Lineare Funktionale < xy, > < xy, >= 0 < xy, > 0 Orthogonalität Kegel (Halbordnung)