Tensorrechnung. Prof. Thomas Apel Institut für Mathematik und Bauinformatik Fakultät für Bauingenieurwesen und Umweltwissenschaften

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1 Tensorrechnung Prof. Thomas Apel Institut für Mathematik und Bauinformatik Fakultät für Bauingenieurwesen und Umweltwissenschaften Wintertrimester 2015

2 Inhaltsverzeichnis Literatur 2 1 Tensoren Tensoren erster Stufe Tensoren zweiter Stufe Tensoren höherer Stufe Tensorfelder Krummlinige Koordinaten Differentiale und der Gradient einer skalaren Funktion Differentiation von Tensorfeldern Gradient, Divergenz und Rotation von Vektorfunktionen Literatur [dbp78] Boer, R. de und H. Prediger: Tensorrechnung Grundlagen für die Ingenieurwissenschaften. Forschungsberichte aus dem Fachbereich Bauwesen 5, Universität Essen Gesamthochschule, [Its07] [LC03] Itskov, M.: Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers. Springer, Berlin, Lebedev, L. P. und M. J. Cloud: Tensor Analysis. World Scientific, New Jersey, WT 2015

3 1 Tensoren Literatur: [dbp78, LC03] Bem 1.1 Die Tensorrechnung stellt ein wichtiges Hilfsmittel zur Beschreibung physikalischer und ingenieurwissenschaftlicher Probleme dar. Die Elastizitätsund Plastizitätstheorie, überhaupt die ganze Kontinuumsmechanik sind ohne die Verwendung des Tensorkalküls undenkbar. 1.1 Tensoren erster Stufe E 1.2 (erster Versuch einer Begriffsklärung) Im Modul Mathematik I haben wir den Begriff des Vektors in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet. Einerseits wurden Vektoren als gerichtete Größen eingeführt. Vektoren in diesem Sinne sind Tensoren erster Stufe. Andererseits haben wir den Begriff Vektor für einspaltige Matrizen (Spaltenvektor) und einzeilige Matrizen (Zeilenvektor) verwendet. Vektoren in diesem Sinne können zwar zur Beschreibung von Tensoren erster Stufe verwendet werden, sind aber selbst keine Tensoren erster Stufe. E 1.3 (zweiter Versuch einer Begriffsklärung) Der Begriff Tensor erster Stufe ist ein Oberbegriff für physikalische Größen, die nicht nur einen Betrag, sondern auch eine Richtung haben, und für die Rechenregeln wie die Vektoraddition sinnvoll sind. Ein typisches Beispiel sind Kräfte. Wichtig ist die Feststellung, dass die Kraft, die Ihr Körper gerade auf Ihren Stuhl ausübt, eine objektive Größe ist, die nicht von der subjektiven Wahl eines Koordinatensystems abhängt. Wenn eine Gruppe von Kräften im Gleichgewicht ist, so gilt dies unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem die Kräfte beschrieben werden. Tensoren ermöglichen eine Beschreibung der Realität unabhängig von der Wahl eines Koordinatensystems. Damit wird vermieden, dass das Ergebnis einer Berechnung von der Wahl des Koordinatensystems abhängt. Aufg 1.4 Wiederholen Sie die Definition des Nullvektors, der Vektoraddition, der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, der Linearkombination, der linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit, des Skalarprodukts, des Kreuzprodukts und des Spatprodukts. E 1.5 In diesen Definitionen kommt kein Koordinatensystem vor. Alle daraus abgeleiteten Beziehungen sind unabhängig von einem Koordinatensystem gültig, zum Beispiel u (v + w) = u v + u w, [a, b, c] = (a b) c, [a, b, c] = [b, c, a] u (v w) = (u w)v (u v)w, (1.1) (a b) (c d) = (a c)(b d) (a d)(b c), (a b) (c d) = [a, c, d]b [b, c, d]a. Vektoren in diesem Sinne sind Tensoren erster Stufe. Alle diese Definitionen sind in dieser Weise für Tensoren erster Stufe gültig. WT

4 Bem 1.6 Die Beschreibung eines Tensors erster Stufe als Größe mit Betrag und Richtung ist allerdings zu elementar und nicht zureichend. Zum Beispiel hat der elektrische Strom durch einen dünnen Leiter auch einen Betrag und eine Richtung. Wenn sich aber 2 Drähte in einer Ebene kreuzen, dann kann man deren physikalischen Effekt nicht durch einen einzigen Draht beschreiben, der in Richtung der Winkelhalbierenden liegt. Der elektrische Strom ist keine vektorielle Größe, sie folgt nicht den Regeln der Vektoraddition. Es gibt also Größen mit Betrag und Richtung, für die eine Beschreibung als Vektor/Tensor erster Stufe ungeeignet ist. Bem 1.7 In der linearen Algebra haben wir Vektoren als Zusammenfassung von n Zahlen zu einem mathematischen Objekt eingeführt. Aber man kann nicht jede Liste von n Zahlen sinnvoll mit einer reellen Zahl multiplizieren. Man denke an eine Liste von Maßen, die ein Schneider von einem Kunden nimmt, bevor er einen Anzug schneidert. Vektoren in diesem Sinne eignen sich nicht zur Definition eines Tensors erster Stufe. Def 1.8 Wir benötigen im Folgenden das Kroneckersymbol δ j i, das durch definiert ist. δ j i := { 1 für i = j, 0 für i j, E 1.9 (Orthonormalbasis und Koordinaten) Wenn wir drei linear unabhängige Tensoren erster Stufe, g 1 = g 1, g 2 = g 2 und g 3 = g 3, auszeichnen und als Basis verwenden, können wir jeden Tensor erster Stufe als Linearkombination dieser Basistensoren darstellen, x = x 1 g 1 + x 2 g 2 + x 3 g 3 = 3 x i g i. (1.2) i=1 Stehen die Basistensoren senkrecht aufeinander und sind sie normiert, g i g j = δ j i, i, j = 1, 2, 3, (1.3) sprechen wir von einer Orthonormalbasis oder auch von einem kartesischen Koordinatensystem. Die Koordinaten x i haben die Darstellung x i = x g i. (1.4) Dies kann man leicht herleiten, indem man die Gleichung (1.2) skalar mit den Basistensoren multipliziert und die Orthogonalität (1.3) ausnutzt. Zusammengefasst kann man auch schreiben x = 3 (x g i )g i. (1.5) i=1 Warum wir die Indizes manchmal unten und manchmal oben schreiben und somit für ein und dasselbe Objekt zwei verschiedene Bezeichnungen verwenden, wird im Laufe des Kapitels klar werden. 4 WT 2015

5 E 1.10 (Wechsel zwischen Orthonormalbasen) Wenn wir zu einer anderen Orthonormalbasis g 1 = g 1, g 2 = g 2, g 3 = g 3 übergehen, können wir die alten Basistensoren als Linearkombination der neuen Basistensoren darstellen. Mit einer zu (1.5) analogen Formel erhalten wir g i = 3 (g i g j ) g j = j=1 mit A j i = g i g j. Für den Tensor x gilt dann 3 A j i g j j=1 x = 3 x i g i = i=1 3 x i i=1 j=1 3 A j i g j, also 3 x = x j g j mit x j = j=1 3 i=1 x i A j i, j = 1, 2, 3. g 2 g2 x g 1 g1 E 1.11 (Einsteinsche Summenkonvention) In den Formeln tauchen oft Summen von 1 bis 3 auf, wobei der Summationsindex genau einmal als Subskript (unterer Index) und einmal als Superskript (oberer Index) auftritt. Wir wollen vereinbaren, diese Summenzeichen zukünftig wegzulassen. Wir schreiben also zum Beispiel x = x j g j mit x j = x i A j i. Diese Summationsregel wurde von Einstein eingeführt und wird manchmal als Einsteinsche Summenkonvention bezeichnet. Man beachte, dass die Wahl des Summationsindexes keine Bedeutung hat, x i g i = x 1 g 1 + x 2 g 2 + x 3 g 3 = x k g k, man sollte jedoch kleine lateinische Buchstaben verwenden. In einem anderen Zusammenhang wird bei Verwendung von kleinen griechischen Buchstaben nur von 1 bis 2 summiert. Den Index j in der Beziehung x j = x i A j i bezeichnet man als freien Index. Er geht auch von 1 bis 3, und wir vereinbaren, dass die entsprechende Angabe j = 1, 2, 3 ebenfalls weggelassen werden darf. WT

6 E 1.12 (Koordinaten bei nichtorthogonaler Basis) Ab jetzt wollen wir die Annahme fallenlassen, dass die Basis g 1, g 2, g 3 ein Orthonormalsystem bildet. Wünschenswert wäre eine ähnlich einfache Berechnung der Koordinaten x i eines Tensors x = x i g i erster Stufe wie in Formel (1.4). Wir werden zeigen, dass es Tensoren erster Stufe gibt, die wir mit g 1, g 2, g 3 bezeichnen wollen und die im Allgemeinen von g 1, g 2, g 3 verschieden sind, mit denen sich die Koordinaten weiterhin mit Formel (1.4) berechnen lassen. E 1.13 (biorthogonale Basis, duale Basis) Aus der Beziehung folgt, dass die Beziehung x i = x g i = (x j g j ) g i = x j (g j g i ) g j g i = δ i j (1.6) gelten muss. In kartesischen Koordinaten gilt g i = g i. Im Allgemeinen ist g 1, g 2, g 3 eine von g 1, g 2, g 3 verschiedene Basis, die man als biorthogonale Basis oder duale Basis bezeichnet. g 2 g 2 g 1 E 1.14 (Berechnung der biorthogonalen Basis) Man kann die Basis g 1, g 2, g 3 leicht angeben: Aus g 2 g 1 = g 3 g 1 = 0 folgt, dass g 1 = c 1 (g 2 g 3 ) mit einer geeigneten Konstanten c 1 ist, die man durch die verbleibende Bedingung g 1 g 1 = 1 bestimmen kann, c 1 [g 1 (g 2 g 3 )] = 1. Sei V = g 1 (g 2 g 3 ) das Volumen des durch g 1, g 2 und g 3 aufgespannten Parallelepipeds. Dann gilt und durch analoge Betrachtungen g 1 = 1 V (g 2 g 3 ) g 1 α i g i = 0 skalar mit g j multiplizieren g 2 = 1 V (g 3 g 1 ), g 3 = 1 V (g 1 g 2 ). (1.7) Ü 1.15 Zeigen Sie, dass die Tensoren g 1, g 2 und g 3 linear unabhängig sind, also tatsächlich als Basis taugen. E 1.16 (Dualität der Koordinatensysteme) Durch analoge Betrachtungen erhält man die Formeln g 1 = 1 V (g2 g 3 ), g 2 = 1 V (g3 g 1 ), g 3 = 1 V (g1 g 2 ), wobei V = g 1 (g 2 g 3 ) das Volumen des durch g 1, g 2 und g 3 aufgespannten Parallelepipeds ist. 6 WT 2015

7 Bsp 1.17 Wir suchen eine Beziehung zwischen V und V. Da V = g 1 (g 2 g 3 ) ist, leiten wir zuerst eine Formel für g 2 g 3 her. Mit (1.7) und (1.1) gilt also g 2 g 3 = 1 V g2 (g 1 g 2 ) = 1 V [(g2 g 2 )g 1 (g 2 g 1 )g 2 ] = 1 V g 1, V = g 1 (g 2 g 3 ) = g 1 1 V g 1 = 1 V. E 1.18 Wir haben also zwei Basen g 1, g 2, g 3 und g 1, g 2, g 3 gefunden, man bezeichnet sie auch als kovariante und kontravariante Basis. Jeden Tensor erster Stufe x können wir in beiden Basen darstellen, x = x i g i = x i g i, x i = x g i, x i = x g i. Die gleichzeitige Verwendung zweier Basen ist nicht nur für die Zerlegung der Tensoren in Komponenten vorteilhaft, sondern auch bei verschiedenen Rechnungen, siehe die Beispiele 1.19 und Bsp 1.19 (Skalarprodukt) Sei a = a j g j = a j g j und b = b i g i = b i g i. Dann gilt mit (1.6) a b = a j g j b i g i = a j b i δ i j = a i b i, a b = a j g j b i g i = a j b i δ j i = a ib i. Überschieben erklären: j = i Verwendet man für beide Tensoren erster Stufe jedoch die gleiche Basis, erhält man a b = a j g j b i g i = a j b i G ij, a b = a j g j b i g i = a j b i G ij, mit den Metrikkoeffizienten G ij = g i g j, G ij = g i g j. (1.8) große Buchstaben In diesem Fall hat man also 9 Summanden bei der Berechnung des Skalarprodukts. E 1.20 (Metrikkoeffizienten) Die Metrikkoeffizienten sind symmetrisch, G ij = G ji, G ij = G ji. E 1.21 (Heben und Senken von Indizes) Mit Hilfe der Metrikkoeffizienten kann man zwischen den kovarianten und den kontravarianten Koordinaten umrechnen. Wir multiplizieren die Gleichung x i g i = x i g i skalar mit g j bzw. g j siehe 1.18 und erhalten x j = x i G ij bzw. x j = x i G ij. (1.9) Man bezeichnet dies auch als Heben und Senken von Indizes. Eine Formel für das Heben und Senken der Indizes der Basistensoren erhält man, indem man in die Formel x = (x g i )g i = (x g i )g i für x die Basistensoren g j bzw. g j einsetzt, g j = G ij g i bzw. g j = G ij g i. (1.10) WT

8 E 1.22 Aus (1.9) erhält man eine weitere Beziehung zwischen den Metrikkoeffizienten, denn aus x i = G ij G jk x k folgt G ij G jk = δ k i. Bsp 1.23 (Kreuzprodukt) Sei a = a j g j, b = b k g k und c = a b = c i g i. Dann gilt c i = c g i = (a j g j b k g k ) g i = ɛ ijk a j b k mit den Levi-Civita-Symbolen +V, wenn (i, j, k) eine gerade Permutation von (1, 2, 3) ist, ɛ ijk := (g j g k ) g i = V, wenn (i, j, k) eine ungerade Permutation von (1, 2, 3) ist, 0, wenn 2 oder 3 Indizes gleich sind. Dabei heißt eine Permutation von (1, 2, 3) gerade, wenn mit einer geraden Anzahl von Vertauschungen die Reihenfolge 1,2,3 hergestellt werden kann, andernfalls heißt die Permutation ungerade. Bem 1.24 Das Permutationssymbol ɛ ijk ist oft nützlich, um Formeln kurz und bündig darzustellen. Ist zum Beispiel A = [a ij ] eine 3 3-Matrix, dann gilt deta = ɛ ijk a 1i a 2j a 3k mit ɛ 123 = ɛ 231 = ɛ 312 = 1 und ɛ 213 = ɛ 321 = ɛ 132 = 1. 6 Summanden ausschreiben neu hier: nicht orthogonale Basen Ü 1.25 Beweisen Sie diese Formel. E 1.26 (Basiswechsel) Wenn wir zu einem anderen (nichtkartesischen) Koordinatensystem g 1, g 2, g 3 übergehen, können wir auch hier die alten Basistensoren als Linearkombination der neuen Basistensoren darstellen, wobei wie in Bemerkung 1.10 die Formel g i = A j i g j, (1.11) A j i = g i g j gilt. Für den Tensor x gilt dann x = x i g i = x i A j i g j, also Analog erhält man x = x i g i = x j g j, x j = x i A j i. (1.12) x = x i g i = x j g j, x j = x i à i j, à i j = g i g j. (1.13) Die Koeffizienten Ãj i treten entsprechend auch in den Zerlegungen g i = Ãj i g j und g i = Ãi j gj auf. Ü 1.27 Verifizieren Sie die in Bemerkung 1.26 nicht hergeleiteten Beziehungen. Bem 1.28 (Zusammenfassung) Ein Tensor erster Stufe ist eine objektive Größe. Durch die Wahl einer Basis werden die Koeffizienten eindeutig festgelegt, (1.4). Bei einem Wechsel der Basis, (1.11), werden die Koeffizienten nach einer festen Regel umgerechnet, (1.12). 8 WT 2015

9 1.2 Tensoren zweiter Stufe Wir definieren eine neue Rechenoperation mit Tensoren erster Stufe. Def 1.29 Das Tensorprodukt oder dyadische Produkt a b zweier Tensoren erster Stufe a und b ergibt ein neues mathematisches Objekt. Das Tensorprodukt erfüllt die folgenden Rechenregeln: (λa) b = λ(a b), a (λb) = λ(a b), (a + b) c = a c + b c, a (b + c) = a b + a c, (a b) c = (b c)a, a (b c) = (a b)c. Das Produkt auf der linken Seite der letzen beiden Eigenschaften wird als verjüngendes Produkt bezeichnet; es wird über das Skalarprodukt auf der rechten Seite definiert. Bem 1.30 Itskov [Its07] zeigt, dass die 5. Eigenschaft ausreicht und alle anderen Eigenchaften daraus hergeleitet werden können. Wir vereinigen hier der Einfachheit halber alle 6 Eigenschaften in der Definition. Bem 1.31 Das Tensorprodukt ist nicht kommutativ. Als Beispiel betrachte man (g 1 g 2 ) g 2 = (g 2 g 2 )g 1 = g 1, (g 2 g 1 ) g 2 = (g 1 g 2 )g 2 = 0. Wäre das Tensorprodukt kommutativ, käme in beiden Zeilen das gleiche Ergebnis heraus. Def 1.32 Sei g 1, g 2, g 3 eine Basis im linearen Raum der Tensoren erster Stufe. Jede Linearkombination der 9 Tensorprodukte g i g j bezeichnet man als Tensor zweiter Stufe, d. h., jeder Tensor A zweiter Stufe besitzt eine Darstellung A = A ij g i g j. (1.14) Bsp 1.33 Für zwei Tensoren a = a i g i und b = b j g j gilt mit Hilfe der Rechenregeln a b = (a i g i ) (b j g j ) = a i b j g i g j. Folglich ist a b ein Tensor zweiter Stufe. Es lässt sich aber nicht jeder Tensor zweiter Stufe als dyadisches Produkt zweier Tensoren erster Stufe darstellen, denn für einen Tensor zweiter Stufe kann man 9 Koeffizienten frei wählen, während man bei zwei Tensoren erster Stufe nur 6 Koeffizienten frei wählen kann. Tensor 2. Stufe kann auch als linearer Operator betrachtet werden, siehe Bem WT

10 E 1.34 (Heben und Senken bei Tensoren 2. Stufe) Die Darstellung (1.14) ist nicht die einzig mögliche. Mit (1.10) erhalten wir A = A ij g i g j = A ij (G ik g k ) (G jl g l ) = A kl g k g l mit der Umrechnungsformel A kl = A ij G ik G jl. Das ist nichts anderes als das Heben von zwei Indizes. Weitere Darstellungen sind A = A i jg i g j = A i j g j g i. Bem 1.35 Man könnte die 9 Koeffizienten eines Tensors A auch als Vektor im R 9 auffassen. Aber ein Basiswechsel könnte dann nicht mit denselben Regeln wie in Bemerkung 1.34 formuliert werden. E 1.36 (Weitere Rechenoperationen) Durch die Definitionen 1.29 und 1.32 sind weitere Rechenoperationen definiert. Seien A = A ij g i g j und B = B ij g i g j Tensoren zweiter Stufe, x = x k g k und y = y k g k Tensoren erster Stufe und λ, µ R Skalare. Dann gilt Es gelten die Rechenregeln A + B = (A ij + B ij )g i g j, λa = λa ij g i g j A x = A ij x j g i, x A = x i A ij g j. A (λx + µy) = λa x + µa y, (λa + µb) x = λa x + µb x. Die Multiplikation mit Null ergibt den Nulltensor O. Itskov führt Tensoren zweiter Stufe so ein. Das dyadische Produkt a b ist dann die lineare Abbildung, die (a b) x = (b x)a realisiert. Man muss dann aber arbeiten, um zur Tensorbasis zu kommen. E 1.37 Die Koeffizienten eines Tensors A zweiter Stufe können wieder mit Hilfe von Skalarprodukten (bzw. verjüngenden Produkten) ausgerechnet werden, denn es gilt g l A g k = g l (A ij g i g j ) g k = A ij (g l g i )(g j g k ) = A ij δ l iδ k j = A lk. Analog gilt A lk = g l A g k. Bem 1.38 (Tensoren als lineare Abbildungen) Das verjüngende Produkt eines Tensors A zweiter Stufe mit einem Tensor erster Stufe x führt auf einen Tensor erster Stufe y = A x. Eine lineare Abbildung f(x) zwischen 2 Tensoren erster Stufe kann stets mit Hilfe eines Tensors A zweiter Stufe geschrieben werden, A x. Für die Koeffizienten A ij gilt Probe: A ij = g i A g j = g i f(g j ). f(x) = g i f(x) g i = g i f(g j ) x j g i = A ij x j g i = A x. 10 WT 2015

11 Bsp 1.39 (Spannungstensor) Die an einer bestimmten Stelle in einem Körper wirkenden Spannungen werden in ihrer Gesamtheit durch die Spannungen p i in drei Schnittflächen mit den Normalenvektoren (Tensoren erster Stufe in Normalenrichtung) g i beschrieben, die sich an der Stelle kreuzen. Diese bilden zusammengenommen den Spannungstensor Bsp. weglassen, siehe Mechanik σ = p i g i. Diese Konstruktion ergibt also σ g j = (p i g i ) g j = (g i g j )p i = p j, p j = σ g j. Schreibt man den Spannungstensor in der Form σ = σ ij g i g j und setzt ein Orthonormalsystem voraus, g i g j = δ ij, dann stellen die Komponenten σ ii die Normalspannungen (also die Kräfte die senkrecht zur Fläche wirken) und die Komponenten σ ij mit i j die Schubspannungen dar (diese wirken tangential zur Fläche). σ 33 σ 31 σ 13 σ 32 σ 23 σ 11 σ 12 σ 21 σ 22 Die Tensorrechnung erlaubt, den Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten Koordinatensystem zu beschreiben. Bsp 1.40 (Einheitstensor) Die in Beispiel 1.19 eingeführten Metrikkoeffizienten sind die Koeffizienten eines Tensors G ij g i g j = G ij g i g j. Die Multiplikation mit einem Tensor x erster Stufe ergibt unter Nutzung von (1.9), (G ij g i g j ) (x k g k ) = G ij x k δ j k gi = G ij x j g i = x i g i = x, (G ij g i g j ) (x k g k ) = G ij x k δ k j g i = G ij x j g i = x i g i = x. Dieser Tensor zweiter Stufe wird deshalb als Einheitstensor I = G ij g i g j = G ij g i g j = δjg i i g j = δ j i gi g j bezeichnet, denn es gilt I x = x I = x x. manchmal auch E Ü 1.41 Verifizieren Sie die in Bemerkung 1.40 nicht hergeleiteten Beziehungen. WT

12 Bsp 1.42 (Trägheitstensor) Der Trägheitstensor eines Körpers gibt seine Trägheitsmomente, also die Trägheit des Körpers bezüglich Drehungen an. Er spielt damit für Drehungen dieselbe Rolle, die die träge Masse für lineare Bewegungen spielt. Da unsymmetrische Körper für Drehungen in verschiedene Richtungen verschiedene Trägheitsmomente aufweisen (beispielsweise lässt sich ein homogener zigarrenförmiger Körpers leichter um seine Längsachse als um seine Querachse drehen), reicht anders als bei der trägen Masse für die Beschreibung des Trägheitsmoments eine einzelne Zahl nicht aus, sondern es muss ein Tensor zweiter Stufe verwendet werden. Sei l der Drehimpuls des Teilchens, x der Ortsvektor des Teilchens, v seine Geschwindigkeit, ω die Winkelgeschwindigkeit, p der Impuls und m die Masse. Es gilt l = x p und p = mv = mω x, also Bsp. weglassen l = mx (ω x). Baumechanik III Das doppelte Kreuzprodukt kann man vermeiden, indem man den Trägkeitstensor J einführt, l = J ω. Es gilt mit Hilfe von (1.1) l = mx (ω x) = m[(x x)ω (x ω)x] = m[(x x)ω (x x) ω] = m[(x x)i x x] ω, also J = m[(x x)i x x]. In Komponentenschreibweise lautet diese Formel J = J j i gi g j, J j i = m(x l x l δ j i x ix j ). Für einen einzelnen Massepunkt mit der Masse m und den kartesischen Koordinaten (x 1, x 2, x 3 ) gilt also J j i = m x 2 l, l i wenn i = j, m x i x j, wenn i j. Bei einem System von Massepunkten ist über die Punkte zu summieren. Bei einem homogenen Körper mit der Dichte ϱ(x 1, x 2, x 3 ) geht die Summe in ein Integral über: J j i = l i V V ϱ(x 1, x 2, x 3 ) x 2 l dv, wenn i = j, ϱ(x 1, x 2, x 3 ) x i x j dv, wenn i j. Quelle: 12 WT 2015

13 Def 1.43 (Inneres Produkt von Tensoren zweiter Stufe, Überschieben) Die Multiplikation (inneres Produkt) zweier Tensoren zweiter Stufe wird unabhängig von einem Koordinatensystem durch definiert. (A B) x = A (B x) x Lem 1.44 Seien A = A ij g i g j und B = B ij g i g j Tensoren zweiter Stufe. Dann gilt A B = A ij B jk g i g k Beweis Sei C = A B = C i k g i g k und x = x l g l, dann ist C x = (C i k g i g k ) x l g l = C i k xl g i δ k l = Ci k xk g i. Desweiteren gilt mit A = A in g i g n und B = B jk g j g k die Beziehung Folglich gilt A (B x) = A [(B jk g j g k ) x l g l ] = A [B jk x l g j δ k l ] = A [B jk x k g j ] = [A in g i g n ] [B jk x k g j ] = A in B jk x k g i δ j n = A ij B jk x k g i. C i k xk = A ij B jk x k für beliebige Zahlen x k, also muss C i k = Aij B jk gelten. Damit ist die Behauptung gezeigt. q.e.d. Bem 1.45 Wir haben es hier mit einem Tensor in gemischten Koordinaten g i g k zu tun, aber wir wissen ja, wie man Indizes hebt und senkt: Beziehung (1.10). Es gilt also z. B. auch A B = A ij B jk G kl g i g l = G li A ij B jk g l g k. Bem 1.46 Die Multiplikation A B wird auch als Überschieben bezeichnet. Umgangssprachlich bedeutet das, dass die innen stehenden Indices gleichgesetzt werden, wobei vorausgesetzt wird, dass ein Index oben und ein Index unten steht. Man kann zwei Tensoren zweiter Stufe auch doppelt überschieben und erhält ein Skalar: A B = A ij B ji (a b) (c d) = (b c)(a d) Man beachte die Reihenfolge der Indizes. WT

14 E 1.47 Der inverse Tensor A 1 ist über die Beziehung A A 1 = I definiert und es gelten die Rechenregeln (A 1 ) 1 = A (A B) 1 = B 1 A 1. Man überlegt sich diese Regeln wie folgt: A A 1 = I = ( A 1) 1 A 1, I = B 1 B = B 1 I B = B 1 A 1 A B. E 1.48 Der transponierte Tensor A T ist durch die Beziehung A T x = x A definiert und es gelten die Rechenregeln y A T x = x A y, (A B) T = B T A T, x (A T ) 1 = (A 1 ) T =: A T, (A T ) T = A. Das Transponieren ist für Tensoren erster Stufe nicht definiert! Beweis Der Beweis benutzt mehrfach die Implikation a x = b x x a = b. Diese gilt, weil (a b) x = 0 x auch bedeutet, dass (a b) (a b) = 0 und damit a b = 0. Analog gilt A x = B x x A = B, denn die Voraussetzung ist äquivalent zu x = B 1 A x x, also B 1 A = I bzw. A = B. Die erste Rechenregel mit dem transponierten Tensor erhält man über y A T x = y (x A) = (x A) y = x A y. Die zweite Beziehung kann man ebenfalls in einer Zeile zeigen: B T A T x = (A T x) B = x A B = (A B) T x. Aus I x = x = x I = I T x folgt I = I T und somit gilt I = I T = (A A 1 ) T = (A 1 ) T A T, wobei wir die vorherige Beziehung ausgenutzt haben. Aus dieser Gleichungskette folgt die dritte Beziehung. Schließlich gilt x (A y) = (x A) y = y (x A) = y (A T x) woraus die letzte Beziehung folgt. = (y A T ) x = x (y A T ) = x ((A T ) T y ), q.e.d. Ü 1.49 Sei A = A ij g i g j = A ij g i g j = A j i gi g j = A i j g i g j. Berechnen Sie A T in diesen Basen. 14 WT 2015

15 E 1.50 Ein Tensor zweiter Stufe heißt symmetrisch, wenn und antisymmetrisch, wenn A = A T, A = A T. Jeder Tensor zweiter Stufe kann als Summe eines symmetrischen und eines antisymmetrischen Tensors geschrieben werden, denn 1 2 (A + AT ) ist symmetrisch und 1 2 (A AT ) ist antisymmetrisch. E 1.51 Ein Tensor Q zweiter Stufe heißt orthogonal, wenn Q Q T = Q T Q = I. Es gilt Q T = Q 1. Def 1.52 Das Paar (λ, x), x 0, heißt Eigenpaar des Tensors zweiter Stufe A, wenn A x = λx. Die Zahl λ heißt Eigenwert. Bem 1.53 In der Definition des Eigenpaars kommt kein Koordinatensystem vor. Folglich sind die Eigenwerte und Eigenelemente vom Koordinatensystem unabhängig. E 1.54 Die Eigenwerte eines Tensors A zweiter Stufe sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, das in einer gemischten Basis aufgestellt wird 1. Die Definitionsgleichung führt auf A ị jg i g j x k g k = λx k g k, A ị k xk g i = λδ i k xk g i. Koeffizientenvergleich liefert das lineare Gleichungssystem (A ị k λδi k )xk = 0 aus drei Gleichungen, das nur dann eine nicht-triviale Lösung besitzt, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix verschwindet, A 1.1 λ A1.2 A 1.3 A 2.1 A 2.2 λ A2.3 A 3.1 A 3.2 A 3.3 λ = 0. Diese charakteristische Gleichung kann auch in der Form λ 3 + I 1 (A)λ 2 I 2 (A)λ + I 3 (A) = 0 1 Jede andere Basis führt über Heben und Senken von Indices auf dasselbe charakterische Polynom. WT

16 mit den Invarianten I 1 (A) = spur(a) := A ị i I 2 (A) = det(a) spur(a 1 ) I 3 (A) = det(a) geschrieben werden. Nach dem Wurzelsatz von Vieta bzw. wegen gilt λ 3 + I 1 (A)λ 2 I 2 (A)λ + I 3 (A) = (λ 1 λ)(λ 2 λ)(λ 3 λ) I 1 (A) = λ 1 + λ 2 + λ 3 I 2 (A) = λ 1 λ 2 + λ 1 λ 3 + λ 2 λ 3 I 3 (A) = λ 1 λ 2 λ 3. Ü 1.55 Warum heißen die Invarianten Invarianten? Zeigen Sie I 2 (A) = 1 2 (I 1(A) 2 I 1 (A 2 )). I 2 (A) = I 3 (A) I 1 (A 1 ). Satz 1.56 Die Eigenwerte eines symmetrischen Tensors sind reell und Eigenelemente zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Ü 1.57 Man finde alle Eigenpaare der Dyade a b. Bsp 1.58 (Spannungstensor) Es ist sinnvoll, die Eigenelemente des Spannungstensors als Basis g 1, g 2, g 3 zu verwenden, man spricht von einer Hauptachsentransformation. Zum einen ergibt sich bei Normierung ein Orthonormalsystem. Zum anderen verschwinden in diesem Koordinatensystem alle Schubspannungen. Die drei Normalspannungen in diesem Koordinatensystem sind die Eigenwerte des Spannungstensors. σ 22 σ 22 σ 21 σ 12 σ 11 σ WT 2015

17 1.3 Tensoren höherer Stufe E 1.59 Das Tensorprodukt kann man verallgemeinern und Objekte der Form a b c oder a b c d,... einführen. Jede Linearkombination der 3 n Tensorprodukte g i1 g i2... g in } {{ } n mal bezeichnet man als Tensor n-ter Stufe. Die Rechenoperationen werden wie in Abschnitt 1.2 definiert. Bsp 1.60 Als Beispiel für einen Tensor dritter Stufe betrachten wir den Levi- Civita-Tensor bzw. ɛ-tensor dessen Komponenten E = ɛ ijk g i g j g k, ɛ ijk := (g j g k ) g i wir schon in Beispiel 1.23 eingeführt hatten. Es gilt E y x = x y, E z y x = x (y z). Bsp 1.61 Ein Tensor vierter Stufe tritt in der linearen Elastizitätstheorie auf. Der Verzerrungstensor ɛ und der Spannungstensor σ sind Tensoren zweiter Stufe, die durch durch das Hookesche Gesetz σ = C ɛ in Beziehung gesetzt werden. Der Tensor C enthält Materialkonstanten. Ein Tensor vierter Stufe wird durch 3 4 = 81 Koeffizienten bestimmt, aber aufgrund von Symmetrieeigenschaften enthält C nur maximal 21 unabhängige Koeffizienten, bei isotropem Material sogar nur 2. WT

18 2 Tensorfelder Was ist der Gradient, wenn wir Kugelkoordinaten verwenden? Bem 2.1 Bisher haben wir uns mit einzelnen Tensoren und einer festen Basis beschäftigt. In diesem Kapitel betrachten wir vom Ort abhängige Tensoren, die man auch als Tensorfelder bezeichnet. Zur Beschreibung des Ortes wollen wir allgemeine krummlinige Koordinaten verwenden (vergleiche Mathematik III: Kurven und Flächen im Raum), so dass die Basis in jedem Punkt eine andere sein kann. Wir konzentrieren uns hier vor allem auf Differentiationsregeln für solche Tensorfelder. 2.1 Krummlinige Koordinaten E 2.2 Ein Punkt P wird durch drei Zahlen beschrieben, die Koordinaten; nennen wir sie q 1, q 2, q 3 und schreiben P (q 1, q 2, q 3 ). Die Bedeutung der drei Zahlen ergibt sich aus dem verwendeten Koordinatensystem. Wir wollen annehmen, dass uns die Zuordnung von Koordinaten zum Punkt bekannt ist: sind Koordinaten gegeben, wissen wir welcher Punkt gemeint ist, und zu jedem Punkt können wir die zugehörigen Koordinaten angeben. Wenn wir zwei der drei Koordinaten festhalten und die dritte variieren, erhalten wir eine Raumkurve, eine Koordinatenlinie. Wenn wir einen Koordinatenursprung O festlegen, können wir den Punkt P (q 1, q 2, q 3 ) auch durch seinen Ortsvektor r = OP charakterisieren, r = r(q 1, q 2, q 3 ). q 3 q 2 P (q 1, q 2, q 3 ) r q 1 0 Abbildung 1: Punkt P mit Ortsvektor r und Koordinatenlinien Die Vektoren 2 g i := r(q1, q 2, q 3 ) q i (2.1) sind Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien 3. Man beachte, dass ein oberer Index im Nenner wie ein unterer Index behandelt wird. 2 Der Einfachheit halber verwenden wir den Begriff Vektor für Tensoren erster Stufe. 3 Die Differenz r(q 1 + q 1, q 2, q 3 ) r(q 1, q 2, q 3 ) beschreibt die Richtung einer Sekante. Skalieren mit ( q 1) 1 und Grenzübergang liefert die Richtung der Tangente. 18 WT 2015

19 Wenn der Punkt P kein singulärer Punkt des Koordinatensystems ist, dann sind die drei Vektoren g 1, g 2, g 3 linear unabhängig. Damit haben wir im Punkt P eine Basis konstruiert. Diese ändert sich im Allgemeinen von Punkt zu Punkt. Def 2.3 Bildet die Basis ein Orthonormalsystem und ist von P unabhängig, dann bezeichnen wir das Koordinatensystem als kartesisch, andernfalls als krummlinig. Wie in Kapitel 1 definieren wir die duale (biorthogonale) Basis g 1, g 2, g 3 durch die Gleichungen g i g j = δ i j. Die Metrikkoeffizienten G ij := g i g j, G ij := g i g j, sind die Komponenten des Metriktensors bzw. Einheitstensors I, siehe Beispiel E 2.4 (Koordinatentransformationen) Gehen wir von Koordinaten q 1, q 2, q 3 zu Koordinaten q 1, q 2, q 3 über, dann gilt wegen die Beziehung g i = r q i und g j := r q j g i = r q i = r q j q j q i = g q j j q i. Man kann diese Transformation der Koordinatenvektoren wieder schreiben als g i = A j i g j, A j i := qj q i bzw. g i = Ãj i g j, à j i := qj q i, man vergleiche Bemerkung 1.26: Die Beziehung A j i = g i g j gilt natürlich immer noch, aber jetzt haben wir einen Ausdruck für A j i, ohne die gj berechnet zu haben. Ist f = f i g i = f j g j ein Tensor erster Stufe, dann ergibt sich mit den Umrechenformeln zum Beispiel die Beziehung f i g i = f j à i j g i, also f i = Ãi j f j. WT

20 Bsp 2.5 (Zylinderkoordinaten) Mit Hilfe der kartesischen Koordinaten x 1, x 2, x 3 können Zylinderkoordinaten (q 1, q 2, q 3 ) = (ϱ, ϕ, z) erklärt werden werden, x 1 = ϱ cos ϕ, x 2 = ϱ sin ϕ, x 3 = z. Damit ist ϱ der Abstand von der x 3 -Achse und ϕ der Polarwinkel. x 3 z P ϕ ρ x 2 x 1 Bezeichnen e 1, e 2, e 3 die kartesischen Basisvektoren, dann gilt g 1 = r ϱ r = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = ϱ cos ϕ e 1 + ϱ sin ϕ e 2 + z e 3, = cos ϕ e 1 + sin ϕ e 2, g 2 = r ϕ = ϱ sin ϕ e 1 + ϱ cos ϕ e 2 g 3 = r z = e 3. Skalarprodukt bilden Ü 2.6 Man zeige, dass die Vektoren g 1, g 2, g 3 aus Beispiel 2.5 ein Orthogonalsystem bilden und dass g 1 = 1, g 2 = ϱ, g 3 = 1 gilt. Man schlussfolgere daraus die Beziehungen g 1 = g 1, g 2 = ϱ 2 g 2, g 3 = g 3 und [G ij ] 3 i,j=1 = ϱ , [G ij ] 3 i,j=1 = ϱ Bem 2.7 Man könnte auch zu einer Orthonormalbasis übergehen. Durch die Skalierung verlöre man aber die grundlegende Beziehung (2.1). 20 WT 2015

21 Bsp 2.8 (Kugelkoordinaten) Kugelkoordinaten (q 1, q 2, q 3 ) = (r, θ, ϕ) werden mit Hilfe der kartesischen Koordinaten x 1, x 2, x 3 durch die Gleichungen x 1 = r sin θ cos ϕ, x 2 = r sin θ sin ϕ, x 3 = r cos θ erklärt. Damit ist r = r der Abstand vom Koordinatenursprung. x 3 r P ϕ θ x 2 x 1 Analog zu Beispiel 2.5 erhält man g 1 = r r g 2 = r θ r = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 = r sin θ cos ϕ e 1 + r sin θ sin ϕ e 2 + r cos θ e 3, = sin θ cos ϕ e 1 + sin θ sin ϕ e 2 + cos θ e 3, = r cos θ cos ϕ e 1 + r cos θ sin ϕ e 2 r sin θ e 3, g 3 = r ϕ = r sin θ sin ϕ e 1 + r sin θ cos ϕ e 2. Ü 2.9 Man zeige, dass die Vektoren g 1, g 2, g 3 aus Beispiel 2.8 orthogonal sind und dass g 1 = 1, g 2 = r, g 3 = r sin θ gilt. Man schlussfolgere daraus die Beziehungen und [G ij ] 3 i,j=1 = g 1 = g 1, g 2 = r 2 g 2, g 3 = (r sin θ) 2 g r (r sin θ) 2, [G ij ] 3 i,j=1 = r (r sin θ) 2. WT

22 2.2 Differentiale und der Gradient einer skalaren Funktion Def 2.10 Das Differential dr ist definiert als dr := r q i dqi = g i dq i, wobei über i summiert wird 4. Man kann sich dr als infinitesimalen Vektor vom Punkt (q 1, q 2, q 3 ) zum Punkt (q 1 + dq 1, q 2 + dq 2, q 3 + dq 3 ) veranschaulichen. Folgerung 2.11 Es gilt dq i = g i dr = dr g i. (2.2) Folgerung 2.12 Für die Länge ds des infinitesimalen Vektors dr gilt (ds) 2 = dr dr = g i dq i g j dq j = G ij dq i dq j. (2.3) Rechts steht eine quadratische Form mit den kovarianten Komponenten des Metriktensors. Bsp 2.13 In kartesischen, Zylinder- und Kugelkoordinaten gilt (ds) 2 = (dx 1 ) 2 + (dx 2 ) 2 + (dx 3 ) 2 = (dϱ) 2 + ϱ 2 (dϕ) 2 + (dz) 2 = (dr) 2 + r 2 (dθ) 2 + r 2 sin 2 θ (dϕ) 2. E 2.14 Sei f(q 1, q 2, q 3 ) eine skalare Funktion in den Variablen q i. Das Differential von f ist definiert als df := f q i dqi. Mit (2.2) gilt folglich df = f q i dqi = f q i gi dr = g i f q i dr. Def 2.15 Der Vektor f = g i f q i wird als Gradient von f bezeichnet. Der symbolische Vektor := g i q i (2.4) heißt Nabla-Operator. 4 Ein oberer Index im Nenner wird wie ein unterer Index behandelt. 22 WT 2015

23 Bsp 2.16 In Zylinderkoordinaten lautet der Gradient von f f = g i f q i = g 1 f f f + g2 + g3 ϱ ϕ z f = g 1 ϱ + g 1 f 2 ϱ 2 ϕ + g f 3 z mit g i und g j aus Beispiel 2.5. Da die g i orthogonal sind, gilt mit Übung 2.6 f 2 = g 1 2 f 2 ϱ + g 2 2 f 2 ϕ + g 3 2 f 2 z = f 2 ϱ + ϱ 2 f 2 ϕ + f 2 z. Ü 2.17 (Normalenvektor auf einer Isofläche) Gegeben sei eine skalare Funktion φ(q 1, q 2, q 3 ). Dann beschreibt φ(q 1, q 2, q 3 ) = c eine Fläche im Raum, die Isofläche der Funktion φ zum Niveau c. Der Vektor φ zeigt in Normalenrichtung. (Auf der Oberfläche ist dφ = 0, also φ dr = 0, das heißt, der Gradient steht senkrecht auf allen Tangentenrichtungen dr bzw. infinitesimal kleinen Bewegungen dr in der Isofläche.) Die auf Länge Eins normierte Normale ist also n = φ φ. Es gilt φ = φ q i gi also φ 2 = φ φ = φ q m gm φ q n gn nm φ φ = G q m q n, n = φ q i φ φ Gnm q m q n g i = ij φ G q i φ φ Gnm q m q n g j. Ü 2.18 (Winkel zwischen zwei Isoflächen) Der Winkel α zwischen den Isoflächen φ(q 1, q 2, q 3 ) = c 1 und ψ(q 1, q 2, q 3 ) = c 2 ist in einem Schnittpunkt definiert durch cos α = n φ n ψ ij φ G q = i g j φ φ Gnm q m q n ψ q k ψ ψ Grt q r q t g k = Die Flächen stehen senkrecht aufeinander, wenn ij φ ψ G q i q j = 0 gilt. ij φ ψ G q i q j φ φ Gnm q m q n ψ ψ Grt q r q t WT

24 Ü 2.19 (Koordinatenflächen) Speziell gilt für die Normalenvektoren auf den Koordinatenflächen q 1 = c 1 und q 2 = c 2 n 1 = 1 G 11 g1 = G1j G 11 g j n 2 = 1 G 22 g2 = G2k G 22 g k und damit gilt für den Schnittwinkel α 12 cos α 12 = n 1 n 2 = G1j G 11 g j 1 G 22 g2 = G 12 G 11 G 22. Die Koordinatenflächen stehen senkrecht aufeinander, wenn G 12 = 0 gilt. 2.3 Differentiation von Tensorfeldern E 2.20 Wir betrachten eine Vektorfunktion f(q 1, q 2, q 3 ) und differenzieren diese nach q j : f q j = (f i g i ) q j = f i q j g i + f i g i q j. Während bei einem kartesischen Kordinatensystem der zweite Term verschwindet, hängt g i im Allgemeinen auch von q 1, q 2, q 3 ab. Wir wollen uns jetzt diese Ableitung genauer ansehen. Def 2.21 Der Vektor g i kann in der Basis g 1, g 2, g 3 bzw. g q j 1, g 2, g 3 dargestellt werden: g i q j = Γ ijkg k = Γ k ijg k, (2.5) wobei die Zerlegungskoeffizienten Γ ijk bzw. Γ k ij als Christoffel-Symbole 1. bzw. 2. Art bezeichnet werden. Übung 2.29 kann beliebig vorgezogen werden. Folgerung 2.22 Es gelten die Beziehungen sowie Γ ijk = g i q j g k, Γ ijk = Γ n ij G nk, Γ k ij = Γ ijn G nk. Γ k ij = g i q j gk (2.6) Folgerung 2.23 Die Christoffel-Symbole besitzen die Symmetrieeigenschaften Beweis Γ k ij = g i q j gk = Γ ijk = Γ jik, r q j q i gk = Γ k ij = Γ k ji. r q i q j gk = g j q i gk = Γ k ji q.e.d. Folgerung 2.24 Die Ableitung einer Vektorfunktion kann also wie folgt geschrieben werden: f q j = f i q j g i + f i g i q j = f k ( ) f q j g k + f i Γ k k ijg k = q j + f i Γ k ij g k. 24 WT 2015

25 Def 2.25 (kovariante Ableitung der kontravarianten Komponenten) Man schreibt auch j f k für den Klammerausdruck in Folgerung 2.24, das heißt, j f k := f k q j + f i Γ k ij, f q j = ( j f k ) g k, und bezeichnet j f k als die kovariante Ableitung der kontravarianten Komponenten von f. Ü 2.26 (Testfrage) Welchen Wert haben die Christoffel-Symbole bei einem kartesischen Koordinatensystem? überlegen Bem 2.27 Die Christoffel-Symbole hängen nicht nur von den Basisvektoren ab, sondern auch von der Änderungsrate der Basisvektoren von Punkt zu Punkt, siehe (2.6). Diese Änderungsrate folgt nicht den Transformationsregeln für Tensoren, deshalb sind die Christoffel-Symbole keine Komponenten eines Tensors, auch wenn die Notation so aussieht. Allerdings gelten bekannte Formeln für das Heben und Senken von Indizes. Wegen Γ ijk g k = Γ k ij g k gilt Γ ijk g k g l = Γ k ij g k g l = Γ l ij, also E 2.28 Es gilt auch Γ l ij = Γ ijk G kl. Γ k ij = gk q j g i, (2.7) denn mit (2.6) folgt folgt aus 2.23 Γ k ij = g i q j gk = (g i g k ) q j gk q j g i = δk i q j gk q j g i = gk q j g i. Ü 2.29 Wir bestimmen die Christoffel-Symbole 2. Art für Zylinderkoordinaten. Aus den Definitionsgleichungen, siehe Beispiel 2.5, erhalten wir g 1 ϱ = 0, g 1 ϕ = 1 ϱ g 2, g 2 ϱ = 1 ϱ g 2, g 2 ϕ = ϱ g 1, g 1 z = 0, g 2 z = 0, g 3 ϱ = 0, g 3 ϕ = 0, g 3 z = 0. Daraus ergibt sich, dass alle Christoffelsymbole verschwinden, außer Γ 1 22 = ϱ, Γ 2 12 = Γ 2 21 = 1 ϱ. Ü 2.30 Analog ergibt sich für Kugelkoordinaten Γ 1 22 = r, Γ 2 12 = Γ 2 21 = Γ 3 13 = Γ 3 31 = 1 r, Γ 3 23 = Γ 3 32 = cot θ, Γ 1 33 = r sin 2 θ, Γ 2 33 = sin θ cos θ. WT

26 E 2.31 (kovariante Ableitung der kovarianten Komponenten) In Definition 2.25 haben wir die kovariante Ableitung der kontravarianten Komponenten definiert. Wir können den Tensor f aber auch mit kovarianten Koeffizienten darstellen. Es gilt zunächst analog zu Bemerkung 2.20 f q j = (f i g i ) q j = f i g i q j gi + f i q j. Mit (2.5) und durch Umdefinieren des Summationsindexes folgt weiter f q j = f i q j gi f i Γ i kj gk = f i q j gi f k Γ k ijg i = ( j f i )g i, (2.8) wobei die kovariante Ableitung der kovarianten Komponenten durch definiert ist. j f i = f i q j f kγ k ij Bem 2.32 (Ableitung von Produkten) Es gelten die Produktregeln (a b) q j = a q j b + a b q j, (a b) q k = a q k b + a b q k. Die Herleitung kann aus der Definition der Ableitung erfolgen. E 2.33 (kovariante Ableitung eines Tensors 2. Stufe) Ableitungen eines Tensors 2. Stufe kann man mit ähnlichen Überlegungen bestimmen: wobei A q k = (Aij g i g j ) q k = Aij q k g i g j + A ij ( gi q k g j + g i g ) j q k = Aij q k g i g j + A ij ( Γ t ik g t g j + g i Γ t jk g ) t = Aij = q k g i g j + A sj Γ t sk g t g j + A is g i Γ t sk g t ( ) A ij q k + Γi sk Asj + Γ j ks Ais g i g j = ( k A ij )g i g j k A ij := Aij q k + Γi sk Asj + Γ j ks Ais definiert wird. Analog gilt A q k = ( ka ij )g i g j mit k A ij := A ij q k Γs ki A sj Γ s kj A is. Bem 2.34 Für weitere Formeln sei auf die Literatur verwiesen. 26 WT 2015

27 Bem 2.35 Bei orthogonalen Basen reichen statt der Zahlen Γ k ij die drei Größen H i = G ii. 2.4 Gradient, Divergenz und Rotation von Vektorfunktionen E 2.36 (Differential und Gradient einer Vektorfunktion) Wir betrachten eine Vektorfunktion f(q 1, q 2, q 3 ). Für das Differential gilt mit (2.2) df = f q i dqi = f q i (dr gi ) = (dr g i ) f ( q i = dr g i f ) q i = dr f mit dem Vektorgradienten der ein Tensor 2. Stufe ist. f = f = g i f q i, (2.9) Ü 2.37 Man wiederhole das Transponieren von Tensoren 2. Stufe, siehe Bemerkung 1.48, und folgere, dass vorbereiten! df = f T dr gilt. Folgerung 2.38 (kovariante Komponenten des Vektorgradienten) Es gilt mit (2.9) und (2.8) f = g i f q i = gi ( i f j )g j = i f j g i g j, das heißt, die i f j sind die kovarianten Komponenten des Vektorgradienten f. Analog gilt f = i f j g i g j, das heißt, die i f j sind gemischte Komponenten des Vektorgradienten f. Def 2.39 (Divergenz und Rotation) Mit Hilfe des Nabla-Operators, siehe (2.4), wird auch die Divergenz div f = f = g i f q i und die Rotation definiert. rot f = f = g i f q i Ü 2.40 (Berechnung der Divergenz) Es gilt div f = g i f ) q i = gi ( j f k g k = j f k (g i g k ) = k f k. WT

28 Ü 2.41 (Berechnung der Rotation) Es gilt rot f = g j f ( q j = gj j f k g k) = j f k g j g k = j f k ε ijk g i. E 2.42 Analog kann man Gradient und Divergenz von Tensorfunktionen k-ter Stufe, k 2, definieren. Man erhält eine Tensorfunktion (k+1)-ter bzw. (k 1)- ter Stufe. Ü 2.43 Für den Ortsvektor r gilt r = g i r q i = gi g i = I, r = g i r q i = gi g i = 3, r = g i r q i = gi g i = 0. Die letzte Beziehung erhält man mit Hilfe der Beziehungen g i g i = G ij g i g j, g i g j = g j g i und G ij = G ji. Ü 2.44 (Differentiationsregeln) Man kann nun verschiedene Differentiationsregeln herleiten: (φψ) = g i (φψ) q i = g i ( φ q i ψ + φ ψ q i = ψ φ + φ ψ, (φf) = g i (φf) q ( i φ = g i q i f + φ f ) q i ) = g i φ q i f + φ gi f q i = φ f + φ f, Mit der Formel zur Ableitung des Skalarprodukts (Bemerkung 2.32) folgt i (a b) (a b) = g q i ( a = g i q i b + b ( = g i a ) q i b + = a b + b a Weitere Formeln findet man in der Literatur. ) q i a ( g i b q i ) a 28 WT 2015