Lineare Algebra - Übungen 1 WS 2017/18

Transkript

1 Prof. Dr. A. Maas Institut für Physik N A W I G R A Z Lineare Algebra - Übungen 1 WS 017/18 Aufgabe P1: Vektoren Präsenzaufgaben 19. Oktober 017 a) Zeichnen Sie die folgenden Vektoren: (0,0) T, (1,0) T, (0,1) T, (,3) T, ( 1,3) T und berechnen Sie für diese Vektoren die skalare Multiplikation mit 3/5 sowie die skalare Division mit 3. b) Wie lang sind diese Vektoren? Wie ändert sich die Länge durch die Multiplikationen bzw. Divisionen? c) Bestimmen Sie die Einheitsvektoren in diese Richtungen. d) Bestimmen Sie sowohl zeichnerisch/geometrisch als auch direkt die Summen und Differenzen dieser Vektoren. Aufgabe P: Quadrate Beschreiben Sie ein Quadrat mittels Vektoren. Bestimmen Sie außerdem einen Pfad, der entlang der Kanten eines Quadrats verläuft. Aufgabe P3: Kronecker-δ und Einsteinkonvention BerechnenSiediefolgendenAusdrücke, wenndieindicesvon1-4laufenunddiee i beliebige Zahlen sind: a) δ ii b) δ ij e i e j c) δ ij e j d) δ ij δ jk e) δ 3j f) δ ik δ ji δ kj δ ii g) δ 13 h) δ 11 i) δ i5 Aufgabe P4: Mehrfachprodukte Betrachten Sie die drei Vektoren a = a i e i, b = b i e i und c = c i e i. Berechnen Sie ( a b) c und a( b c)sowohlinkomponentenalsauchausgedrücktdurchlängen, Winkel undrichtungen. Welche Bedingungen müssen erfüllt werden damit beide Ausdrücke gleich sind? 1

2 Hausübungen Aufgabe H1: Fingerübungen (6 Punkte) Berechnen sie für die Vektoren (1, 1) T, ( b,b) T, (a,0) T jeweils die Längen und die Einheitsvektoren in ihre Richtung. Bestimmen Sie paarweise die Summen und Skalarprodukte der Vektoren. Die Konstanten a und b können Sie als von Null verschieden annehmen. Aufgabe H: Ellipsen (+4 Punkte) Bestimmen Sie einen Pfad auf a) Dem Rand einer Ellipse mit Halbachen a und b in der x-y-ebene b) Dem Rand derselben Ellipse nachdem Sie um π/4 in die x-z-ebene gekippt wurde. Aufgabe H3: Tetraeder ( Punkte) Gegeben seien vier Punkte P i, von denen P 1 im Ursprung liegt, P auf der x-achse im Abstand a > 0, P 3 in der positiven xy-ebene mit Verbindungsvektoren zu den Punkten P 1 und P die mit der x-achse den Winkel π/3 einschliessen, und P 4 liegt im positiven xyz-quadranten und dessen Verbindungsvektoren zu den übrigen Punkten schließt auch jeweils den Winkel π/3 zur xy-ebene ein. a) Geben Sie die Vektoren zu den Punkte explizit an. b) Zeigen Sie, daß die paarweisen Abstände der Punkte alle gleich a sind, und es sich damit um einen Tetraeder handelt. c) Finden Sie Vektoren, die senkrecht nach außen auf den vier Flächen des Tetraeder stehen. Verwenden Sie hierzu das Kreuzprodukt, was Sie auch aus der Vorlesung Einführung in die Mathematik kennen. Zeigen Sie, daß diese Vektoren wieder einen Tetraeder beschreiben in dem Sie wieder paarweise alle Abstände berechnen. d) Können Sie dies zeigen ohne alle 6 Kombinationen einzeln ausrechnen zu müssen? Abgabetermin: in der jeweiligen Übungen an Ihren Betreuer. Bitte jedes Blatt mit Name, Name des Betreuers und Matrikelnummer versehen.

3 Lösungen: Aufgabe P1 a) Hierbei werden alle Komponenten separat mit den Zahlen multipliziert bzw. dividiert. b) 0, 1, 1, 13, 10. Multiplikation bzw. Division multiplizieren bzw. dividieren die Längen direkt, aber unter Verlust des Vorzeichens bei der Division mit 3. c)fürdennullvketorunmöglich, dienächstenzweisindes, dieletztensind(/ 13,3 13) T und ( 1 10,3 10) T. d) folgt direkt durch ablesen und übertragen. Ja, es ist mühselig und repetitiv. Zielvorgabe: Weniger als 30 Sekunden pro Paarung, wenn das Koordinatensystem gezeihchnet ist. Aufgabe P Die Eckpunkte sind gegeben durch e 1 = (0,0) T, e = (0,1), e 3 = (1,0) T und e 4 = (1,1) T. Dies beschreibt auch bereits zwei der Kanten. Die anderen ergeben sich durch sukzessive Addition, e 4 e 1 sowie e 4 e (mit Umlaufsinn). Einen entsprechenden Pfad erhält man mit (4t,0) T für den ersten Teil, (1,4t 1) T für den zweiten Teil, (3 4t,1) T für den dritten Teil und (0,4 4t) T für den letzten, bei mathematisch positivem Umlaufsinn und t läuft von 0 bis 1 insgesamt, und jeweils in Viertelschritten auf den einzelnen Abschnitten. Aufgabe P3 Das ergibt sich durch direktes ausrechnen. Beachten Sie: Einzeln auftauchende Indices haben keinen bekannten Wert, und sollten daher wie Variablen behandelt werden. a) δ ii = 4 i=1 δ ii = 4 i=1 1 = 4 b) δ ij e i e j = 4 i=1 4j=1 δ ij e i e j = 4 i=1 e i e i = e i c) δ ij e j = 4 j=1 δ ij e j = e i d) δ ij δ jk = 4 j=1 δ ij δ jk = δ ik - nur wenn i = j und j = k können beide δ gleichzeitig von Null verschieden sein, und das passiert nur einmal in der Summe für i = j = k e) δ 3j = 1 für j = 3, sonst 0 f) δ ik δ ji δ kj δ ii = 4 i=1 δ ki δ ij 4 i=1 δ kj δ ii = δ kj δ kj 4i=1 δ ii = δ kj (1 4) = 3δ kj - da aufgrund der Defintion δ ij = δ ji gilt g) δ 13 = 0 h) δ 11 = 1 i) δ i5 = 0 - da die Indexmenge für i nur von 1 bis 4 geht Aufgabe P4 3

4 (( a b) c) i = a j b j c i = a b c cosα a b ( e c ) i ( a( b c)) i = a i b j c j = a b c cosα c b ( e a ) i wobei α x y der eingeschlossene Winkel zwischen den angegebenen Winkel ist. Für Gleichheit müssen a und b parallel sein. Aufgabe H1 DieLängensind, b und a, dieeinheitsvektorensind(1, 1) T /, sign(b)( 1,1) T / und sign(a)(1,0) T. Die paarweisen Summen sind (1 b,b 1) T, (1+a, 1) T und (a b,b) T. Die paarweisen Skalarprodukte sind b, a und ab. Aufgabe H a)derpfadistgegebendurcheiendefomrationdeskreispfadeszu(acos(πt),bsin(πt),0) T und t [0,1]. b) Der Pfad erfordert ein geeigntes kippen, und liefert durch explizite geometrische Konstruktion (a/ cos(πt),bsin(πt),a/ cos(πt)) T. Dass sich die y-komponente nicht ändert sieht man auch direkt daran, dass die Kippebene die x-z-ebene ist. Dass die x und z Komponente gleich sein muss sieht man daran, dass die Kippung genau die Hälfte der Strecke ist. Der Faktor ergibt sich dadurch, dass die Ellipse nicht verändert werden soll. Aufgabe H3 a) Die ersten beiden Punkte sind P 1 = 0 und P = a e x, aufgrund der Aufgabenstellung. Der Vektor P 3 hat keine z-komponente. Wegen den zwei gleichen Winkeln zu P 1 und P muß seine x-komponente a/ sein. Für seine y-komponente gilt P P3 = a = a a 4 +( P 3 ) y cos(π/6) = a a 4 +( P 3 ) y, wobei die erste Gleichheit aus einer komponentenweisen Ausführng des Skalarproduktes folgt. Diese quadratische Gleichung wird durch ( P 3 ) y = 3a/ gelöst, wobei das Vorzeichen aufgrund der Aufgabenstellung festgelegt ist. Damit ist P 3 = (a/, 3a/,0) T. Die drei Vektoren bilden damit ein gleichseitiges Dreieck. Der letzte Vektor hat drei Komponenten. Da der Winkel zu allen Punkten derselbe ist, muß der vierte Punkt, wenn er in die x-y-ebene projiziert wird, genau in der Mitte der anderen drei Punkte liegen. Dann hat er aber dieselbe x Komponente wie P 3, und damit a/. Außerdem gilt P P 4 = a( P 4 ) x = a P 4 cosπ/3 = a P 4 P 3P4 = a (( P 4 ) x + 3( P ) 4 ) y = a P 4 cosπ/3 = a P 4 4

5 woraus P 4 = a und ( P 4 ) y = a/( 3) folgt. Die letzte Komponente ergibt sich dann aus ( P 4 ) z = b) Dafür ist zu berechnen P i P j für i < j: P 4 ( P 4 ) x ( P 4 ) y = 3 a P 1 P = ( a,0,0) T = a P 1 P 3 = ( a/, 3a/,0) T = a P 1 P 4 = ( a/, a/( 3), /3a) T = a P P 3 = (a/, 3a/,0) T = a P P 4 = (a/, a/( 3), /3a) T = a P 3 P 4 = (0,a/ 3, /3a) T = a. c) Dazu reicht es, Kreuzprodukte zu bilden von den Vektoren, die die Seiten aufspannen. Das ist für die ersten drei relativ direkt machbar. Es ist lediglich drauf zu achten, dass die Richtung stimmt, p 1 = P 3 P = (0,0, 3a /) T p = P P 4 = (0, /3a,a /( 3)) T p 3 = P 4 P 3 = ( a /,a / 6,a /( 3) T Lediglich für den vierten Vektor benötigt man eine etwas komplizierter Konstruktion, um einen Verbindungsvektor auf der dem Ursprung entgegengesetzten Fläche zu erhalten: p 4 = ( P P 3 ) ( P P 4 ) = ( a /, a / 6,a / 3) T. (1) Um zu zeigen, dass es wieder ein Tetraeder ist, reicht es zu zeigen, dass alle Punkte gleichweit voneinander entfernt sind: d) Die allgemeine Struktur ist p 1 p = (0, /3a, a / 3) T = a p 1 p 3 = (a /, a / 6, a / 3) T = a p 1 p 4 = ( a /, a / 6, a /( 3)) T = a p p 3 = (a /, 3/a,0) T = a p p 4 = ( a /, 3/a,0) T = a p 3 p 4 = ( a,0,0) T = a. ( P i P j ) ( P k P l ), wobei die Indices auch für Vektoren wie P 5 = P P 3 benutzt werden können, die in (1) gebraucht wurden. Aufgrund der Symmetrie des Tetraeders folgt P i P j = a sin π 3a 6 =. Wegen der Symmetrie müssen auch zwischen den Vektoren p i alle Winkel gleich sein. Damit reicht es, z. B., p 1 p = a4 4 5

6 zu berechnen um zu zeigen ( P i P j ) ( P k P l ) = ( P i P j ) + ( P k P l ) ( P i P j )( P k P l ) Und damit das es wieder ein Tetraeder ist. = 3a a4 4 a4 4 = a4 6