Vektorprodukt. Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & &

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Michaela Holzmann
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1 Vektorprodukt Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin & & zu den Vorlesungen Lineare Algebra und analytische Geometrie I (L) im WS 2003/2004, Mathematik für Physiklehrer III (L) im WS 2004/2005, Lineare Algebra und analytische Geometrie II (L,D) im SS 2005

2 Orientierung Definition Sei B = (b 1,..., b n ) eine geordnete Basis des R n. Dann heißt B positiv orientiert (bzw. negativ orientiert), wenn det (b 1,..., b n ) > 0 (bzw. < 0). Bemerkungen Die Standardbasis E = (e 1,..., e n ) ist positiv orientiert. Basen sind immer orientiert, da Vektoren linear unabhängig. im R 2 : Drehung von b 1 zu b 2 weniger als 180 = π im R 3 : Rechtsschraube: dreht man b 1 zu b 2, so dreht sich eine Schraube in Richtung b 3 rechte Hand: b1 Daumen, b 2 Zeigefinger, b 3 Mittelfinger

3 rechte Hand als positiv orientiere Basis im R3

4 Vektorprodukt Definition Seien u = (u 1, u 2, u 3 ) T, v = (v 1, v 2, v 3 ) T R 3, dann heißt u v := u 2 v 3 u 3 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 Vektorprodukt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt) von u und v. Merkregel als Determinante (Entwicklung nach 3. Spalte) u v = u 1 v 1 e 1 u 2 v 2 e 2 u 3 v 3 e 3 = e 1 u 2 v 2 u 3 v 3 e 2 u 1 v 1 u 3 v 3 + e 3 u 1 v 1 u 2 v 2

5 Eigenschaften Vektorprodukt Für beliebige u, v R 3 : 1. u v = 0 u, v linear abhängig Bew. 2. u v u und u v v Bew. 3. u, v linear unabhängig = u, v, u v pos. orientiert, d.h. det (u, v, u v) 0 Bew. 4. u v = u v sin (u, v), d.h. Bew. Flächeninhalt des von u, v aufgespannten Parallelogramms u v v u v u

6 Rechenregeln Vektorprodukt Für beliebige u, v, w R 3, λ R: 1. bilinear: (λu) v = λ(u v) = u (λv) 2. distributiv: (u + v) w = u w + v w 3. anti-kommutativ: u v = v u Beweisideen

7 Rechenregeln Vektorprodukt Für beliebige u, v, w R 3, λ R: 1. bilinear: (λu) v = λ(u v) = u (λv) 2. distributiv: (u + v) w = u w + v w 3. anti-kommutativ: u v = v u 4. Grassmann-Identität: u (v w) = u, w v u, v w 5. Jacobi-Ident.: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0 Das Assoziativgesetz gilt nicht, i.allg. u (v w) (u v) w Beweisideen

8 Rechenregeln Vektorprodukt Für beliebige u, v, w R 3, λ R: 1. bilinear: (λu) v = λ(u v) = u (λv) 2. distributiv: (u + v) w = u w + v w 3. anti-kommutativ: u v = v u 4. Grassmann-Identität: u (v w) = u, w v u, v w 5. Jacobi-Ident.: u (v w) + v (w u) + w (u v) = 0 6. u v, w = det (u, v, w) = u, v w 7. Verschärfung Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: u, v 2 = u 2 v 2 u v 2 Das Assoziativgesetz gilt nicht, i.allg. u (v w) (u v) w Beweisideen

9 Rückführung auf Standardbasis Sind a, b R 3 mit a = α 1 e 1 + α 2 e 2 + α 3 e 3, b = β 1 e 1 + β 2 e 2 + β 3 e 3, dann kann das Vektorprodukt auf E zurückgeführt werden: a b = α 1 (e 1 b) + α 2 (e 2 b) + α 3 (e 3 b) = 3 3 α i e i β j e j i=1 j=1 3 3 = α i β j (e i e j ) i=1 j=1 = (α i β j α j β i ) (e i e j ) i<j

10 Anwendungen Einheitsnormalenvektor Sind u, v R 3 linear unabhängig, so ist span{u, v} die Ebene mit dem Einheitsnormalenvektor ± u v u v. Flächeninhalt eines Dreiecks Das Dreieck mit den Eckpunkten u, v, w R 3 hat den Flächeninhalt 1 2 (v u) (w u). w u v u

11 Anwendungen Abstand Punkt zu Gerade Ist g = {u + λv} eine Gerade und w ein Punkt im R 3, so beträgt ihr Abstand v (w u) d =. v v d v (w u) = A = v d u w 0

12 Abstand windschiefer Geraden Sind g 1 = {u 1 + λv 1 } und g 2 = {u 2 + λv 2 } zwei windschiefe Geraden, so beträgt ihr Abstand d = v 1 v 2, u 1 u 2. v 1 v 2 Schnittgerade ungleicher Ebenen Sind E 1 = span{u 1, v 1 } und E 2 = span{u 2, v 2 } zwei ungleiche Ursprungs-Ebenen, so ist die Schnittgerade g = span {(u 1 v 1 ) (u 2 v 2 )}

13 Anwendungen in der Physik Lorentzkraft Ladung q bewegt sich mit Geschwindigkeit v durch Magnetfeld mit magnetischer Induktion B. Es wirkt die Lorentz-Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit und Induktion, Rechtehandregel : F Lorentz = q v B

14 Anwendungen in der Physik Winkel- und Bahngeschwindigkeit Die Winkelgeschwindigkeit ω ist Richtungsvektor der Drehachse mit der Länge Drehwinkel pro Zeit. Blickt man entlang der Achse, so erfolgt die Drehung im Uhrzeigersinn. Legt man den Ursprung auf die Achse, so errechnet sich die Bahngeschwindigkeit eines Punktes r als v = ω r. ω r r v

15 Bew. u v = 0 u, v linear abhängig Ist u = 0, so u, v linear abhängig. Sei u 0, u v = 0. Dann nach Def. gilt: i j : u i v j = u j v i. Da auch für i = j und mit einem u i0 0: Also u, v linear abhängig. O.B.d.A u = λv, j : v j = v i 0 u i0 u j, d.h. v = v i 0 u i0 u u v = (λv) v = λv 2 v 3 λv 3 v 2 λv 3 v 1 λv 1 v 3 λv 1 v 2 λv 2 v 1 = 0. zurück

16 Bew. u v u und u v v u v u u v, u = 0 Durch direktes Ausrechnen, z.b. u 2 v 3 u 3 v 2 u 1 u v, u = u 3 v 1 u 1 v 3, u 2 u 1 v 2 u 2 v 1 u 3 = (u 1 u 2 v 3 u 1 u 3 v 2 ) + (u 2 u 3 v 1 u 1 u 2 v 3 ) = 0 + (u 1 u 3 v 2 u 2 u 3 v 1 ) zurück

17 Bew. det (u, v, u v) 0 Entwicklung nach 3. Spalte liefert u 1 v 1 u 2 v 3 u 3 v 2 det u 2 v 2 u 3 v 1 u 1 v 3 u 3 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 = ( 1) 3+1 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) (u 2 v 3 u 3 v 2 ) + ( 1) 3+2 (u 1 v 3 u 3 v 1 ) (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + ( 1) 3+3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) (u 1 v 2 u 2 v 1 ) = (... ) 2 + (... ) 2 + (... ) 2 0 zurück

18 Bew. u v = u v sin (u, v) (Die Rechenregeln sind zunächst zu beweisen.) Umstellung der verallgemeinerten Cauchy-Schwarzschen Ungleichung: u v 2 = u 2 v 2 u, v 2 Durch Einsetzen der bekannten Formel ergibt sich u, v = u v cos (u, v) u v 2 = u 2 v 2 (1 cos 2 (u, v) ). zurück

19 Beweise zu Rechenregeln durch direktes Ausrechnen 5. durch 3-fache Anwendung von 4. 6.: linker Teil klar mit Merkregel, rechter Teil mit det(u, v, w) = det(v, u, w) = det(v, w, u) = v w, u 7.: mit 6. und 4. ist u v 2 = u v, u v = u, v (u v) = u, v, v u v, u v = v, v u, u v, u u, v = v 2 u 2 v, u 2 ( ) u, u u, v vgl. Gram-Matrix: = det v, u v, v zurück

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