Lineare (affine) Abbildung

Transkript

1 Lineare affine Aildung A e 2 a e Wir üerziehen die Eene neen dem vertrauten Quadrat-Gitternetz, das durch die Basisvektoren e und e 2 festgelegt ist, mit einem Parallelogramm-Gitternetz, dessen Maschen durch die Vektoren a und gegeen sind. Jeder Punkt der Eene P kann nun auch durch p = a+ mit den affinen Koordinaten, erfasst werden, z.b. P 2 mit 2,2. = a + = a lautet in Matrizenschreiweise a = a 2 2 und für unser Beispiel =,5,5,5 Hierdurch ist eine lineare Aildung gegeen, die jedem Vektor einen Vektor zuordnet, zw. jedem Punkt P einen Bildpunkt P.

2 Lineare affine Aildung Fortsetzung Die Einheitsvektoren e = und e 2 = werden hierei auf a zw. ageildet und das Einheitsquadrat auf ein Parallelogramm, das von a und aufgespannt wird. Sein Flächeninhalt eträgt = a 2 a 2 2. Folgere daraus, dass zwischen den Flächeninhalten einer Figur F und einer Bildfigur F die Beziehung F = F esteht.. a Auf welchen Punkt wird A 2 vorige Seite ageildet? Ermittle die Flächeninhalte der eiden Vierecke, sowie. Zur Kontrolle: F = 2FE F = 5FE =,25 A e 2 a e 2. Der Kreis wird auf die Ellipse ageildet. Der Nachweis ist nicht verlangt. Hierzu enötigt man die Umkehraildung,4,2 =,4,8 und eine Hauptachsentransformation kein schulischer Inhalt. Ermittle den Flächeninhalt der Ellipse. 2

3 Lineare Aildung A =,8,3,2,7 Jedes Quadratgitternetz allgemeiner Parallelogrammgitternetz wird auf ein Parallelogrammgitternetz ageildet. Hierzu ist zuerst zu zeigen, dass Geraden in Geraden üergehen. = A g: = a+λ u = A a+λ u =... Jede Fläche F lässt sich durch ein feines Quadratgitternetz approimieren. Alle Quadrate werden auf Parallelogramme mit dem -fachen Flächeninhalt ageildet. Für den Flächeninhalt F gilt daher F = F. 3

4 Affine Aildung, iteriert A =,8,3,2,7 = A Wir ilden...aaaa Was fällt dir auf? 4

5 Netz mit Eigenvektoren A =,8,3,2,7...AAAA = A Die Matri a a esitzt die Eigenwerte und a, zugehörige Eigenvektoren sind: und. a Erläutere die Situation. 5

6 Lineare Aildungen. Wie lauten die Gleichungen der Projektion, die elieige Raumpunkte parallel in Richtung des Vektors v = 2 auf die Bildeene E : +z = aildet? 2 Lösung: λ = + z Schnitt einer Geraden mit der Eene = z = z z = z Oder in Matri-Schreiweise: A = Die Aildung wird nun durch = A erfasst Wie ist der Punkt in = A zu verstehen? 3. Eine lineare Aildung sei durch 2 2 gegeen. Bilde das Viereck mit den Eckpunkten A, B,5, C2 2, D,5 a. 4. Wie werden Einheitsvektoren wie e = durch = A ageildet? Welcher Zusammenhang esteht mit der Aildungsmatri? 5. Zeige, dass elieige Aildungen im Raum oder in der Eene = A linear sind, d.h. es ist A λ = λ A und A + = A +A. Was edeuten diese Eigenschaften geometrisch? 6. Begründe, dass ei einer linearen Aildung die Bilder elieiger Vektoren mit den Bildern von Einheitsvektoren ermittelt werden können. 7. Wie lauten die Aildungsmatrizen in der Eene a Spiegelung an der -Achse Spiegelung an der -Achse c Punktspiegelung am Ursprung d Zentrische Streckung mit dem Faktor d e Drehung um 9 um den Ursprung? 8. Wie lautet die Aildungsmatri der Drehung um den Ursprung in der Eene im Raum um die z-achse? 9. Wie ergit sich die Aildungsmatri für die Hintereinanderausführung Verkettung zweier linearer Aildungen? matri, lat. Mutterlei, Uterus 6

7 2. a c d = a+ d+e C 3. D B D C B A = A 4. Die Bilder der Einheitsvektoren sind die Spalten der Aildungsmatri. 5. Durch Nachrechnen wird estätigt: A λ = λ A und A + = A +A Das Bild einer Summe zweier Vektoren, kann auch als Summe der eiden Bildvektoren A, A erhalten werden siehe oige Grafik. Parallelogramme werden auf Parallelogramme ageildet. 6. Vektoren können als Linearkomination von Einheitsvektoren dargestellt werden. Die Bildvektoren ergeen sich als Linearkomination mit denselen Koeffizienten der Bildvektoren der Einheitsvektoren. 7. a Spiegelung an der -Achse Spiegelung an der -Achse c Punktspiegelung am Ursprung d Zentrische Streckung mit dem Faktor d d d e Drehung um 9 um den Ursprung sinϕ ϕ }{{} cosϕ 8. Die Drehung ist eine lineare Aildung, da die Linearitätsedingungen anschaulich erfüllt sind. Daher ergit sich die Aildungsmatri durch die Aildung der Einheitsvektoren. cosϕ sinϕ cosϕ sinϕ A = A = sinϕ cosϕ sinϕ cosϕ 9. A = a c d B = e f g h Sei C durch B A = C festgelegt. Dann gilt: C = ea+fc e+fd ga+hc g+hd C wird als Produkt der Matrizen B und A aufgefasst: C = B A Für die Bildung des Produkts git es eine einfache Merkregel: 7 e f g h a c d

8 Parallelprojektion auf die z-eene Diese lineare Aildungsart ist rechnerisch esonders einfach. Sei die Projektionsrichtung durch den Vektor v = a gegeen. Q wird hierei auf Q a ageildet und allgemeiner P z auf P a + +z, hierzu ist die Gerade durch P mit dem Richtungsvektor v mit der z-eene zu schneiden λ =. Die Aildungsgleichungen lauten = : = a + z = + z oder in Matri-Schreiweise: z = a z Betrachten wir nun die Aildung des Einheitswürfels für a = 2 und = 4. Hierei gilt z. B.: E E 2 4 E 2 E Insgesamt ergit sich das Bild: z 2 4 8

9 Drehung um den Ursprung Erläutere: cosα sinα sinα cosα α = 3 a acosα asinα sinα cosα α α } {{ } cosα sinα a? α = 5 a + acosα + asinα sinα cosα a a acosα sinα asinα+cosα In Matri-Schreiweise: a cosα sinα = sinα cosα a Drehung um die z-achse: a = c cosα sinα sinα cosα a c 9

10 Additionstheoreme a α acosα sinα asinα+cosα Erläutere: α β cosα sinα cosαcosβ sinαsinβ sinαcosβ +sinβcosα α+β cosα+β sinα+β sin α+β = sinα cosβ + sinβ cosα cos α+β = cosα cosβ sinα sinβ