Vierte Schularbeit Mathematik Klasse 5B am 24. Mai 2018

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1 Vierte Schulareit Mathematik Klasse 5B am 4. Mai 018 KORREKTURVORLAGE Version 1.0 (13:41 evt. Noch Fehlerchen) Aufgae 1. (P) Zahlenmengen AG 1.1 Kreuzen Sie diejenige Menge an, zu welcher die Zahl gehört! N Z R \ Q Q + Q [ 1; 0] Q Aufgae. (P) Vektoren 1 AG 3.3 Es sind A, B, C R. Kreuzen Sie diejenigen eiden Ausdrücke an, die Vektoren in R sind! ( A + B) C A (B + C) A B (A B)(C A) (A B)C 1

2 Aufgae 3. (3P) Vektoren AG 3.1 In einem Wald git es zwei Krähenarten, die Neelkrähe und die Schwarze Krähe. Der Naturschutzverein dokumentiert jedes Jahr einen Vektor K J = (N S) mit den Beständen der eiden Krähenarten in dem Wald, hierei ist N die Anzahl der Neelkrähen und S die Anzahl der Schwarzen Krähen in dem Jahr J. Im Jahr 016 war K 016 = ( ). Im Jahr 017 ga es 10% mehr Neelkrähen und 5% weniger Schwarze Krähen als in 016. Schreien Sie den Vektor K 017 an! Ihre Antwort: K 017 = ( ) Aufgae 4. (P) Vektoren 3 AG 3. Es sei M der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD eines Parallelogramms ABCD. Kreuzen Sie die eiden im Allgemeinen zutreffenden Gleichungen an! BM + 1 DB = 0 M = 0, 5 AC D = BC + CD AM + MB = CM + MD A + B + C + D = 4M Aufgae 5. (P) Ganz normale Vektoren AG 3.5

3 Die Vektoren A = (3 4) und B = (10 ) stehen normal auf einander. Bestimmen Sie den Wert von! Ihre Antwort: = 7 1 Aufgae 6. (P) Quadratische Gleichungen AG.3 Bestimmen Sie den Wert von a, sodass die Gleichung (x ) = x a genau eine Lösung x hat! Ihre Antwort: a = 5. Aufgae 7. (P) Lineare Funktion FA. Der Punkt P = (3 7) liegt auf dem Graphen der linearen Funktion f(x) = kx + 1. Bestimmen Sie den Wert von k! Ihre Antwort: k = Aufgae 8. (P) Zugeordnete Vektoren AG 3.3 Orden Sie jedem Vektor aus der linken Taelle den richtigen Ausdruck aus der rechten Taelle zu! 3

4 x = AB AC AB + BC + CA ( AC AD) ( DB + BC) x = AB + BA C D E A A B C D E AB AC CB 0 DC Aufgae 9. (3P) Dreiecke AG 3.3 Gegeen sind die Eckpunkte eines Dreiecks ABC: A = ( 1 ), B = (3 1), C = (4 5). Bestimmen Sie die Vektoren AB, BC und AC und egründen Sie, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist. Ihre Antwort: AB = (4 1), BC = (1 4) und AC = (5 3). Die Vektoren (4 1) und (1 4) stehen normal auf einander, da ihr Skalarprodukt Null ist. Aufgae 10. (P) Winkel AG 4.1 Gegeen ist die folgende Figur, welche aus zwei identischen Rechtecken mit Seitenlängen a und esteht: 4

5 Kreuzen Sie die eiden auf die ageildete Figure zutreffenden Aussagen an! ( ) α = arcsin. a ( ) a β = arctan. ( ) ( a γ = arctan arcsin a a ). + ( δ = arccos ). +a ( ) ɛ = arctan. a Aufgae 11. (P) Doppelt Linear AG.5 Es sei g : x + 3y = 5 eine Gerade, welche parallel zur Geraden h : 3x + c y = ist. Bestimmen Sie den Wert von c! Ihre Antwort: c = 4 1 Vierte Schulareit Mathematik Klasse 5B am 4. Mai 018 Zweiter Teil Aufgae 1 (zu 9P). Punkte auf Kreisen. 5

6 Wir etrachten eine Menge an Punkten in der Eene, die von einem Parameter t ahängen; für jeden Wert von t git es einen Punkt P (t) in der Eene. Die Punkte P (t) sind durch folgende Vorschrift gegeen: ( t 1 t ) P (t) = Gleichung (1) 1 + t 1 + t (a). (1 AP) Begründen Sie, dass wenn t Z, die Koordinaten von P (t) rationale Zahlen sind. Wenn t eine ganze Zahl ist, dann sind t, 1 + t und 1 t auch ganze Zahlen. Per Definitionem sind rationale Zahlen von der Form a mit a, Z. Die Koordinaten von P (t) sind t und 1 t, woei also für t Z Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, also 1+t 1+t sind die Koordinaten rational. (). (P) Begründen Sie, dass alle Punkte P (t) auf dem Einheitskreis liegen, das heißt, Sie müssen zeigen, dass P (t) = 1. ( ) Berechnen wir mal P (t) t. Wir sehen, dass 1+t = 4t und (1+t ) Summe dieser Terme ergit also was zu eweisen war. 1 + t + t 4 (1 + t ) = 1 + t + t t + t 4 = 1 ( 1 t ) 1+t = 1+t 4 t. Die (1+t ) Weil die Punkte P (t) auf dem Einheitskreis liegen, kann jeder Punkt P (t) auch in Polarkoordinaten geschrieen werden als P (t) = (cos(α) sin(α)); der Winkel α ist natürlich von t ahängig, sodass wir P (t) = (cos(α(t)) sin(α(t))) schreien sollten. Wenn wir das ausschreien, haen wir die Gleichungen cos(α(t)) = t 1 t, sin(α(t)) = 1 + t 1 + t. (c). (1AP) Geen Sie einen Termausdruck für tan(α(t)). tan(α(t)) = 1 t t (d). (3P) Berechnen Sie den Wert / die Werte von t, für welche (i) P (t) = (1 0), (ii) P (t) = (0 1) und (iii) cos(α(t)) = sin(α(t)). Bei (i) t = 1, (ii) t = 0, (iii) t ist die Lösung von t + t 1 = 0, also t = 1 ± P (1) = (1 0), P (0) = (0 1), P ( 1 ( 1 ) = + 1 ) +, 6

7 P ( 1 + ( 1 + = 1 + ) Pythagoreische Zahlentripel sind als Vektoren (a c) Z 3 \ {(0 0 0)} zu etrachten, welche die Gleichung a + = c erfüllen. Zu eachten ist, dass alle drei Komponenten ganze Zahlen sind. Aus so einem Pythagoreischen Zahlentripel (a c) kann man auch einen zweidimensionalen Vektor machen, und zwar wie folgt: (a c) (x y) = ( a ). c c (e). (P) Begründen Sie, dass auf diese Weise aus jedem Pythagoreischen Zahlentripel ein Punkt auf dem Einheitskreis mit rationalen Koordinaten gemacht wird. Wie ei (a): eine rationale Zahl ist ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen, und da die Möglichkeit c = 0 automatisch wegen a + = c und (a c) (0 0 0) ausgeschlossen ist, so sind die Ausdrücke a c und c rationale Zahlen. Achtung: c = 0 impliziert a + = 0, also a = = 0, was dann implizieren würde a = = c = 0, was ausgeschlossen ist. Aufgae (zu 6P). Lagerhaltung Ein Händler lagert Noteooks und Talets in zwei Lagern. Die Angaen in der unterstehenden Taelle eziehen sich auf einen estimmten Zeitpunkt. Alle Preise sind in Euro. Stückzahl Lager 1 in Stückzahl Lager in Bestellzahl Einkaufspreis pro Stück Verkaufspreis pro Stück Noteook s 1 t 1 1 e 1 v 1 Talets s t e v Betrachten Sie die folgenden Vektoren: Stückzahlvektor im Lager 1: S = (s 1 s ) Stückzahlvektor im Lager : T = (t 1 t ) Bestellvektor: B = ( 1 ) Einkaufspreisvektor: E = (e 1 e ) Verkaufspreisvektor: V = (v 1 v ) 7

8 (a). - (1AP) Es werden nicht alle gelagerten Noteooks und Talets estellt. Beschreien Sie, was der Vektor S + T B angit! - (P) Geen Sie den Vektor V E in Koordinatenform an und interpretieren Sie ihn! (). - (1P) Geen Sie an, was mit dem Skalarprodukt V B erechnet wird! - (P) Es sei G der Gewinn eim Verkauf aller estellten Noteooks und Talets. Drücken Sie G durch B, V und E aus! - Wie viele Noteooks und Talets nach Aschicken der Bestellungen noch im Lager sind. - (v 1 e 1 v e ) git an, wie viel Gewinn man pro Noteook und pro Talet macht. - Mit V B erechnet man den Ertrag eim Verkauf der estellten Noteooks und Talets. - G = V B E B. Aufgae 3 (zu 9P). Winkel in einem Dreieck Ein Dreieck ABC sei durch die folgenden Vektoren aufgespannt a = AB, = AC. (a). (1AP) Drücken Sie den Vektor c = BC in a und aus! c = a. Es seien a = a, = und c = c. Es ist möglich c in a, und a auszudrücken. (). (P) Drücken Sie c in a, und a aus! c = c c = ( a) ( a) = + a a a, welches man schreien kann als: 8

9 c = a + a. Aus der elementaren Geometrie von Dreiecken ist auch ekannt, dass folgende Formel gilt c = a + a cos(γ) woei γ der Winkel zwischen a und ist sehen Sie die Figur. (c). (P) Zeigen Sie, dass für den Winkel γ zwischen den Vektoren a und gilt, dass cos(γ) = a a (Kosinusformel). Aus Oigem: a + a cos(γ) = a + a und somit gilt a cos(γ) = a, was direkt zum Gefragten führt. (d). (4P) Nehmen Sie ein ganz konkretes Beispiel a = (5 3) und = (3 ) und (i) erechnen Sie den Umfang des Dreiecks ABC, (ii) erechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC und (iii) üerprüfen Sie die Kosinusformel. Idee der Aufgae: Zeichne die Figur ABC mit A = (0 0), B = (5 3) und C = (3 ) in ein Koordinatensystem ein. Dann umschreien mit einem Rechteck mit Koordinaten (0 3), (0 ), (5 3) und (5 ). (i) Umfang mit Pythagoras: U = (ii) Fläche: Rechteck hat Fläche 5. Dann rechtwinkligen Dreiecke sutrahieren. Ergit: 9, 5. (iii) Die Strecke AB hat Steigung k 1 = 3/5 und somit Neigungswinkel α 1 = arctan(0, 6) 30, 96 o. Die Strecke AC hat Steigung k = /3 und somit Neigungswinkel α = arctan(/3) 33, 69 o, und dann ist der Winkel γ = α 1 α = arctan(3/5) + arctan(/3), also etwa 64,65 Grad. Andererseits a = 34, = 13 und a = 15 6 = 9, also 9 cos(γ) = = ( 9 und daher γ = arccos 44 ), was dassele ergit. Interessanterweise ist die Zahl 44 genau 1 + 1, und somit gilt annäherungsweise cos(γ) = 3/7, weil 9/1 = 3/7. HABEN SIE VIEL ERFOLG! (Ende der Schulareit) 9