BeVorStudium. Modul Mathematik II. Übungsblätter. Dr. Michael Seidl. Erstellt im Rahmen von OTH mind - BMBF Verbundprojekt

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1 BeVorStudium Modul Mathematik II Übungsblätter 207 Erstellt im Rahmen von OTH mind - BMBF Verbundprojekt

2 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt Aufgabe Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen mithilfe einer Wertetabelle. (a) f(x) = 2 x2. (b) f(x) = x 2 2. (c) f(x) = 4 x 2. (d) f(x) = x 2 3x+. Aufgabe 2 Bringen Sie folgende Funktionsterme auf Scheitelpunkt-Form. (a) f(x) = x 2 3x+2. (b) f(x) = 4 x 2. (c) f(x) = 2 x2 2x+2. (d) f(x) = 2 x2 3x+2. Aufgabe 3 Bestimmen Sie jeweils den Funktionsterm f(x) = ax 2 +bx+c jener quadratischen Funktion, deren Graph durch die angegebenen Punkte verläuft. (a) A(2 ), Scheitelpunkt S( 5). (b) A(2 ), B(3 ), C(4 ). (c) A(2 ), B(3 ), C(4 0). (d) A(2 ), B(3 ), C(4 3). Aufgabe 4 Gegeben sind die Punkte V( ) und W(2 4) in der xy-ebene. (a) Finden Sie zwei verschiedene quadratische Funktionen, deren Graphen jeweils durch beide Punkte verläuft. (b) Unter welcher allgemeinen Bedingung an die Koeffizienten a, b und c des Terms f(x) = ax 2 + bx + c verläuft der Graph G f durch diese Punkte?

3 Aufgabe 5 Bestimmen Sie den Wertebereich der Funktion f : D f R, x f(x) = x + 3 x 2 4, D f = ]2;+ [. Aufgabe 6 (a) Zeichnen Sie in ein Koordinatensystem (KS) den Graphen der linearen Funktion f : x y = f(x), f(x) = 2 x + 2. Platzbedarf: 2 x 5, y 3. (b) Für beliebiges x R sei P x jeweils der Punkt mit den Koordinaten (x f(x)). Tragen Sie in das KS von Teil (a) die Punkte P 0, P, P 2, P 3, sowie Q( 0) ein. (c) A(x) sei der Flächeninhalt jenes Rechtecks mit der Diagonale [P x Q], dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Zeichnen Sie diese Rechtecke für die vier Fälle x = 0,,2,3 in das KS ein. Für welches x [,4] wird A(x) maximal? Aufgabe 7 Die Abbildung zeigt die Graphen verschiedener quadratischer Funktionen. Bestimmen Sie jeweils, so genau wie möglich, den Funktionsterm f(x) = ax 2 +bx+c. (b) (d) (e) -2 (c) (a) 2

4 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 2 Aufgabe Berechnen Sie, jeweils für die Fälle (i) und (ii), (i) a = 2 b = 3 c = 4 d = 5 (ii) a = 2 b = 3 c = 4 d = 5 alle 6 Terme aus folgender Tabelle, A B C D a+b c+d a+(b c)+d (a+b) c+d ( a+b) c+d 2 ab ( a)b ( a)( b) a( b) 3 a 2 ( a) 2 ab a+b 4 a 2 bc+d 2 a 2 b cd 2 a b 2 c d abcd 2 Aufgabe 2 Untersuchen Sie die folgenden Potenzfunktionen auf Symmetrie. Geben Sie jeweils das Verhalten für x ± an. (a) f(x) = 3 x6. (c) f(x) = x7 8. (b) f(x) = 5x 3. (d) f(x) = 5x 4. Aufgabe 3 Untersuchen Sie die folgenden ganzrationalen Funktionen auf Symmetrie. Geben Sie jeweils das Verhalten für x ± an. (a) f(x) = x 6 8x 4 + 7x 2 2. (b) f(x) = 5x 5 8x 3 + 7x 2 2. (c) f(x) = 3 8 x7 8x 5 + 7x 3 2. (d) f(x) = 5 x5 4 8x3 + 7x. Aufgabe 4 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Nullstellen und deren Vielfachheiten. Stellen Sie jeweils eine Vorzeichentabelle auf und skizzieren Sie den Graphen G f. (a) f(x) = x 3 3x 2 6x

5 (b) f(x) = x 3 + 4x 2 x 6. (c) f(x) = x 3 3x 2. (d) f(x) = x 3 + 5x 2 8x 2. (e) f(x) = 2x 3 + 3x 2 9x 0. Hinweis: Berechnen Sie jeweils f(), f( ) und führen Sie eine Polynomdivision durch. Aufgabe 5 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen die Nullstellen und deren Vielfachheiten. Stellen Sie jeweils eine Vorzeichentabelle auf und skizzieren Sie den Graphen G f. (a) f(x) = x 4 3x (b) f(x) = x 4 6. Aufgabe 6 Die Abbildung zeigt die Graphen der folgenden ganzrationalen Funktionen. () f(x) = x 3 3x. (3) f(x) = x 4 5x (2) f(x) = 3x x 3. (4) f(x) = 5x 2 x 4 3. Welcher der Terme ( 4) gehört jeweils zu welchem der Graphen (a d)? 3 (a) (c) (d) 2 (b) Aufgabe 7 Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen zuerst die Nullstellen von Zähler und Nenner. Bestimmen Sie sodann die Nullstellen und Polstellen der jeweiligen Funktion f. Geben Sie jeweils die Asymptoten des Graphen G f an und skizzieren Sie diesen. (a) f(x) = x2 x 2 4. (b) f(x) = x2 +x 6. x+2 4

6 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 3 Aufgabe Gegeben sei eine gebrochen-rationale Funktion f(x) = p(x), mit Polynomen p(x) und q(x). q(x) (a) Ist jede Nullstelle von q(x) eine Polstelle von f? (b) Ist jede Nullstelle von p(x) eine Nullstelle von f? (c) Kann eine Nullstelle/Polstelle von f zugleich Definitionslücke von f sein? Aufgabe 2 Ordnen Sie die Graphen der Abbildung den folgenden Funktionen zu. () f(x) = x. (2) f(x) = x 2. (3) f(x) = x 2 +. (4) f(x) = x x (a) (d) (a) (b) -2-2 (c) - (d) -2 5

7 Aufgabe 3 Lesen Sie vom Term f(x) = 2 x x der gebrochen-rationalen Funktion f alle Asymptoten ab, und skizzieren Sie den Graphen G f. Bringen Sie den Term auf die Form f(x) = p(x), mit zwei Polynomen p und q. q(x) Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f mit dem Term f(x) = 6 4x2 8x 2 +5 auf Symmetrie. Bestimmen Sie alle Asymptoten, und skizzieren Sie den Graphen G f. Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Terme zweier verschiedener gebrochen-rationaler Funktionen f und g, welche jeweils die beiden Asymptoten y = x 2 und x = 2 haben. Aufgabe 6 Bestimmen Sie alle Nullstellen, Polstellen und Asymptoten der Funktion f mit dem Term f(x) = x3 2x 2 x + 2. x 2 + 2x Erstellen Sie eine Vorzeichentabelle und skizzieren Sie G f. Aufgabe 7 Zeigen Sie, daß die Funktion f(x) = x der Vorlesung eine gebrochen-rationale x Funktion ist: Geben Sie die Polynome p(x) und q(x) der Darstellung f(x) = p(x) an. q(x) Bestimmen Sie D f, sowie alle Nullstellen, Polstellen und Asymptoten von f. Aufgabe 8 Bestimmen Sie für die gebrochen-rationale Funktion f mit dem Term f(x) = p(x) q(x) = (x+5)(x+2)(x 4)(x 7) 4 (x 2 2x+2) (x+3)(x+2)(x 4) 2 (x 6)(x 7) 3 (x 4 +x 2 +) die Mengen N, P und H der Nullstellen, Polstellen bzw. der hebbaren Definitionslücken. Erstellen Sie eine Vorzeichentabelle. Versuchen Sie, den Graphen G f zu skizzieren. 6

8 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 4 Aufgabe Berechnen Sie folgende Logarithmen. (a) log 2 8, log 2 2, log 2, log 2 2, log (b) log 3 27, log 5 25, log 7 49, log 4 64, log , log 7 343, log 4 (c) log 3 9, log 5 5, log5 25, log2 2, log 2 8. (d) (NEU!) log , log , log , log Aufgabe 2 Geben Sie jeweils eine ganze Zahl n an, sodaß gilt: n < L < n+. (a) L = log 0 623, L = log , L = log , L = log 0 ( ). (b) L = log 2 623, L = log , L = log , L = log 2 ( ). Aufgabe 3 Drücken Sie folgende Logarithmen durch log 0 5 aus. log 0 625, log 0 50, log 0 500, log , log 0 25, log Aufgabe 4 Gegeben sei der Wert log 0 67 =.826. Berechnen Sie damit folgende Logarithmen. log 0 6.7, log 0 670, log , log , log 0 67, log 0( ). Aufgabe 5 Bestimmen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen. (a) log 7 (2x + 5) = 2. (b) log 2 (x 2 6x + 37) = 5. (c) log 2 (4 x 2 ) = 3. (d) 2 6 x =. 4 7

9 Aufgabe 6 Wir betrachten die Wurzelfunktion, f(x) = x, D f = R + 0. (a) Welches ist der Wertebereich W f? Erstellen Sie für x {0,0.25,,2.25,4,6.25,9} eine Wertetabelle, und zeichnen Sie den Graphen G f im Intervall x [0,0]. (b) Läßt sich diese Funktion als Potenzfunktion interpretieren? Vergleichen Sie mit den Graphen der bereits bekannten Potenzfunktionen. (c) Lesen Sie aus G f Näherungswerte für 2, 3, 5 und 0 ab. (d) Beschreiben Sie die Umkehrfunktion f(x). Aufgabe 7 Erstellen Sie mit den Werten log 0 2 = 0.30, log 0 3 = eine möglichst ausführliche Wertetabelle der Funktion f(x) = log 0 x für x [0, 0], ohne die LOG-Taste des Taschenrechners zu benutzen. Zeichnen Sie den Graphen G f und lesen Sie daraus einen Wert für 0 ab. Aufgabe 8 Die Funktion f wird abschnittsweise definiert durch f(x) = 2 x (x < 0) ax+b (0 x ) log 2 x (x > ) (a) Zeichnen Sie für den Fall a = 2, b = den Graphen G f für 2 x 4.. (b) Für welche Werte von a und b ist f eine stetige Funktion? Aufgabe 9 Wir betrachten die Funktion f(x) = x 3. (a) Versuchen Sie aus einer graphischen Darstellung möglichst genau die Steigung m (x 0) T der Tangente an den Graphen G f im Punkt (x 0 f(x 0 )) mit x 0 = zu bestimmen. (b) Berechnen Sie den exakten Wert dieser Steigung als Grenzwert, m (x 0=) T f(x) f() = lim. x x 8

10 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 5 Aufgabe Berechnen Sie jeweils die Steigung der Tangente, m (x 0) T = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, im Punkt (x 0 f(x 0 )) des Graphen der folgenden Funktionen. (a) f(x) = x 2. (b) f(x) = x 3. (c) f(x) = x (x 0). (d) f(x) = x (x 0). Was folgt jeweils für die Ableitung f (x) = d dx f(x)? Zeigen Sie, daß jeweils ein Spezialfall der folgenden allgemeinen Formel vorliegt, d dx xn = nx n. Aufgabe 2 In der Vorlesung haben wir den Graphen G f der folgenden Funktion betrachtet, f(x) = 6 x3 + 2 x x. (a) An welchen Punkten (x 0 f(x 0 )) von G f liegen lokale Maxima/Minima von f? (b) Wie kann man diese Extrema x 0 aus der Ableitung f (x) berechnen? Aufgabe 3 Berechnen Sie die Ableitungen f (x) der folgenden Funktionen. (a) f(x) = 5x 2 2x+8. (b) f(x) = 3 x3 6x 2 +35x. (c) f(x) = x+ 3 2 (x 0). x (d) f(x) = x x (x 0). Skizzieren Sie an Hand einer Wertetabelle jeweils den Graphen G f. Welche Stellen x 0 sind lokale Maxima bzw. Minima von f(x)? 9

11 Aufgabe 4 Eine zylindrische Dose (Radius r, Höhe h) mit (N = 2) oder ohne (N = ) Deckel hat die Fläche A = N πr 2 + 2πrh. Wie sind r und h bei vorgegebenem Wert von A zu wählen, damit das Volumen V = πr 2 h maximal wird? Aufgabe 5 Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen jeweils (i) nach der Produktregel und (ii) nach vorherigem Ausmultiplizieren. (a) f(x) = (2x 3)(5x+6). (b) f(x) = x(3x+4). (c) f(x) = ( x+ x )(x+2). Aufgabe 6 Benutzen Sie die Produktregel, um aus d x = die allgemeine Formel dx für die Fälle n = 2,3,4,... zu gewinnen. Aufgabe 7 d dx xn = nx n Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen nach der Quotientenregel. (a) f(x) = +x x. (b) g(x) = 2 x. (c) h(x) = 6 4x x. Interpretation? Aufgabe 8 Berechnen Sie die Ableitungen folgender Funktionen nach der Kettenregel. (a) f(x) = +x 2. (b) f(x) = ln(+x 2 ). (c) f(x) = e x2. (d) f(x) = +x 2. Versuchen Sie jeweils, die Graphen G f und G f zu skizzieren. 0

12 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 6 Aufgabe Für beliebige Werte des Winkels α gilt nach dem Satz von Pythagoras allgemein sin 2 α + cos 2 α =. Berechnen Sie daraus die exakten Werte von sinα und cosα für α {30,45,60 }. Hinweis: Beachten Sie Symmetrien der entsprechenden rechtwinkligen Dreiecke. Aufgabe 2 Geben Sie folgende Winkel im Bogenmaß an: α = 30, β = 8, γ = 45, δ = 72, ǫ = 20, η = 24, θ = 56, φ = 80, ψ = 360. Aufgabe 3 Eine 8m lange Leiter wird mit Steigungswinkel 78 an eine senkrechte Wand gelehnt. (a) Wie hoch liegt der höchste Punkt der Leiter über dem Boden? (b) Wie weit ist der Fußpunkt der Leiter von der Wand entfernt? Aufgabe 4 Der Minutenzeiger einer Turmuhr ist genau m lang. Der Mittelpunkt des Zifferblatts sei Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit x-achse nach rechts und y-achse nach oben (Längeneinheit: m). Geben Sie die Koordinaten (x y) der Zeigerspitze zu folgenden Uhrzeiten an. (a) 4:05 Uhr, (b) 4:0 Uhr, (c) 4:20 Uhr, (d) 4:35 Uhr, (e) 4:50 Uhr. Aufgabe 5 Die Abbildung zeigt ein Hausdach im Grundriß. (Seitenlänge der Kästchen: 5m.) Der Dachfirst (Mittellinie in der Abb.) soll 5m über dem Rand des Daches liegen. Zeichnen Sie einen Aufriß dieses Daches. Berechnen Sie die Längen und die Neigungswinkel der vier schrägen Dachkanten.

13 Aufgabe 6 Wie hoch (in Kilometern) liegt die Stadt Weiden (geographische Breite φ = N) in nördlicher Richtung über der Äquatorebene der Erde? Wie weit ist Weiden von der Erdachse entfernt? Hinweis: Betrachten Sie die Erde als Kugel mit Radius R = 6370km. Aufgabe 7 Ein Rad (Radius R = 45cm) rollt einen Meter (.00m) weit. Wie hoch liegt dann sein ursprünglicher Auflagepunkt über dem Boden? Aufgabe 8 Folgende Liste zeigt die Ableitungen f (x) der wichtigsten Funktionen f(x). f(x) x 3 x 2 x x e x lnx sinx cosx x f (x) 3x 2 2x 0 x 2 2 e x cosx sinx x x (A) Welche dieser 0 Regeln lassen sich auf die Formel d dx xn = nx n zurückführen? (B) Benutzen Sie die Potenzschreibweise, um die Ableitungen folgender Funktionen zu berechnen. f(x) = 3 x 2, g(x) = x 3, h(x) = 3 x 4, k(x) = x 4. (C) Berechnen Sie mithilfe von Produkt-, Quotienten- und Kettenregel die Ableitungen folgender Funktionen. (a) f(x) = x 2 4x+5, g(x) = x 2 4x+5, h(x) = x 2 4x+5. (b) f(x) = (x 3 ) 2, g(x) = (x 8 ) 7, h(x) = x 2. (c) f(x) = e x2, g(x) = ln(x 2 ), h(x) = cos(x 2 ). (d) f(x) = e x2 4x+5, g(x) = ln(x 2 4x+5), h(x) = cos(x 2 4x+5). (e) f(x) = (e x ) 2, g(x) = (lnx) 2, h(x) = (sinx) 2. (f) f(x) = sin(2x 3), g(x) = +e x, h(x) = ln(cosx). (g) f(x) = tanx, g(x) = sin 2 x+cos 2 x, h(x) = x 2 sinx. (h) f(x) = xlnx, g(x) = sinxcosx, h(x) = tanxcosx. 2

14 Projekt OTHmind an der OTH Amberg-Weiden Sommersemester 207 Modul Mathematik II (BeVorStudium): Übungsblatt 7 Aufgabe Beweisen Sie den Cosinussatz: In einem beliebigen Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c und den gegenüberliegenden Innenwinkeln α, β, γ gilt c 2 = a 2 + b 2 2abcosγ. Hinweis: DasLotvomPunktB aufdiegeradeac schneidetdieseimpunktc. Wenden Sie den Satz von Pythagoras an auf das rechtwinklige Dreieck ABC. Aufgabe 2 Behauptung: Die Seitenmittelpunkte eines beliebig unregelmäßigen, räumlichen Vierecks bilden immer ein Parallelogramm. Stimmt dies? (a) Drücken Sie die Ortsvektoren M, M 2, M 3, M 4 der Seitenmittelpunkte durch die Ortsvektoren A, B, C, D der vier Eckpunkte A,B,C,D aus. (b) Untersuchen Sie nun jene beiden Vektoren v und w, welche die PfeileM M 2 bzw. M 4 M 3 als Repräsentanten haben. Aufgabe 3 Gegeben seien die Vektoren a = 8 4, b = (a) Berechnen Sie die Beträge a und b. (b) Welchen Winkel φ schließen a und b ein? (c) Berechnen Sie das Kreuzprodukt c = a b. Berechnen Sie damit die Skalarprodukte a c, b c. 3

15 Aufgabe 4 Gegeben seien der Punkt A( 2 3) und die Vektoren 2 v = 4, w = (a) Stellen Sie die Gleichung der Gerade g mit Aufpunkt A und Richtungsvektor w auf. (b) Stellen Sie die Gleichung der Ebene E mit Aufpunkt A und Richtungsvektoren v und w auf. (c) Entscheiden Sie, ob die folgenden Punkte auf g bzw. auf E liegen. P( ), Q( 3 2), R(4 5 3). (d) Geben Sie die Gleichung einer Gerade h an, welche E im Punkt S(6?) schneidet und zu E normal ist. (e) Geben Sie die Gleichungen zweier Geraden k und l an, welche g im Punkt T( 5??) senkrecht schneiden und zueinander senkrecht stehen. Aufgabe 5 (a) Welcher Punkt auf der Gerade g von Aufgabe 4a hat den geringsten Abstand vom Punkt B( 2 4)? Hinweis: Berechnen Sie diesen Abstand als Funktion f(λ) des Parameters λ, und lösen Sie die Gleichung f (λ) = 0. (b) Wie weit ist der Punkt B( 2 4) von der Ebene E aus Aufgabe 4b entfernt? Hinweis: Stellen Sie die Gleichung jener Gerade s auf, welche durch den Punkt B geht und die Ebene E senkrecht schneidet. Aufgabe 6 (a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = sin 2 x und g(x) = sin(x 2 ). (b) Versuchen Sie, auf graphischem Wege die Graphen der Ableitungen f (x) bzw. g (x) zu gewinnen. (c) Berechnen Sie die Ableitungen f (x) und g (x) exakt nach der Kettenregel. 4

16 Impressum Autor: Herausgegeben durch: Kontakt: Copyright: Hinweis: Teilprojekt der OTH Amberg-Weiden aus dem Verbundprojekt OTH mind mit der OTH Regensburg des Bund-Länder-Wettbewerbs Aufstieg durch Bildung: offene Hochschulen Hetzenrichter Weg 5, Weiden in der Oberpfalz Vervielfachung oder Nachdruck auch auszugsweise zur Veröffentlichung durch Dritte nur mit ausdrücklicher Zustimmung der Herausgeber/innen. Diese Publikation wurde im Rahmen des vom Bundesministerium für Bildung und Forschung (BMBF) geförderten Bund-Länder-Wettbewerbs Aufstieg durch Bildung: offene Hochschulen erstellt. Die in dieser Publikation dargelegten Inhalte liegen in der alleinigen Verantwortung des Autors.