MATHEMATIK K1 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR)
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- Paulina Baumhauer
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1 MATHEMATIK K EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR Einige Stichworte: Bruchrechnen: bei Addition und Subtraktion beide Brüche auf den Hauptnenner bringen Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dessen Kehrwert malnimmt Binomische Formeln: (a + b = a + ab + b, (a + b(a b = a b Potenzgesetze gibt es nur für und :, bei Summen und Differenzen hilft nur Ausklammern Ansonsten müssen Grundzahlen oder Hochzahlen gleich sein: a m a n = a m+n, a m : a n = a m n, a m b m = (ab m, (a m n = a mn Steigung einer Geraden durch P (x y und P (x y ist m = y y x x Den y-achsenabschnitt erhält man immer durch Einsetzen eines Punkts Ein Bogenmaß von π entspricht dem Vollwinkel 60 Alles andere mit Dreisatz Dass π einem rechten Winkel entspricht, darf man aber wissen Die Schaubilder von sin x und cos x muss man jederzeit skizzieren können, um zb Gleichungen wie sin x = lösen zu können Gleichungslösen: abc-formel, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Substitution Ableitungen Grundlegende Ableitungsregeln: Potenzregel: Die Ableitung von f(x = x n ist f (x = x n Spezialfälle: f(x =, f (x = 0 (konstante Summanden fallen weg; f(x = x = x /, f (x = x / ; f(x = x = x, f (x = x = /x Faktorregel: (cf = c f ; konstante Faktoren werden mitgezogen f(x = x, f (x = (x = 6x Summenregel: (f + g = f + g Bsp: f(x = x + x, f (x = x + x f(x = sin(x, f (x = cos(x, bzw f(x = cos(x, f (x = sin(x
2 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR Funktionsuntersuchung Das volle Programm geht so: ( Nullstellen: f(x = 0 setzen ( Extrema: f (x = 0 setzen; die Lösungen in f(x einsetzen zum Ausrechnen der Funktionswerte, und in f (x, um herauszubekommen, ob Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen f (x 0 < 0: Hochpunkt; f (x 0 > 0: Tiefpunkt Wichtig: in Funktionen wie f(x, f (x, etc werden nur x- Werte eingesetzt Eine zweite Ableitung wird niemals nirgendwo nicht eingesetzt ( Wendestellen: f (x = 0 setzen und testen, ob f (x 0 0 ist Tangente an das Schaubild in x 0 : die Steigung ist m = f (x 0, Einsetzen von (x 0, y 0 mit dem Funktionswert y 0 = f(x 0 gibt den y- Achsenabschitt b in y = mx + b Vektoren Stichwörter: AB = OB OA (hinten minus vorne Abstand zwischen P (x y z und P (x y z ist d = (x x + (y y + (z z Geraden durch zwei Punkte x = p + t u Hier zeigt der Stützvektor p auf einen Punkt der Geraden, während der Richtungsvektor u zwei Punkte auf der Geraden verbindet Punktprobe: Punkt in Gerade einsetzen; stimmt die Gleichung, so liegt der Punkt auf der Geraden, bei Widerspruch nicht Zwei Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind Linearkombinationen sind Ausdrücke wie a u + b v Schnittpunkt von Geraden: Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen Eindeutige Lösung ergibt den Schnittpunkt 0 = 0 bedeutet, dass beide Geraden gleich sind, und Widersprüche wie 0 =, dass sie sich nicht schneiden Sind die beiden Geraden nicht parallel, nennt man sie windschief Wahrscheinlichkeit Pfadregel; Gegenereignis; Baumdiagramm; Erwartungswert Binomialverteilung bei Bernoulliexperimenten
3 MATHEMATIK K ( Berechne 5 4 = 7 7 = (a b = x 5 x 7 = (a bc + b(c a = ( x = x y 5 x y = (a b = a b a b = a + b = a : b = a b = 4% von 40 = 64 =, m + 5 dm = 0 5 g = kg 0, 0, = : 0, = ( Schätze ab (Extrapunkte für intelligente Näherungen: 4 7 4, 5 84, ( Forme um nach p: t = + p p (4 Durch welche Eigenschaften zeichnen sich folgende Vielecke aus? gleichschenkliges Dreieick Parallelogramm Drachen Raute Trapez Rechteck (5 Erkläre den Satz des Pythagoras an einem Beispiel (6 Erkläre den Strahlensatz an einem Beispiel (7 Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC, wo A(0 0, B(4, 0 und C(4, 5 ist (8 Berechne das Volumen einer quadratischen Pyramide mit Höhe 5 cm, wenn das Quadrat Kantenlänge 6 cm hat
4 4 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR (9 In einem rechtwinkligen Dreieck ABC mit den Katheten a = BC, b = AC und der Hypotenuse c = AB gelten für den Winkel α = BAC die Gleichungen sin α =, tan α = (0 Berechne eine Wertetabelle für die Gerade y = x und zeichne sie ( Berechne die Steigung und den y-achsenabschnitt der Geraden durch (7 5 und (9 9 ( Gegeben ist f(x = x Berechne f( = f( = f(5 = f ( = f ( = f (0 = ( Bilde die erste Ableitung folgender Funktionen: f(x = x x + g(x = x h(x = sin(x r(x = x x f(t = t g(t = a t (4 Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel y = x 6x + (5 Bestimme Nullstellen, Hoch- Tief- und Wendepunkte von f(x = x x (6 Bestimme die Gleichung der Tangente an das Schaubild von f(x = in x = x (7 Löse die Gleichung x 4 x + = 0 (8 Löse die Gleichung x 5x + 6x = 0 (9 Löse die Gleichung (x (x 8 = 0 (0 Löse die Gleichung n = ( Wandle in Bogenmaß um: 90 = ; 45 = ; 60 = ( Skizziere die Schaubilder von f(x = sin x und g(x = cos x An welchen Stellen im Intervall 0 x π gilt cos x = 0?
5 MATHEMATIK K 5 ( Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(0 und B( Liegt C(6 5 auf dieser Geraden? (4 Welche Gleichung hat die x -Achse? (5 Bestimme den Abstand von P ( 5 und Q(5 (6 Schreibe ( 4 als Linearkombination von ( und ( (7 Ergänze das Dreieck A(, B(, C( 4 5 zu einem Parallelogramm (8 Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden ( 5 ( 0 40 x = + s( und x = + t( 6 7 (9 Aus einer Urne mit 4 gelben und roten Kugeln werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man zwei gleichfarbige Kugeln? (0 In einer Urne befinden sich zwei gelbe und drei blaue Kugeln Bei einem Spiel mit einem Einsatz von 50 ct werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen; hat man eine gelbe, gibt es den Einsatz zurück, bei zwei gelben werden Euro ausbezahlt Berechne den Erwartungswert für (a die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln; (b die Anzahl der gezogenen blauen Kugeln; (c die Auszahlung; (d den Gewinn ( Wie oft muss man würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens eine 6 zu werfen? ( Berechne die Wahrscheinlichkeit, beim 0maligen Werfen einer Münze (a keine Zahl (b genau eine Zahl (c mindestens eine Zahl zu werfen ( Löse nach p auf: x + = + p p ( Berechne, Vereinfache, wandle um: (a ( + x ( + x = (b (a + bc = (c x (x + = (d = 7 5
6 6 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR ( Löse die folgenden Gleichungen: 4 x + = x + x 4x + = 0 x + x = x 4x + x = 0 x 4 x + = 0 (4 Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x x 4 x + x x + x x f (x (5 Berechne f(4 und f (4 für f(x = x (6 Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von (7 Berechne die Extrema von f(x = x 4 x f(x = x x + 6 (8 Berechne den Wendepunkt und die Wendetangente von f(x = x x + (9 Berechne die Tangente an f(x = + in x = x (0 Stelle die Gleichung einer Geraden durch die Punkte P ( und Q( auf ( Berechne den Verbindungsvektor AB der Punkte A( 4 und B( 4 ( Berechne die Länge des Vektors ( Zeige, dass der Punkt C(0 0 auf der Geraden durch A( und B( 4 liegt (4 Zeige, dass das Dreieck ABC mit A(, B( 4 und C( gleichschenklig, aber nicht gleichseitig ist (5 Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden g : x = ( s( ( und h : x = ( t ( (6 Wie erkennt man, ob zwei gegebene Geraden parallel sind?
7 MATHEMATIK K 7 (7 Ergänze A(, B( und C( zum Parallelogramm ABCD (8 Eine Urne enthält 5 blaue und 7 grüne Kugeln Es werden zufällig zwei Kugeln mit einem Griff gezogen Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben beide Kugeln die gleiche Farbe? (9 Ein Schütze trifft sein Ziel mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 Berechne bei 5 Schuss die Wahrscheinlichkeit für (a genau 0 Treffer; (b mindestens 0 Treffer; (c höchstens 8 Treffer; (d zwischen einschließlich 9 und Treffer
8 8 EINSTIEGSARBEIT (OHNE GTR Lösungen ( Nenner weg; alles mit p auf eine Seite; ausklammern ( x + x + ; a + 4abc + 4b c ; x + x ; 70 ( x = ; x =, x = ; x = 4, x = ; x 0 = 0, x =, x = ; x, = ±, x,4 = ± / (4 f(x f (x x 4 x + x 6x x x x x + x x x 4 x / (5 f(4 = 4, f (4 = 0, 5 (Kontrolle: nd calc dy/dx, dann x=4 (6 N ( 0, N ( 0, T ( 4, T ( 4, H(0, W ( / /9, W (/ /9 (7 H(0 6, T ( 5 (8 W ( ; t : y = x + 4 Kontrolle mit draw tangent (9 m = f ( ( = ; P ( ; t : y = x + ( ( (0 g : x = + r oder g : x = ( AB = ( ( AB = ( ( Punktprobe: C in g : x = + r( + t( einsetzen gibt t = (4 AB =, AC =, BC = 8 (5 Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden ( ( 5 5 g : x = 4 + s( und h : x = 5 + t Gleichsetzen ergibt s = und t =, also S( 9 (6 Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (7 Aus AB = DC folgt D( 0 0 (8 p(bb = 5 4 = 0, p(gg = 7 6 = 4, p = 6 = 66 (9 X = Anzahl der Treffer, n = 5, p = 0, 8, also p(x = 0 = binompdf(5, 08, 0 = 096, p(x 0 = binomcdf(5, 08, 9 = 067, p(x 8 = binomcdf(5, 08, 8 = 0, p(9 X = binomcdf(5, 08, binomcdf(5, 08, 8 = 075 (
9 MATHEMATIK K 9 Probeklausur ( Löse folgende Gleichung nach w auf: r = u + k + w m + w ( Löse die Gleichung x + 6 x = 0 ( Bestimme die erste Ableitung der folgenden Funktionen: f(x x4 x 5x sin(x + πx f (x (4 Berechne Nullstellen, Extrema und Wendepunkte von f(x = x 4 6x + 5 (5 Berechne die Tangente an f(x = x + in x = 4 (6 Stelle die Gleichung der Geraden g durch die Punkte P ( 4 und Q( auf Liegt der Punkt R(0 0 auf g? (7 Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden ( ( g : x = 4 + s( und h : x = + t( 0 0 (8 Es werden zwei Münzen geworfen awie groß ist die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass beide Münzen Zahl zeigen? b Jetzt werden zwei Münzen 50 mal geworfen Die Zufallsvariable X zählt, wie oft beide Münzen Zahl zeigen Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten (a p(x = (b p(x und interpretieren Sie diese (die Wahrscheinlichkeit wovon wird mit p(x = bzw p(x berechnet?
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