Zentrale Klassenarbeit 2003

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1 Zentrale Klassenarbeit 2003 Tipps ab Seite 21, Lösungen ab Seite 31 ZK Mathematik Aufgabe (8 Punkte) [ b 3 a) Vereinfache so weit wie möglich b) Löse die Gleichung 3 2x 3 x = 6. b5 : an 2 c 2n ] : c 2n a n+3 c) Wenn man die Zahlen u = ( 10 10) 10 und v = 10 (10 10 ) ausschreibt, beginnen sie mit einer 1, danach kommen viele Nullen. Wie viele Stellen haben die Zahlen u und v? Ein Drucker gibt 150 Ziffern pro Sekunde aus. Wie lange braucht er ungefähr, um die ausgeschriebenen Zahlen u bzw. v zu drucken? 2. Aufgabe (7 Punkte) Bei einem Tennismatch werden so viele Sätze gespielt, bis einer der beiden Spieler insgesamt zwei Sätze gewonnen hat. Ein Match besteht daher aus mindestens zwei und höchstens drei Sätzen. Eva und Bettina spielen ein Match gegeneinander. Eva gewinnt Sätze jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7. Zeichne ein Baumdiagramm. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Eva das Match? Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sätze, die Eva in einem Match gegen Bettina gewinnt. Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. 3. Aufgabe (Gruppe A: 13 Punkte, Gruppe B: 9 Punkte) Ein Zelt besteht aus einer regelmäßigen quadratischen Pyramide mit an der Seite angesetztem geschlossenem Vorzelt (siehe Skizze; Zeltstangen sind fett eingezeichnet). Alle Kanten der regelmäßigen quadratischen Pyramide besitzen die Länge a = 2,20m. Die Firststange SH verläuft parallel zum Boden. Der Punkt H befindet sich senkrecht über der Seitenmitte M. 8

2 Zentrale Klassenarbeit 2003 a) Ein zylinderförmiger Packsack hat den Durchmesser 12 cm und die Länge 0,60 m. Wie viel Prozent des Inhalts des Packsacks bleiben leer, wenn das zusammengelegte Zelt einschließlich Zubehör 5,0dm 3 Raum benötigt? b) Berechne die Gesamtlänge der Zeltstangen. c) Wie groß ist die Außenfläche des Zeltes einschließlich des Bodens? d) Nur Gruppe A: Welches Volumen hat das aufgebaute Zelt einschließlich des Vorbaus? 4. Aufgabe (Gruppe A: 8 Punkte, Gruppe B: 12 Punkte) Für eine Langzeitstudie werden in ein abgegrenztes Versuchsgelände 50 Mäuse ausgesetzt. a) Erfahrungsgemäß verdoppelt sich bei dieser Mäuseart unter optimalen Bedingungen die Zahl der Mäuse alle 9 Monate. Um wie viel Prozent ändert sich die Anzahl der Mäuse in einem Monat unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums? Nach welcher Zeit wären es 1000 Tiere? b) Eine Zählung ergibt, dass dort nach einem Jahr 120 Mäuse leben. Ein Fachmann erklärt, dass auf einem Gelände dieser Größe wegen des begrenzten Platzes maximal 1000 Mäuse leben könnten. Er vermutet deshalb für die Zahl der Tiere ein logistisches Wachstum nach dem Gesetz B(t + 1) = B(t) + B(t) k (S B(t)) ; t in Jahren Wie viele Tiere würden nach dieser Vermutung am Ende des zweiten und des dritten Jahres auf dem Versuchsgelände zu erwarten sein? c) Nur Gruppe B: In einem anderen Versuchsgelände gilt das Wachstumsgesetz B(t + 1) B(t) = 0,8 B(t) 0,0001 (B(t)) 2 Auch in diesem Fall handelt es sich um ein logistisches Wachstum. Mit welchem Bestand wird langfristig zu rechnen sein? 9

3 Tipps Zentrale Klassenarbeit 2003 Tipps Zentrale Klassenarbeit Aufgabe a) Teile durch einen Bruch, indem du mit dem Kehrwert dieses Bruchs multiplizierst. Wende anschließend das Potenzgesetz am a n = a m n an und kürze geeignet. b) Zur Lösung der Gleichung substituiere 3 x = z und löse die quadratische Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-formel; führe anschließend eine Resubstitution durch und überlege, welches Ergebnis möglich sein kann. c) Wende das Potenzgesetz (a m ) n = a m n an; beachte dabei, dass z.b. die Zahl 10 3 = 1000 vier Stellen hat. Teile jeweils die Anzahl der Stellen durch Aufgabe Bestimme zum Zeichnen des Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass Bettina einen Satz gewinnt; beachte, dass es maximal 3 Sätze gibt. Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse erhälst du durch Anwenden der Pfadregeln (Additions- und Multiplikationsregel); überlege bei jedem Ereignis, welche Pfade möglich sind. 3. Aufgabe a) Rechne alle Maße in cm um. Das Volumen eines Zylinders erhälst du mit der Formel: V Zylinder = π r 2 Zylinder h Zylinder Beachte, dass 1dm 3 = 1000cm 3 ist. Berechne das leer bleibende Volumen und teile es durch das Volumen des Zylinders. b) Es sind insgesamt 7 Stangen zu addieren. Die Länge der Firststange SH kann durch Überlegen gefunden werden. Die Länge b erhälst du als Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a (Seitenfläche der quadratischen Pyramide) mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. c) Überlege, aus welchen Flächen die Außenfläche zusammengesetzt ist. Den Flächeninhalt eines Dreiecks erhälst du mit der Formel A Dreieck = 1 2 g h Dreieck 21

4 Zentrale Klassenarbeit 2004 Tipps Die Höhe h der Vorderfläche des Vorzelts erhälst du mit Hilfe des Satzes des Pythagoras im gleichschenkligen Dreieck. d) Nur Gruppe A: Berechne das Volumen der quadratischen Pyramide und des Vorzelts. Das Volumen einer Pyramide erhälst du mit der Formel V Pyramide = 1 3 G h Pyramide Das Vorzelt ist auch eine Pyramide, deren Grundfläche die Vorderfläche ist; als zugehörige Höhe verwende die Strecke SH. 4. Aufgabe a) Verwende die allgemeine exponentielle Wachstumsgleichung: B(t) = B(0) a t Setze den gegebenen Anfangswert B(0) und die Anzahl nach 9 Monaten in die Wachstumsgleichung ein und berechne den Wachstumsfaktor a, an dem du die prozentuale Änderung ablesen kannst. Setze B(t) = 1000 und berechne t durch Logarithmieren. b) Bestimme die Schranke S und setze diese sowie die Anzahl der Mäuse zu Beginn und nach einem Jahr in die Gleichung für logistisches Wachstum ein, so dass du k berechnen kannst. Die Anzahl der Mäuse der Folgejahre erhälst du, indem du in die Gleichung für logistisches Wachstum jeweils das Ergebnis des vorhergehenden Jahres einsetzt. c) Nur Gruppe B: Forme die gegebene Wachstumsgleichung so um, dass sie die Form eines logistischen Wachstums hat, bei dem du die Schranke ablesen kannst. Zentrale Klassenarbeit Aufgabe 22 a) Schreibe alle Zahlen soweit möglich als Potenz mit Basis 4. Verwende die Potenzgesetze a m+n = a m a n und am a n = a m n. b) Verwende das Potenzgesetz a m+n = a m a n und löse die Gleichung durch Logarithmieren. c) Überlege, wie das Schaubild von f (x) aus dem Schaubild der Grundfunktion g(x) = x 2 hervorgeht. Berechne f (2x) und teile f (2x) durch f (x); bestimme daraus die prozentuale Änderung.

5 Lösungen Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen Zentrale Klassenarbeit Aufgabe a) Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert des Bruchs multipliziert; anschließend wendet man die Potenzgesetze an und kürzt geeignet: [ b 3 b5 : an 2 c 2n ] : c 2n [ ] b 3 a n+3 = c2n an 2 b 5 an+3 c 2n = an+3 b 3 c 2n a5 a n 2 b 5 = c2n b 2 b) Die Gleichung 3 2x 3 x = 6 löst man, indem man 3 x = z substituiert und die entstehende quadratische Gleichung mit Hilfe der pq- oder abc-formel löst: z 2 z 6 = 0 z 1,2 = 1 ± ( 1) ( 6) 2 1 = 1 ± 5 2 Die Lösungen der quadratischen Gleichung sind somit z 1 = 3 und z 2 = 2. Die Resubstitution 3 x = 3 ergibt x = 1, die Resubstitution 3 x = 2 ergibt keine weitere Lösung, da 3 x stets positiv ist. Damit ist die einzige Lösung: x = 1 c) Die Zahl u = ( 10 10) 10 = hat 101 Stellen, nämlich eine 1 und 100 Nullen. Die Zahl v = 10 (1010 ) = hat Stellen, nämlich eine 1 und 10 Milliarden Nullen. Teilt man die Anzahl der Stellen der Zahl u durch 150, erhält man: ,7 Teilt man die Anzahl der Stellen der Zahl v durch 150, erhält man: ,7 Die Zeit von ,7Sekunden entspricht 2Jahren und 41,6 Tagen. Der Drucker benötigt also für die Zahl u etwa 0, 7 Sekunden, für die Zahl v hingegen etwa 2 Jahre und 42 Tage. 31

6 Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen 2. Aufgabe Eva gewinnt einen Satz mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 7 und Bettina mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass Eva ein Match in zwei bzw. drei Sätzen gewinnt, erhält man durch Anwenden der Pfadregeln (Additions- und Multiplikationsregel): P(Eva gewinnt das Match) = P(EE) + P(EBE) + P(BEE) = 0,7 0,7 + 0,7 0,3 0,7 + 0,3 0,7 0,7 = 0,784 Eva gewinnt das Match gegen Bettina, mit einer Wahrscheinlichkeit von 78, 4%, wenn auf zwei Gewinnsätze gespielt wird. Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl X der von Eva gewonnenen Sätze anzugeben, berechnet man noch die Wahrscheinlichkeiten für keinen bzw. einen gewonnenen Satz: P(Eva gewinnt keinensatz) = P(BB) = 0,3 0,3 = 0,09 P(Eva gewinnt genau einensatz) = P(EBB) + P(BEB) = 0,7 0,3 0,3 + 0,3 0,7 0,3 = 0,126 Damit erhält man für X folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: X P(X) 0, 09 0, 126 0,

7 Lösungen Zentrale Klassenarbeit Aufgabe a) Das Volumen des Packsacks erhält man mit der Formel V Zylinder = π r 2 Zylinder h Zylinder Der Radius r des Zylinders beträgt r = 6 cm, die Höhe h = 60 cm. V Zylinder = π (6cm) 2 60cm 6785,84cm 3 Der Packsack hat ein Volumen von etwa 6785,84cm 3. Das zusammengelegte Zelt benötigt 5,0dm 3 = 5000cm 3. Also bleiben V leer = 6785,84cm cm 3 = 1785,84cm 3 des Packsacks leer. Damit erhält man folgenden prozentualen Anteil: p = Es bleiben etwa 26, 32% des Packsacks leer. V leer V Zylinder = 1785,84cm3 6785,84cm 3 0,2632 b) Es sind vier Zeltstangen der Länge a = 2, 20 m, zwei Zeltstangen des Vorzelts mit Länge b und die Firststange zu berücksichtigen. Da es sich um eine regelmäßige Pyramide handelt, ist die Firststange genau halb so lang, wie die Kantenlänge a: SH = a 2 = 1,1m b ist die Höhe einer Seitenfläche der quadratischen Pyramide, da die Länge der Firststange a 2 entspricht: Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras erhält man: b 2 + (1,1m) 2 = (2, 2m) 2 b = 4,84m 2 1,21m 2 1,91m Damit gilt für die Länge l der Zeltstangen: l = 4 a + 2 b + SH = 4 2,20m + 2 1,91m + 1,1m 13,72m Die Zeltstangen haben also zusammen eine Länge von etwa 13, 72 m. 33

8 Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen c) Die Außenfläche des Zeltes besteht aus drei Seitenflächen der quadratischen Pyramide, dem Boden und drei Dreiecksflächen des Vorzeltes. Eine Seitenfläche der Pyramide hat folgenden Flächeninhalt: A 1 = 1 2 a b = 1 2,20m 1,91m 2,10m2 2 Tipp: Die Höhe einer Zeltseitenfläche entspricht genau der Länge b (Siehe Zeichnung), daher muss sie nicht extra bestimmt werden. Der Boden ist ein Quadrat mit Flächeninhalt A 2 = a a = 2,20m 2,20m = 4,84m 2 Die zwei Seitenflächen des Vorzelts haben zusammen den gleichen Flächeninhalt A 1 wie eine Zeltseitenfläche. Zur Bestimmung des Flächeninhalts A 3 der senkrechten Vorderfläche des Vorzelts benötigt man noch die Höhe h, die man mit dem Satz des Pythagoras erhält: Damit erhält man: h 2 + (1,1m) 2 = (1,91m) 2 h = 3,6481m 2 1,21m 2 1,56m A 3 = 1 2 a h = 1 2,20m 1,56m 1,72m2 2 Somit gilt für den Flächeninhalt A der gesamten Außenfläche des Zelts: A= 3 A 1 + A 2 + A 1 + A 3 = 3 2,10m 2 + 4,84m 2 + 2,10m 2 + 1,72m 2 14,96m 2 Die Außenfläche des Zelts hat einen Flächeninhalt von etwa 14,96m 2. d) Nur Gruppe A: Das Volumen des Zelts erhält man, indem man das Volumen V 1 der quadratischen Pyramide und das Volumen V 2 des Vorzelts berechnet. Das Volumen einer Pyramide erhält man mit der Formel V Pyramide = 1 3 G h Pyramide. Die quadratische Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit Seitenlänge a = 2, 20 m und die Höhe h = 1,56m. V 1 = 1 3 a2 h = 1 3 (2,20m)2 1,56m 2,52m 3 34

9 Lösungen Zentrale Klassenarbeit 2003 Das Vorzelt ist eine Pyramide, deren Grundfläche die Vorderfläche A 3 und die Höhe die Strecke SH = 1,10m ist. V 2 = 1 3 A 3 SH = 1 3 1,72m2 1,10m 0,63m 3 Damit gilt für das Volumen V des Zelts: V = V 1 + V 2 = 2,52m 3 + 0,63m 3 = 3,15m 3 Das Zelt hat ein Volumen von etwa 3,15m Aufgabe a) Da sich die Anzahl der Mäuse alle 9 Monate verdoppeln soll, handelt es sich um allgemeines exponentielles Wachstum. Die allgemeine exponentielle Wachstumsgleichung lautet hier: B(t) = B(0) a t (t in Monaten, B(t) : Anzahl der Mäuse) Zu Beginn (t = 0) gibt es 50 Mäuse, also gilt: B(0) = 50 (Anfangswert) Nach 9 Monaten (t = 9) gibt es 100 Mäuse, also gilt: B(9) = 100 Setzt man diese Werte in die Wachstumsgleichung ein, um a zu bestimmen, so erhält man: 100 = 50 a 9 a = 9 2 1,08 ( ) Damit lautet das Wachstumsgesetz: B(t) = 50 9 t 2 Anhand des Wachstumsfaktor a 1,08 kann man erkennen, dass sich die Anzahl der Mäuse in einem Monat um 8% ändert. Um zu berechnen, wann 1000 Mäuse vorhanden sind, setzt man in die Gleichung für B(t) = 1000 ein und löst nach t auf: ( ) 9 t 1000 = 50 2 ( ) 9 t 20 = 2 ( ) 9 t log20 = log 2 ( ) 9 log20 = t log 2 t = log20 ( ) log 9 2 t 38,9 Nach etwa 39 Monaten wären es damit 1000 Tiere. 35

10 Zentrale Klassenarbeit 2003 Lösungen b) Die Gleichung für logistisches Wachstum lautet: B(t + 1) = B(t) + B(t) k (S B(t)) Da es höchstens 1000 Mäuse geben kann, ist diese Anzahl die Schranke S, also S = Zu Beginn (t = 0) gibt es 50 Mäuse, also gilt: B(0) = 50. Nach einem Jahr (t = 1) gibt es 120 Mäuse, also gilt: B(1) = 120. Setzt man diese Daten in die Gleichung für logistisches Wachstum ein, erhält man: 120 = k ( ) 70 = k k = k = Somit lautet die Gleichung für dieses logistische Wachstum: 7 B(t + 1) = B(t) + B(t) (1000 B(t)) 4750 Die Anzahl der Mäuse der Folgejahre erhält man, indem man in die Geichung für logistisches Wachstum jeweils das Ergebnis des vorhergehenden Jahres einsetzt: 7 B(2) = ( ) B(3) = ( ) Man würde am Ende des zweiten Jahres etwa 276 Mäuse und am Ende des dritten Jahres etwa 570 Mäuse erwarten. c) Nur Gruppe B: Das gegebene Wachstumsgesetz B(t + 1) B(t) = 0,8 B(t) 0,0001 (B(t)) 2 muss so umgeformt werden, dass es die gewöhnliche Form eines logistischen Wachstums hat: B(t + 1) = B(t) + B(t) k (S B(t)) Denn dann kann die Schranke S direkt abgelesen werden: B(t + 1) B(t) = 0,8 B(t) 0,0001 (B(t)) 2 B(t + 1) = B(t) + 0,8 B(t) 0,0001 (B(t)) 2 B(t + 1) = B(t) + B(t) (0,8 0,0001 B(t)) ( ) 0,8 B(t + 1) = B(t) + B(t) 0,0001 0,0001 B(t) B(t + 1) = B(t) + B(t) 0,0001 (8000 B(t)) Damit liegt logistisches Wachstum mit der neuen Schranke S = 8000 vor. Somit ist in diesem Versuchsgelände langfristig mit 8000 Mäusen zu rechnen. 36