Mathematik Aufnahmeprüfung 2018

Transkript

1 Mathematik Aufnahmeprüfung 2018 Zeit: 2 Stunden Rechner: TI30/TI34 oder vergleichbare. Hinweis: Der Lösungsweg muss nachvollziehbar sein, ansonsten werden keine Teilpunkte vergeben. Numerische Resultate sind - sofern nicht anders verlangt - auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. Aufgabe Summe Punkte

2 Mathematik Aufnahmeprüfung 2018 Vorname: Name: Aufgabe 1 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen: (a) ( 2) (7x 3) =? (b) (x 2 4x) (x 3 2x+x 2 ) =? Schreibe das Ergebnis vollständig gekürzt: (c) (d) 7a 5 a a 10 =? 3a 2 b b3 a =?

3 Aufgabe 2 (a) Löse die Gleichung nach dem Winkel β auf: 2β 2 (60 β)+180 β 3 = 83 (b) Löse die Gleichung nach der Unbekannten t auf: 1 1 ( t ) = t

4 Aufgabe 3 Die Weltbevölkerung stieg im letzten Jahrzehnt (von 2007 bis 2017) um 12.7%. Im Jahr 2017 betrug sie Millionen Personen. Für die folgenden Teilaufgaben wird angenommen, dass die Weltbevölkerung in jedem Jahrzehnt um 12.7% anwächst. Gib bei allen Teilaufgaben das Resultat in Millionen auf eine Stelle nach dem Komma genau an. (a) Wie gross wird die Weltbevölkerung im Jahr 2027 (also nach einem Jahrzehnt) sein? (b) Um wieviel Prozent wird die Weltbevölkerung von 2017 bis 2047 (also in drei Jahrzehnten) wachsen? (c) Wie gross war die Weltbevölkerung im Jahr 2007 (also vor einem Jahrzehnt)?

5 Aufgabe 4 In der folgenden Figur ist das Dreieck AC gleichschenklig mit AC = C. Die Punkte C und D liegen auf einem Kreisbogen um A. E C δ A D 33 erechne den Winkel δ.

6 Aufgabe 5 Einem Würfel werden die Ecken abgeschliffen. Es entsteht ein Restkörper mit lauter gleich langen Kanten. Dieser ist in der folgenden Figur grau gezeichnet. (a) Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat der Restkörper? Anzahl Ecken = Anzahl Kanten = Anzahl Flächen = (b) Vor dem Abschleifen hatte der Würfel die Kantenlänge 4 cm. erechne das Volumen des Restkörpers.

7 Aufgabe 6 Die nebenstehende Zeichnung zeigt eine Wanderroute von K nach N, die sich aus drei Wegstücken zusammensetzt. K L M Die folgenden Zeichnungen zeigen verschiedene Wegstücke, die sich von oben nach unten zu Wanderrouten zusammensetzen lassen. (a) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der Alp zum Ort E im Tal hinunterführen? N D E (b) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der Alp zum Ort E im Tal hinunterführen? C D E (c) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche vom Gipfel A zur Talsohle F hinunterführen? A C D E F

8 Aufgabe 7 Rechenmeister Riese besitzt drei Rechenelemente, welche die folgenden erechnungen ermöglichen: multipliziert mit 2 addiert 1 dazu addiert zwei Zahlen Er hat mit diesen Rechenelementen folgende Rechenmaschine gebaut: obere Eingabe untere Eingabe Ausgabe (a) Riese gibt in die obere Eingabe die Zahl 3 4 Ausgabe gleich 11 ist. ein. estimme die untere Eingabe so, dass die (b) Riese gibt in der oberen und unteren Eingabe je die gleiche Zahl x ein. ei welcher Zahl x ist dann die Ausgabe gleich der Zahl 7? Stelle dazu eine Gleichung auf und löse diese.

9 Aufgabe 8 (a) Eine Kugel mit dem Radius 5 cm rollt eine treppenförmige ahn hinunter. Die Figur zeigt die Situation. Wie weit rollt die Kugel, bis sie die nächste Stufe hinunterfällt? erechne diese Länge x auf mm genau. 5cm 3cm 11cm x (b) Die Kugel mit Radius 5cm rollt danach in einen Spalt der reite 8cm und bleibt dort liegen. erechne die Einsinktiefe h. h 8cm

10 Aufgabe 9 etrachte das abgebildete Fünfeck ACDE. A 2x E (a) Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt des Fünfecks aus a und x berechnen lässt. a x C 3a D (b) Für a = 4cm und x (in cm) hat das Fünfeck ACDE den Flächeninhalt (in cm 2 ) F = x 2 +2x+24 Ermittle durch Probieren mit dem Taschenrechner die Länge x auf eine Stelle nach dem Komma genau, damit der Flächeninhalt möglichst nahe bei 96cm 2 liegt.

11 Aufgabe 10 Sepp sagt immer die Wahrheit. Kurt sagt manchmal die Wahrheit. Paul sagt nie die Wahrheit. Die drei gehen in einer Reihe hintereinander. A geht zuvorderst, in der Mitte, und C geht ganz hinten. C A A sagt: In der Mitte geht Sepp., sagt: Ich bin Kurt., C sagt: In der Mitte geht Paul. Wie heissen A, und C?

12 Aufgabe 11 In der folgenden Skizze ist AC ein rechtwinkliges Dreieck. Die Gerade g verläuft durch C. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Kathete C. C g M A In der folgenden Situation sind die Ecke A, der Punkt M, sowie die Gerade g vorgegeben. Konstruiere alle Dreiecke AC, welche die folgenden edingungen erfüllen: bei C haben sie einen rechten Winkel, die Ecke C liegt auf g, und M ist der Mittelpunkt der Kathete C. Die Korrektheit der Konstruktion muss zweifelsfrei erkennbar sein. Studiere die obige Skizze. Sie kann hilfreich sein, die Konstruktion zu finden. g A M

13 Aufgabe 12 Schreiner Schulz hat einen Holzwürfel mit der Kantenlänge 12 cm. Sowohl auf der oberen als auch bei der rechten Seitenfläche bringt er genau in der Mitte eine gerade Linie an (vgl. ild 1). Schulz fräst nun entlang der beiden Linien je einen Schlitz der reite 2cm und der Tiefe 6cm in den Würfel. Zuerst fräst er entlang der rechten Linie (vgl. ild 2), und danach entlang der oberen Linie. So entsteht der Restkörper wie er in ild 3 gezeigt ist. 12cm 6cm 5cm 6cm ild 1 ild 2 2cm ild 3 erechne das Volumen des Restkörpers.

14 Mathematik Aufnahmeprüfung 2018 Lösungen Aufgabe Summe Punkte

15 Aufgabe 1 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen: (a) ( 2) (7x 3) =? (b) (x 2 4x) (x 3 2x+x 2 ) =? Schreibe das Ergebnis vollständig gekürzt: (c) (d) (a) 7a 5 a a 10 =? 3a 2 b b3 a =? ( 2) (7x 3) = 14x+6 (b) (x 2 4x) (x 3 2x+x 2 ) = x 2 4x x 3 +2x x 2 = x 3 2x (c) 7a 5 a a 10 = 70a 50 2a a 50 = 83a 50 (d) 3a 2 b b3 a = 3ab 2

16 Aufgabe 2 (a) Löse die Gleichung nach dem Winkel β auf: 2β 2 (60 β)+180 β 3 = 83 (b) Löse die Gleichung nach der Unbekannten t auf: 1 1 ( t ) = t (a) 2β 2 (60 β)+180 β = β 120 2β +180 β = β 300 3β = β (100 β) = 83 3β 100 = 83 3β = 183 = β = 61 (b) 1 1 ( t ) t t+ t 3 = t = t = t = 6 10 = t = 3 5

17 Aufgabe 3 Die Weltbevölkerung stieg im letzten Jahrzehnt (von 2007 bis 2017) um 12.7%. Im Jahr 2017 betrug sie Millionen Personen. Für die folgenden Teilaufgaben wird angenommen, dass die Weltbevölkerung in jedem Jahrzehnt um 12.7% anwächst. Gib bei allen Teilaufgaben das Resultat in Millionen auf eine Stelle nach dem Komma genau an. (a) Wie gross wird die Weltbevölkerung im Jahr 2027 (also nach einem Jahrzehnt) sein? (b) Um wieviel Prozent wird die Weltbevölkerung von 2017 bis 2047 (also in drei Jahrzehnten) wachsen? (c) Wie gross war die Weltbevölkerung im Jahr 2007 (also vor einem Jahrzehnt)? (a) Mio = Mio (b) Nach drei Jahrzehnten beträgt die Weltbevölkerung das fache. Als wächst sie um 43.1%. (c) Mio = Mio

18 Aufgabe 4 In der folgenden Figur ist das Dreieck AC gleichschenklig mit AC = C. Die Punkte C und D liegen auf einem Kreisbogen um A. C E η A α δ ϕ ζ D 33 erechne den Winkel δ. Weil AC gleichschenklig ist mit AC = C, gilt α = CA = 33 Aus der Winkelsumme in ADE folgt daher ζ = ADE = = 57. Auch ADC ist gleichschenklig mit AD = AC. Somit folgt η = ACD = ADC = ϕ und daher η = ϕ = = Es folgt δ = ϕ ζ = = 16.5.

19 Aufgabe 5 Einem Würfel werden die Ecken abgeschliffen. Es entsteht ein Restkörper mit lauter gleich langen Kanten. Dieser ist in der folgenden Figur grau gezeichnet. (a) Wie viele Ecken, Kanten und Flächen hat der Restkörper? Anzahl Ecken = 12 Anzahl Kanten = 24 Anzahl Flächen = 14 Alle Ecken des Restkörpers liegen auf den Würfelkanten, und auf jeder Würfelkante liegt genau eine Ecke. Die Anzahl Ecken sind daher die Anzahl Kanten des Würfels, also 12. Die Anzahl Kanten des Restkörpers ist die Anzahl Kanten aller seiner quadratischen Seitenflächen. Weil auf jeder der 6 Seitenflächen des Würfels eine solche quadratische Seitenfläche liegt, hat der Körper 6 4 = 24 Kanten. Der Restkörper hat 6 quadratische Seitenflächen. eim Abschleifen entsteht bei jeder der 8 Würfelecken genau eine dreieckige Seitenfläche. Also hat der Restkörper = 14 Flächen. (b) Vor dem Abschleifen hatte der Würfel die Kantenlänge 4 cm. erechne das Volumen des Restkörpers. eim Abschleifen des Würfels werden an jeder der 8 Ecken lauter gleiche Pyramiden entfernt. Ist V das Volumen einer solchen Pyrmaide, so hat der Restkörper das Volumen V R = 4 3 cm 3 8 V = 64cm 3 8 V. Die Abblidung zeigt die bei der rechten unteren Ecke des Würfels abgeschliffene Pyramide. Die Kanten A, C und D stehen senkrecht zueinander, und haben je die Länge 2cm. D Die Grundfläche G ist das halbe Quadrat AC mit der Seitenlänge 2 cm. Sie hat daher den Flächeninhalt 2cm C G = cm 2 = 2cm 2. A 2cm 2cm Die Höhe h ist die Kante D der Länge h = 2cm. Das Volumen der Pyramide lautet also V = 1 3 G h = 1 3 2cm2 2cm = 4 3 cm3 Folglich hat der Restkörper das Volumen V R = 64cm cm3 = cm3 ( 53.33cm 3 ).

20 Aufgabe 6 Die nebenstehende Zeichnung zeigt eine Wanderroute von K nach N, die sich aus drei Wegstücken zusammensetzt. K L M Die folgenden Zeichnungen zeigen verschiedene Wegstücke, die sich von oben nach unten zu Wanderrouten zusammensetzen lassen. (a) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der Alp zum Ort E im Tal hinunterführen? N D Für jeden der beiden Wege von nach D gibt es drei Wege von D nach E. Also gibt es 2 3 = 6 verschiedene Wanderrouten. E (b) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der Alp zum Ort E im Tal hinunterführen? Für jeden der beiden Wege von nach C gibt es zwei Wege von C nach E. C E D Also gibt es 2 2 = 4 verschiedene Wanderrouten von über C nach E. Zusammen mit den 6 Wanderrouten von über D nach E sind es insgesamt 4+6 = 10 verschiedene Wanderrouten von nach E. (c) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche vom Gipfel A zur Talsohle F hinunterführen? A Für jeden der beiden Wege von A nach gibt es gemäss (b) 10 verschiedene Wanderrouten von nach E. C F E D Also gibt es 2 10 = 20 verschiedene Wanderrouten von A nach E. Weil es nur ein Wegstück von E nach F gibt, sind es 20 verschiedene Wanderrouten von A nach F.

21 Aufgabe 7 Rechenmeister Riese besitzt drei Rechenelemente, welche die folgenden erechnungen ermöglichen: multipliziert mit 2 addiert 1 dazu addiert zwei Zahlen Er hat mit diesen Rechenelementen folgende Rechenmaschine gebaut: obere Eingabe untere Eingabe Ausgabe (a) Riese gibt in die obere Eingabe die Zahl 3 4 Ausgabe gleich 11 ist. ein. estimme die untere Eingabe so, dass die (b) Riese gibt in der oberen und unteren Eingabe je die gleiche Zahl x ein. ei welcher Zahl x ist dann die Ausgabe gleich der Zahl 7? Stelle dazu eine Gleichung auf und löse diese. (a) Die obere Eingabe liefert: Da die Ausgabe 11 liefern soll können wir nun Schritt für Schritt zurückrechnen: Die untere Eingabe muss 1 sein. (b) Ist die obere und untere Eingabe gleich x, so gilt: x 2 2x 2 4x +1 4x+1 2 8x x x+9 x 2 2x +1 2x x x+3 2 4x+6 Es muss also die Gleichung 12x+9 = 7 gelöst werden: 12x = 2 x = 1 6

22 Aufgabe 8 (a) Eine Kugel mit dem Radius 5 cm rollt eine treppenförmige ahn hinunter. Die Figur zeigt die Situation. Wie weit rollt die Kugel, bis sie die nächste Stufe hinunterfällt? erechne diese Länge x auf mm genau. 3cm E 5cm T M A x 11cm (b) Die Kugel mit Radius 5cm rollt danach in einen Spalt der reite 8cm und bleibt dort liegen. erechne die Einsinktiefe h. E M A T 8cm h (a) Eingezeichnet sind die Radien ME = MT = 5cm, sowie die horizontale Strecke EA. Im rechtwinkligen Dreieck EAM misst die Hypotenuse ME = 5cm und die Kathete MA = MT AT = 5cm 3cm = 2cm Mit dem Satz von Pythagoras hat demnach die Kathete EA die Länge Folglich hat x die Länge EA = cm = 21cm x = (11 21)cm 6.4cm (b) Eingezeichnet sind der Radius ME und der vertikale Radius MT. Die Strecke EA ist halb so lang wie der Spalt. Daher ist EA = 4cm, ME = MT = 5cm Mit dem Satz von Pythagoras hat die Kathete MA im rechtwinkligen Dreieck EAM die Länge MA = cm = 9cm = 3cm Folglich misst die Einsinktiefe h = 5cm 3cm = 2cm

23 Aufgabe 9 etrachte das abgebildete Fünfeck ACDE. A P 2x E (a) Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt des Fünfecks aus a und x berechnen lässt. a x C 3a D Zerlege die Figur mit der Strecke P in das Rechteck CDEP und in das rechwinklige Dreieck PA. Das Rechteck hat den Flächeninhalt 3a x. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks P A haben die Längen AP = 2x 3a, und P = x a Also hat das Dreieck den Flächeninhalt 1 (2x 3a) (x a). Das Fünfeck hat somit den 2 Flächeninhalt F = 3a x+ (2x 3a) (x a) 2 (b) Für a = 4cm und x (in cm) hat das Fünfeck ACDE den Flächeninhalt (in cm 2 ) F = x 2 +2x+24 Ermittle durch Probieren mit dem Taschenrechner die Länge x auf eine Stelle nach dem Komma genau, damit der Flächeninhalt möglichst nahe bei 96cm 2 liegt. Eine Variante des Probierens zeigt die nebenstehende Tabelle. Man findet so x 7.5. x F ereich Fehler 6 72 < > 96 6 < x < < 96 7 < x < < < x < > < x < > < x <

24 Aufgabe 10 Sepp sagt immer die Wahrheit. Kurt sagt manchmal die Wahrheit. Paul sagt nie die Wahrheit. Die drei gehen in einer Reihe hintereinander. A geht zuvorderst, in der Mitte, und C geht ganz hinten. C A A sagt: In der Mitte geht Sepp., sagt: Ich bin Kurt., C sagt: In der Mitte geht Paul. Wie heissen A, und C? A kann nicht Sepp sein, da er selbst sonst nicht die Wahrheit sagt. kann auch nicht Sepp sein, da er sonst nicht die Wahrheit sagt. Also ist C Sepp. Sepp, der immer die Wahrheit sagt, gibt an, dass in der Mitte Paul läuft. Also ist Paul. Somit muss A Kurt sein. A: Kurt, : Paul, C: Sepp.

25 Aufgabe 11 In der folgenden Skizze ist AC ein rechtwinkliges Dreieck. Die Gerade g verläuft durch C. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Kathete C. A C g M Konstruktion: 1. Thaleskreis k über AM (erster g.o. für C). 2. Die Schnittpunkte C,C 2 von g mit k. 3. C bzw. C 2 an M spiegeln: bzw Die Dreiecke AC und A 2 C 2 erfüllen die edingungen. In der folgenden Situation sind die Ecke A, der Punkt M, sowie die Gerade g vorgegeben. Konstruiere alle Dreiecke AC, welche die folgenden edingungen erfüllen: bei C haben sie einen rechten Winkel, die Ecke C liegt auf g, und M ist der Mittelpunkt der Kathete C. Die Korrektheit der Konstruktion muss zweifelsfrei erkennbar sein. Studiere die obige Skizze. Sie kann hilfreich sein, die Konstruktion zu finden. g C 2 A M C 2

26 Aufgabe 12 Schreiner Schulz hat einen Holzwürfel mit der Kantenlänge 12 cm. Sowohl auf der oberen als auch bei der rechten Seitenfläche bringt er genau in der Mitte eine gerade Linie an (vgl. ild 1). Schulz fräst nun entlang der beiden Linien je einen Schlitz der reite 2cm und der Tiefe 6cm in den Würfel. Zuerst fräst er entlang der rechten Linie (vgl. ild 2), und danach entlang der oberen Linie. So entsteht der Restkörper wie er in ild 3 gezeigt ist. 12cm 6cm 5cm 6cm ild 1 ild 2 2cm ild 3 erechne das Volumen des Restkörpers. Variante 1 Der Würfel hat ein Volumen von V 1 = (12cm) 3 = 1728cm 3. Der Körper aus ild 2 hat ein Volumen von V 2 = V 1 2cm 12cm 6cm = 1584cm 3. Der Körper aus ild 3 hat ein Volumen von V 3 = V 2 V Schlitz, wobei V Schlitz das Volumen dessen ist, was herausgeschnitten wurde: 6cm 2cm Das Volumen V Schlitz = (2cm 12cm 1cm 2cm) 6cm = 22cm 2 6cm = 132cm 3. Also gilt V 3 = 1584cm 3 132cm 3 = 1452cm 3. Variante 2 Der Körper aus ild 3 wird aus Teilen aufgebaut: 5cm 5cm Der linke Teilkörper hat das Volumen V L = 5cm 12cm 12cm = 720cm 3. Der mittlere Teilkörper hat das Volumen V M = (2cm 12cm 1cm 2cm) 6cm = 22cm 2 6cm = 132cm 3. Die rechten Teilkörper haben je das Volumen V R = 5cm 5cm 12cm = 300cm 3. Der Körper aus ild 3 hat daher das Volumen V 3 = V L +V M +2V R = 720cm cm cm 3 = 1452cm 3.