Mathematik Aufnahmeprüfung Aufgabe Summe Punkte

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1 Mathematik ufnahmeprüfung 2018 Lösungen ufgabe Summe Punkte

2 ufgabe 1 Löse die Klammern auf und fasse so weit wie möglich zusammen: (a) ( 2) (7x ) =? (b) (x 2 4x) (x 2x+x 2 ) =? Schreibe das rgebnis vollständig gekürzt: (c) (d) (a) 7a 5 a 25 + a 10 =? a 2 b b a =? ( 2) (7x ) = 14x+6 (b) (x 2 4x) (x 2x+x 2 ) = x 2 4x x +2x x 2 = x 2x (c) 7a 5 a 25 + a 10 = 70a 50 2a a 50 = 8a 50 (d) a 2 b b a = ab 2

3 ufgabe 2 (a) Löse die Gleichung nach dem Winkel β auf: 2β 2 (60 β)+180 β = 8 (b) Löse die Gleichung nach der Unbekannten t auf: 1 1 ( t ) = 10 2 t (a) 2β 2 (60 β)+180 β = 8 2β 120 2β +180 β = 8 2β 00 β = 8 2β (100 β) = 8 β 100 = 8 β = 18 = β = 61 (b) 1 1 ( t ) t 2 t+ t = 10 2 t = 10 2 t = t = 6 10 = t = 5

4 ufgabe Die Weltbevölkerung stieg im letzten Jahrzehnt (von 2007 bis 2017) um 12.7%. Im Jahr 2017 betrug sie Millionen Personen. Für die folgenden Teilaufgaben wird angenommen, dass die Weltbevölkerung in jedem Jahrzehnt um 12.7% anwächst. Gib bei allen Teilaufgaben das Resultat in Millionen auf eine Stelle nach dem Komma genau an. (a) Wie gross wird die Weltbevölkerung im Jahr 2027 (also nach einem Jahrzehnt) sein? (b) Um wieviel Prozent wird die Weltbevölkerung von 2017 bis 2047 (also in drei Jahrzehnten) wachsen? (c) Wie gross war die Weltbevölkerung im Jahr 2007 (also vor einem Jahrzehnt)? (a) Mio = 859.2Mio (b) Nach drei Jahrzehnten beträgt die Weltbevölkerung das fache. ls wächst sie um 4.1%. (c) Mio = 672.1Mio

5 ufgabe 4 In der folgenden Figur ist das Dreieck gleichschenklig mit =. Die Punkte und D liegen auf einem Kreisbogen um. η α δ ϕ ζ D erechne den Winkel δ. Weil gleichschenklig ist mit =, gilt α = = us der Winkelsumme in D folgt daher ζ = D = = 57. uch D ist gleichschenklig mit D =. Somit folgt η = D = D = ϕ und daher η = ϕ = = 7.5. s folgt δ = ϕ ζ = = 16.5.

6 ufgabe 5 inem Würfel werden die cken abgeschliffen. s entsteht ein Restkörper mit lauter gleich langen Kanten. Dieser ist in der folgenden Figur grau gezeichnet. (a) Wie viele cken, Kanten und Flächen hat der Restkörper? nzahl cken = 12 nzahl Kanten = 24 nzahl Flächen = 14 lle cken des Restkörpers liegen auf den Würfelkanten, und auf jeder Würfelkante liegt genau eine cke. Die nzahl cken sind daher die nzahl Kanten des Würfels, also 12. Die nzahl Kanten des Restkörpers ist die nzahl Kanten aller seiner quadratischen Seitenflächen. Weil auf jeder der 6 Seitenflächen des Würfels eine solche quadratische Seitenfläche liegt, hat der Körper 6 4 = 24 Kanten. Der Restkörper hat 6 quadratische Seitenflächen. eim bschleifen entsteht bei jeder der 8 Würfelecken genau eine dreieckige Seitenfläche. lso hat der Restkörper = 14 Flächen. (b) Vor dem bschleifen hatte der Würfel die Kantenlänge 4 cm. erechne das Volumen des Restkörpers. eim bschleifen des Würfels werden an jeder der 8 cken lauter gleiche Pyramiden entfernt. Ist V das Volumen einer solchen Pyrmaide, so hat der Restkörper das Volumen V R = 4 cm 8 V = 64cm 8 V. Die bblidung zeigt die bei der rechten unteren cke des Würfels abgeschliffene Pyramide. Die Kanten, und D stehen senkrecht zueinander, und haben je die Länge 2cm. D Die Grundfläche G ist das halbe Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm. Sie hat daher den Flächeninhalt 2cm G = cm 2 = 2cm 2. 2cm 2cm Die Höhe h ist die Kante D der Länge h = 2cm. Das Volumen der Pyramide lautet also V = 1 G h = 1 2cm2 2cm = 4 cm Folglich hat der Restkörper das Volumen V R = 64cm 8 4 cm = 160 cm ( 5.cm ).

7 ufgabe 6 Die nebenstehende Zeichnung zeigt eine Wanderroute von K nach N, die sich aus drei Wegstücken zusammensetzt. K L M Die folgenden Zeichnungen zeigen verschiedene Wegstücke, die sich von oben nach unten zu Wanderrouten zusammensetzen lassen. (a) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der lp zum Ort im Tal hinunterführen? N D Für jeden der beiden Wege von nach D gibt es drei Wege von D nach. lso gibt es 2 = 6 verschiedene Wanderrouten. (b) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche von der lp zum Ort im Tal hinunterführen? Für jeden der beiden Wege von nach gibt es zwei Wege von nach. D lso gibt es 2 2 = 4 verschiedene Wanderrouten von über nach. Zusammen mit den 6 Wanderrouten von über D nach sind es insgesamt 4+6 = 10 verschiedene Wanderrouten von nach. (c) Wie viele verschiedene Wanderrouten gibt es, welche vom Gipfel zur Talsohle F hinunterführen? Für jeden der beiden Wege von nach gibt es gemäss (b) 10 verschiedene Wanderrouten von nach. F D lso gibt es 2 10 = 20 verschiedene Wanderrouten von nach. Weil es nur ein Wegstück von nach F gibt, sind es 20 verschiedene Wanderrouten von nach F.

8 ufgabe 7 Rechenmeister Riese besitzt drei Rechenelemente, welche die folgenden erechnungen ermöglichen: multipliziert mit 2 addiert 1 dazu addiert zwei Zahlen r hat mit diesen Rechenelementen folgende Rechenmaschine gebaut: obere ingabe untere ingabe usgabe (a) Riese gibt in die obere ingabe die Zahl 4 usgabe gleich 11 ist. ein. estimme die untere ingabe so, dass die (b) Riese gibt in der oberen und unteren ingabe je die gleiche Zahl x ein. ei welcher Zahl x ist dann die usgabe gleich der Zahl 7? Stelle dazu eine Gleichung auf und löse diese. (a) Die obere ingabe liefert: Da die usgabe 11 liefern soll können wir nun Schritt für Schritt zurückrechnen: Die untere ingabe muss 1 sein. (b) Ist die obere und untere ingabe gleich x, so gilt: x 2 2x 2 4x +1 4x+1 2 8x x+ + 12x+9 x 2 2x +1 2x x x+ 2 4x+6 s muss also die Gleichung 12x+9 = 7 gelöst werden: 12x = 2 x = 1 6

9 ufgabe 8 (a) ine Kugel mit dem Radius 5 cm rollt eine treppenförmige ahn hinunter. Die Figur zeigt die Situation. Wie weit rollt die Kugel, bis sie die nächste Stufe hinunterfällt? erechne diese Länge x auf mm genau. cm 5cm T M x 11cm (b) Die Kugel mit Radius 5cm rollt danach in einen Spalt der reite 8cm und bleibt dort liegen. erechne die insinktiefe h. M T 8cm h (a) ingezeichnet sind die Radien M = MT = 5cm, sowie die horizontale Strecke. Im rechtwinkligen Dreieck M misst die Hypotenuse M = 5cm und die Kathete M = MT T = 5cm cm = 2cm Mit dem Satz von Pythagoras hat demnach die Kathete die Länge Folglich hat x die Länge = cm = 21cm x = (11 21)cm 6.4cm (b) ingezeichnet sind der Radius M und der vertikale Radius MT. Die Strecke ist halb so lang wie der Spalt. Daher ist = 4cm, M = MT = 5cm Mit dem Satz von Pythagoras hat die Kathete M im rechtwinkligen Dreieck M die Länge M = cm = 9cm = cm Folglich misst die insinktiefe h = 5cm cm = 2cm

10 ufgabe 9 etrachte das abgebildete Fünfeck D. P 2x (a) Stelle eine Formel auf, mit der sich der Flächeninhalt des Fünfecks aus a und x berechnen lässt. a x a D Zerlege die Figur mit der Strecke P in das Rechteck DP und in das rechwinklige Dreieck P. Das Rechteck hat den Flächeninhalt a x. Die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks P haben die Längen P = 2x a, und P = x a lso hat das Dreieck den Flächeninhalt 1 (2x a) (x a). Das Fünfeck hat somit den 2 Flächeninhalt F = a x+ (2x a) (x a) 2 (b) Für a = 4cm und x (in cm) hat das Fünfeck D den Flächeninhalt (in cm 2 ) F = x 2 +2x+24 rmittle durch Probieren mit dem Taschenrechner die Länge x auf eine Stelle nach dem Komma genau, damit der Flächeninhalt möglichst nahe bei 96cm 2 liegt. ine Variante des Probierens zeigt die nebenstehende Tabelle. Man findet so x 7.5. x F ereich Fehler 6 72 < > 96 6 < x < < 96 7 < x < < < x < > < x < > < x <

11 ufgabe 10 Sepp sagt immer die Wahrheit. Kurt sagt manchmal die Wahrheit. Paul sagt nie die Wahrheit. Die drei gehen in einer Reihe hintereinander. geht zuvorderst, in der Mitte, und geht ganz hinten. sagt: In der Mitte geht Sepp., sagt: Ich bin Kurt., sagt: In der Mitte geht Paul. Wie heissen, und? kann nicht Sepp sein, da er selbst sonst nicht die Wahrheit sagt. kann auch nicht Sepp sein, da er sonst nicht die Wahrheit sagt. lso ist Sepp. Sepp, der immer die Wahrheit sagt, gibt an, dass in der Mitte Paul läuft. lso ist Paul. Somit muss Kurt sein. : Kurt, : Paul, : Sepp.

12 ufgabe 11 In der folgenden Skizze ist ein rechtwinkliges Dreieck. Die Gerade g verläuft durch. Der Punkt M ist der Mittelpunkt der Kathete. g M Konstruktion: 1. Thaleskreis k über M (erster g.o. für ). 2. Die Schnittpunkte, 2 von g mit k.. bzw. 2 an M spiegeln: bzw Die Dreiecke und 2 2 erfüllen die edingungen. In der folgenden Situation sind die cke, der Punkt M, sowie die Gerade g vorgegeben. Konstruiere alle Dreiecke, welche die folgenden edingungen erfüllen: bei haben sie einen rechten Winkel, die cke liegt auf g, und M ist der Mittelpunkt der Kathete. Die Korrektheit der Konstruktion muss zweifelsfrei erkennbar sein. Studiere die obige Skizze. Sie kann hilfreich sein, die Konstruktion zu finden. g 2 M 2

13 ufgabe 12 Schreiner Schulz hat einen Holzwürfel mit der Kantenlänge 12 cm. Sowohl auf der oberen als auch bei der rechten Seitenfläche bringt er genau in der Mitte eine gerade Linie an (vgl. ild 1). Schulz fräst nun entlang der beiden Linien je einen Schlitz der reite 2cm und der Tiefe 6cm in den Würfel. Zuerst fräst er entlang der rechten Linie (vgl. ild 2), und danach entlang der oberen Linie. So entsteht der Restkörper wie er in ild gezeigt ist. 12cm 6cm 5cm 6cm ild 1 ild 2 2cm ild erechne das Volumen des Restkörpers. Variante 1 Der Würfel hat ein Volumen von V 1 = (12cm) = 1728cm. Der Körper aus ild 2 hat ein Volumen von V 2 = V 1 2cm 12cm 6cm = 1584cm. Der Körper aus ild hat ein Volumen von V = V 2 V Schlitz, wobei V Schlitz das Volumen dessen ist, was herausgeschnitten wurde: 6cm 2cm Das Volumen V Schlitz = (2cm 12cm 1cm 2cm) 6cm = 22cm 2 6cm = 12cm. lso gilt V = 1584cm 12cm = 1452cm. Variante 2 Der Körper aus ild wird aus Teilen aufgebaut: 5cm 5cm Der linke Teilkörper hat das Volumen V L = 5cm 12cm 12cm = 720cm. Der mittlere Teilkörper hat das Volumen V M = (2cm 12cm 1cm 2cm) 6cm = 22cm 2 6cm = 12cm. Die rechten Teilkörper haben je das Volumen V R = 5cm 5cm 12cm = 00cm. Der Körper aus ild hat daher das Volumen V = V L +V M +2V R = 720cm +12cm +2 00cm = 1452cm.