Mathematik Aufnahmeprüfung Klasse 1. Teil Ausbildungsprofile M, N, S

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1 Mathematik ufnahmeprüfung Klasse 1. Teil usbildungsprofile M, N, S Hinweis n der Prüfung waren nur die Endresultate gefragt. Im Hinblick auf den Lernprozess halten wir es aber für sinnvoll, hier auch die Lösungswege mit ihren zugrunde liegenden Überlegungen und detaillierten Rechnungen zu präsentieren. Wir hoffen, dass diese Form der Lösungen bei der Vorbereitung auf die nächste ufnahmeprüfung hilfreich ist. Lösungen 1. Wir lösen die Gleichung Schritt für Schritt: = 1 x 6 kgv der Nenner, d.h = 1x 6 = 1x :(1) x = 6 1 x = 1. Kürzen mit 6. Wir setzen die vorgeschlagenen Zahlen der Reihe nach in die linke Seite der Ungleichung ein und vergleichen das Ergebnis mit der rechten Seite der Ungleichung: x x x nicht definiert nein 1 1 nein ie Ungleichung ist für x =, 3 und 4 erfüllt. 0 ja 3 1 9= 0.1 ja = 0.5 ja = 0.36 nein ufnahmeprüfung MS Mathematik

2 3. Wir stehen auf der Insel und starten unsere Stoppuhr in dem ugenblick, in dem wir von allen drei Leuchttürmen bestrahlt werden. as Licht des ersten Leuchtturms trifft uns wieder nach 15 s, 30 s, 45 s, usw. as sind alles ganze Vielfache von 15. as Licht des zweiten Leuchtturms trifft uns wieder nach 9 s, 18 s, 7 s, usw. as sind alles ganze Vielfache von 9. as Licht des dritten Leuchtturms trifft uns wieder nach 1 s, 4 s, 36 s, usw. as sind alles ganze Vielfache von 1. Gleichzeitig von allen Leuchttürmen beschienen werden wir nach einem gemeinsamen Vielfachen von 15 s, 9 s und 1 s. as erste Mal gleichzeitig von allen Leuchttürmen beschienen werden wir nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 15 s, 9 s und 1 s. Wir berechnen also das kgv: 15 = = 3 3 kgv = = = 3 amit werden wir in bständen von 180 s von allen drei Leuchttürmen gleichzeitig beschienen. 4. Wir können das grau dargestellte Flächenstück in drei reiecke zerlegen (in der Figur mit dunklen Farben markiert). iese reieck können auf die weissen Flächen umgeklappt werden (in der Figur mit hellen Farben markiert) amit ist der Flächeninhalt des dunklen Flächenstücks genau halb so gross wie der Inhalt des gesamten Flächenstücks. asselbe Ergebnis erhalten wir, wenn wir die kleinen reiecke auszählen. ufnahmeprüfung MS 007 Mathematik

3 5. Wir beschriften zuerst (fast) alle Winkel in der Zeichnung: β α δ γ ε E ie erechnungen beginnen wir im Punkt, denn dort liegen die beiden gegebenen Winkel an. ann arbeiten wir uns Schritt für Schritt zum Punkt vor: us dem 57 -Winkel schliessen wir, dass auch sein Scheitelwinkel 57 misst. us dem 41 -Winkel schliessen wir, dass auch der Winkel 41 misst, denn das reieck ist gleichschenklig und hat daher gleiche asiswinkel. Nun können wir im reieck auch den dritten Winkel berechnen, denn die Winkelsumme im reieck beträgt stets 180. lso gilt = 180 = =98. Nun können wir auch im reieck den dritten Winkel berechnen. Mit der Formel für die Winkelsumme: = 180 = =5. Schliesslich bemerken wir, dass den Winkel halbiert. ie reiecke und E sind nämlich deckungsgleich (kongruent), da sie in den drei Seiten übereinstimmen. eshalb stimmen auch ihre Winkel überein. lso gilt = 5 = er Zug braucht von der Einfahrt der Spitze in den Tunnel bis zur usfahrt des letzten Wagens eine unbekannte Zeitspanne. Wir geben ihr den Namen t und messen sie in Minuten. In dieser Zeitspanne legt die Spitze des Zuges 7km+ 0.5 km = 7.5 km zurück, wie aus der Zeichnung ersichtlich wird: Zeit: 15:00 Zug Tunnel 7 km 0.5 km Zeit: 15:00 + t Tunnel Zug 7.5 km er Zug fährt mit 60 km/h. Er legt damit pro Minute einen Kilometer zurück. amit braucht der Zug für die 7.5 km istanz 7.5 min Zeit. er letzte Wagen verlässt damit um 15:07:30 den Tunnel. ufnahmeprüfung MS Mathematik

4 7. Wir versuchen jedes Netz so zu drehen und zusammenzufalten, bis es mit den drei sichtbaren Seitenflächen des Würfels übereinstimmt: Übereinstimmende nordnungen sind grün gezeichnet, nicht übereinstimmende rot. ie Netze und passen also zum Würfel. 8. Zu eginn seien x akterien vorhanden. er Wert von x spielt keine Rolle. ie akterienkultur verdoppelt sich nun jede halbe Stunde. amit erhalten wir folgende Tabelle: Zeit in halben Stunden akterien x 4x 8x 16x 3x 64x 18x 56x 51x Nach 9 halben Stunden wir die 500fache nfangsmenge erstmals überschritten. Es sind also nach 4.5 Stunden erstmals mehr als 500mal so viele akterien vorhanden wie am nfang. ufnahmeprüfung MS Mathematik

5 9. Wir bezeichnen das heutige lter von Tusnelda mit x und stellen alle Informationen in einer Tabelle zusammen: lter von Tusnelda lter von Kunigunde heute x 6x in 8 Jahren x + 8 6x + 8 und 4(x + 8) Für das lter von Kunigunde in 8 Jahren haben wir zwei ngaben: Einerseits ist sie 8 Jahre älter als heute, also 6x + 8 und andererseits 4mal so alt wie Kunigunde, also 4(x + 8). Setzen wir die beiden Terme für das lter von Kunigunde einander gleich, so erhalten wir die Gleichung iese Gleichung können wir nun lösen: 6x + 8 = 4(x + 8) 6x + 8 = 4x + 3 x + 8 = 3 6x + 8 = 4(x + 8). usmultiplizieren 4x 8 x = 4 : x = 1 amit ist die Frage beantwortet: Tusnelda ist heute 1 Jahre alt. ufnahmeprüfung MS Mathematik

6 10. Wir beschriften die Endpunkte aller Strecken: G 11 h E 6 8 ist das einzige reieck, von dem wir drei Stücke kennen: en rechten Winkel bei und die beiden Katheten und. Wir beginnen deshalb mit diesem reieck und berechnen die fehlende Seite mit dem Satz von Pythagoras: = + = = 100 = 10. er Flächeninhalt des reiecks lässt sich nun auf zwei rten ausdrücken, einmal mit und einmal mit als Grundlinie: F = 1 G = = 44, F = 1 E = 1 10 h = 5h. araus folgt die Gleichung mit der Lösung 5h = 44 h = 44 5 = 8.8. ufnahmeprüfung MS Mathematik

7 ufnahmeprüfung 007 Mathematik.Teil Lösungen 1. 3 x 5 13x = (x 5) = 13x 9 16x + 40 = 6x +16x 49 = 4x : = = = x. 3. Schwimmen: Laufen: 1800m 0.8m / s 8.4km 10.8km / h 7 = h 9 = 50s = 37.5min = min = min = 160min 10s 4. a) M = w v = 9.8cm MF = w = 35cm F = MF M = 33.6cm M = u + w = 15cm F = M MF = 10cm F u v M w b) MF = 0.5MF = 100cm oder MF = 0.5FMF = 100cm 5. a) er etrag muss ein gemeinsames Vielfaches der Zahlen 16, 7 und 34 sein. as kgv ist 16 = 4 7 = = 17 kgv: = 7344 er etrag muss = '03. Fr. sein b) K1: 1377 K: 816 K3: 648 Karten.

8 a) des Inhaltes wiegt 9.kg 8.4kg = 0.8kg des Inhaltes wiegen 8kg 6 1 as Gefäss alleine wiegt 9.kg 8kg = 1.kg b) Komplett mit Wasser gefüllt: 1.kg + 9.6kg = 10.8kg 7. Wasser im Würfel: V HO = = 04cm 3 Um die unteren beiden Quader 'abzudecken' braucht man 10 8 = 136cm 3 Es bleiben = 68cm 3, die sich auf der Fläche 10 8 = 84cm verteilen 68 x = cm + cm =.81cm a) h = x 10 = x x Trapez = (x + 5) cm h 10cm b) x = 1.9cm ( = cm ) x = 13.0cm ( = cm ) x 9. In Schaffhausen sind 9 4 = 18 8 der Plätze belegt. Nachdem in Neuhausen 8 1 aussteigt, sind noch 18 7 Plätze besetzt x = x 18 7x+ 34 = 9x 34 = x 16 = x w W <W = < + <W 77 = (77 3)+ 6 = 6 = 13