ist Scheitelwinkel des Dreiecks CDE.

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1 MATHEMATIK-WETTBEWERB 008/009 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN. a) L = { 5; ; }, denn: (x + ) = 0 oder (x 4) = 0 oder (x 3 + 5) = 0 b) L = { 4; 3; ; 0;...}, denn: (x + ) ist gleich Null für x =, sonst immer positiv, deshalb (x 3 + 5) > 0 x > 5 c) L = {... ; 4; 3; ; 3;...}, denn: (x + ) = 0 oder (x )(x + ) x = oder x 4 x = oder 5 x x = oder x 3 oder x 3 d) L = { ; 0; ; 4; 5; 6;...}, denn: (x + ) ist immer positiv, aber für ungleich Null muss x sein oder: x 3 > 0 und (x 4) > 0 oder x 3 < 0 und (x 4) < 0 x > 3 und x > 4 oder x < 3 und x < 4 x > 3 und (x > oder x < ) oder x < 3 und ( < x < ) x > 3 oder < x <. a) Hinweise zur Konstruktion des Trapezes: <) BAC =<) DBA = 45 Strecke AB mit Parallelen zur Mittelsenkrechten m im Abstand 3,5 cm von m b) Konstruktion des Umkreises c) Thaleskreis über AB d) Kreisbogen um M mit Radius MD (= MC ), denn: CD ist Diagonale eines Sehnenvierecks mit Mittelpunkt M. Mittelpunktswinkel beträgt 40. Dreieck DM C ist gleichschenklig mit <) MDC = 0 e) R und R sind die Schnittpunkte des Thaleskreises aus c) und des Kreisbogens aus d). 3. a) Die Winkel an der Basis betragen beide 70, denn: 70 =<) ADF =<) EDC <) ACF = 50 (alternativ: <) CBA = 50 ) <) F CB = = 40 <) CED = = 70 b) () γ = 0, denn: 70 =<) ADF =<) EDC <) DCE = 70, da Dreieck CDE gleichschenklig γ =<) ACF + 70 = () γ = 05, denn: 70 =<) ADF =<) EDC Basiswinkel <) CED =<) DCE = 55 γ =<) ACF + 55 = c) γ = α (alternativ: α = γ), denn: <) ADF =<) EDC = 90 α ist Scheitelwinkel des Dreiecks CDE. AUFGABENGRUPPE A

2 Basiswinkel <) CED =<) DCE = 90 + α = α γ =<) ACF + <) DCE = 90 α+ <) DCE ( ( α )) 4. a) Das Alter ist 84, denn: a + b = und a b = 4 b) Das Alter ist 6, denn: a + b = 8 und 0b + a = (0a + b) + 0 a = ; b = 6 c) () Christina ist dann 5, ihr Vater 5 Jahre alt. Regel: Das ist alle Jahre der Fall. () Funktioniert nur, wenn die Altersdifferenz durch 9 teilbar ist: x = Alter Vater, x = 0a + b y = Alter Andreas; y = 0b + a Es gilt: x y = 35 0a + b (0b + a) = 35 9a 9b = 35 a b = 35/9, aber a b muss ganzzahlig sein. 5. a) () 0; ; 5; 6 () Man muss bis zur zweiten Potenz testen, denn: Die letzte Ziffer der quadrierten Zahl lässt sich wieder als Ausgangszahl verwenden. b) () Wenn x eine zweistellige idempotente Zahl ist, dann findet sich am Ende von x wieder die Zahl x. Subtrahiert man von x die Zahl x, so bleibt nur ein Vielfaches von 00 übrig. () Umformung der Gleichung (3) Wenn x durch 5 teilbar sein soll, dann kann x = 5, 50 oder 75 sein. Dann ist x = 4, 49 oder 74 und muss durch 4 teilbar sein, das ist nur bei x = 5 der Fall. Wenn x durch 5 teilbar sein soll, dann kann x =6, 5 oder 76 sein. Die Zahl x muss durch 4 teilbar sein, das ist nur bei x = 76 der Fall. (4) k = 5 x x 8 oder k = x 5 x8 6. a) () 36 Klötzchen, denn: kgv(; ; 3) = () x x ; x 4 x 6 (oder x x 6 oder x 3 x 4), denn: V W ürfel = ( cm) 3 = 78 cm 3 V Klötzchen = 78 cm 3 : 7 = 4 cm 3 b) () z.b.: 7 Klötzchen vom Typ A, Klötzchen vom Typ B Beschreibung: Die Klötzchen vom Typ A bilden einen Quader mit der Kantenlänge x x 0 (cm), diejenigen vom Typ B einen Quader mit den Kantenlängen x x (cm). () z.b.: kgv(; 3; 4; 5) = a) () p = 3 = 8 () p = 3 3 (3) p = = 5 64 (alternativ: p = 78 = 5 64 ) b) p = 3 0,3 0,7 = 0,89 c) x = 0, 4, denn: x + ( x) + x = 0, 35 4 x x + 4 x = 0, 35 4 x = 0, =

3 MATHEMATIK-WETTBEWERB 008/009 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN. a) L = {6}, denn: 3 = 0, 3 b) L = Z, denn: 6x = 4x 8x + x + 8x 6x = 6x c) L = { ; 0;...}, denn: x + 6x + 9 x + 3 6x x 6 x d) L = { ; 0; }, denn: 4 = x (für x 0). a) 900 m 3, denn: 700 : 7,8 b) () 3 cm, denn: 5 : cm () A = 65 cm Die Seitenlänge der Grundfläche ist 5 cm. c) () Maßstab : 50, denn: Die Seitenlänge der Grundfläche ist 0 cm 0 cm : 5 m bzw. 0, m : 5 m () Die Höhe beträgt 6 cm, denn: 35 : 5 0 cm (3) V = 0,4608 cm 3, denn: 900 m 3 : (50) 3 alternativ: g : (50) 3 = 3,5944 g 3. a) Hinweise zur Konstruktion beider Parallelogramme: Seite a und Parallele im Abstand 5 cm Kreis um A mit r = 7 cm b) Hinweise zur Konstruktion des Parallelogramms: Seite a und Mittelsenkrechte zu a Kreis um A mit r = 7 cm c) Hinweise zur Konstruktion des Parallelogramms: Seite a und Mittelsenkrechte von a Kreis um A mit r = 3, 5 cm Konstruktion von D d) Hinweise zur Konstruktion eines Parallelogramms: Seite a und Mittelsenkrechte von a Parallele zur Mittelsenkrechten von a im Abstand von cm Kreis um Mittelpunkt von AB mit r = 7 cm 4. a) Autos, denn:,5 Mrd e : 500 e b) 0 %, denn: 500 e : 500 e c) e, denn: 500 e : 0,5 d) 5500 e, denn: 0 % von e sind 8000 e. AUFGABENGRUPPE B

4 8000 e e e) Es ist immer günstiger, zuerst den Preisnachlass und dann die AWP zu wählen, denn: 0, 75x 500 < (x 500) 0, 75 0, 75x 500 < 0, 75x a) x = 4 bzw. C(4 5) und Trapez (a + c) h A = c = 3 cm b) A(AMD) = 5 cm, A(DMC) = 6 cm, A(MBC) = 5 cm c) () Es können höchstens zwei Dreiecke dieselbe Grundseitenlänge bei gleicher Höhe besitzen. (.) B(7 ) und N(4 ) (.) A( 3, 5 ) und B(, 5 ) 6. a) () Augensumme 7, weil gegenüber liegende Augenzahlen nicht gleichzeitig sichtbar sind. () minimal 6, maximal 5 Augensumme 8 und 3 b) () ist nicht sichtbar, denn: 5 gewürfelt () 3; 4; 6; 5 c) Spieler sieht 9, denn: 3 gewürfelt 7. a) () 4 () z.b. OTTOANNN (3) 4 4 = 56 (4) 4 8 = b) P(Einsatz zurück) = 0 P(Trostpreis) = 0 P(Hauptpreis) = 4 ( ) 4 = 56

5 MATHEMATIK-WETTBEWERB 008/009 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN. a) () x = 0, 4, denn: 4x = 5, 6 x = 5, 6 : 4 () x = 3, denn: 8 + x = (7 3x) ( 0) 8 + x = x 4 + x = x 84 + x = 30x 84 = 8x (3) x = 9, denn: x 8 = 4 3x x = 48 b) () 8x + 4y + 4z () 56 cm AUFGABENGRUPPE C. a) 96 e, denn: 33,60 00 : 35 b) 449 e, denn: 65 % 9,85 00 : 65 c) () 70 e, denn: 00 : = = : 0 = 78 () 4,5 %, denn: = : a) () 00 min () 8 km (3) Uhr (40 min): km Uhr (40 min): Pause Uhr (0 min): 6 km b) () Diagramm mit richtiger Einteilung Pausen () 3.7 Uhr c) um 0.40 Uhr nach 6 km 4. a) Koordinatensystem Punkte eintragen Viereck zeichnen b) Eintrag A Spiegelachse c) Spiegelung B ( ), C ( 4 3), D ( 5) d) A = 38 cm A = 8 cm (Viereck CDD C ) A = 0 cm (Viereck BCC B ) 5. a) geringster Verbrauch auf Strecke, denn:

6 3,8 l : 4 = 8, l 39,5 l : 5 = 7,9 l 46, : 5,5 = 8,4 l b) () Durchschnittsgeschwindigkeit 75 km/h, denn: 90 km : 5 min =,5 km/min,5 km/min 60 min/h () 4 min, denn: 90 : (3) 38,30 e, denn: 8,4 : ,9 3,9,0 = 38,304 c) Nein, denn: 35 : 4 = 7,5 7,5 5 = 37,5 < a) Würfel : p(6)= 6 = 3 0, 33 b) Würfel, da die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl kleiner als 4 zu würfeln, nahe an der relativen Häufigkeit liegt: Würfel : p(<4) = 6 4 = 3 0, 67 Würfel : p(<4) = 0 Würfel 3: p(<4) = 3 6 = = 0, 5 relative Häufigkeit des Zufallsexperimentes: , 674 c) Bahar soll Würfel wählen. Da Würfel immer Zahlen größer 3 hat, hat sie mit diesem eine Wahrscheinlichkeit von 67 % zu gewinnen. Gewinnwahrscheinlichkeit Würfel gegenüber Würfel : p(3) = 6 4 = 3 0, 67 Gewinnwahrscheinlichkeit Würfel 3 gegenüber Würfel : p(9) = 6 3 = = 0, 5 d) p(4;0) = 0,5 0,5 = 0,5 = 5 %, denn: p(4) = 6 3 = = 0, 5 7. a) () 749 () 594 (3) 8935 (4) 478 p(0) = 3 6 = = 0, 5