Begründen in der Geometrie

Transkript

1 Nr Begründen in der Geometrie Didaktische Grundsätze Zuerst die geometrischen Phänomene erkunden und kennenlernen. Viel zeichnen! Vierecke, Kreise, Dreiecke, Winkel, Strecken,... In dieser ersten Phase in KL.5-6 wird kaum begründet Erst in einem zweiten Durchgang, etwa ab Klasse 7 werden die Phänomene logisch geordnet. Jetzt kann und muss lokal bewiesen werden. 1

2 Konstruieren - Ortslinie Kreis Abstand Punkt Punkt Diejenigen Punkte, die von einem gegebenen Punkt M denselben Abstand r haben, liegen auf einem Kreis um M mit Radius r. M x Grundkonstruktion: 1. Konstruiere Kreis um M mit Radius r. Übung: Gegeben sind die Punkte A und B mit Abstand 4 cm. Konstruiere alle Punkte, die von A den Abstand 3 cm und von B mindestens den Abstand 2 cm haben. 2

3 Konstruieren Ortslinie Lot Abstand Punkt - Gerade Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge des Lotes (der orthogonalen Strecke) von P auf g. Grundkonstruktionen, auch mit Zirkel und Lineal 2. Gegeben Gerade g und P auf g. Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P. x P g 3. Gegeben Gerade g und P nicht auf g. Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P. 3

4 Konstruieren Ortslinie Parallele Abstand Gerade Gerade Diejenigen Punkte, die von einer gegebenen Geraden g denselben Abstand d haben, liegen auf einer Parallele zu g mit Abstand d. g Grundkonstruktion 4. Konstruiere zu einer Geraden g die Parallelen im Abstand d. Übung: Gegeben ist die Gerade g und ein Punkt P mit dem Abstand 2 cm von g. Konstruiere alle Punkte, die von g den Abstand 1 cm und von P den Abstand 4 cm haben. 4

5 Konstruieren Ortslinie Parallele Lösung mit Konstruktionstext: K Ortslinie 1: Kreis um P mit Radius 4. x P g Ortslinie 2: Parallelen zu g im Abstand 1 cm. Ergebnis: Alle Punkte, die auf beiden Ortslinien liegen, erfüllen die Aufgabe. Das sind f x P xd xc h xa g xb die Punkte A, B, C, D. 5

6 Konstruieren Ortslinie Mittelparallele Abstand Gerade Gerade Diejenigen Punkte, die von zwei g parallelen Geraden g und h denselben Abstand d haben, liegen auf der Mittelparallelen von g und h. h Grundkonstruktion 5. Konstruiere zu zwei parallelen Geraden g und h die Mittelparallele. Übung: Konstruiere zu den parallelen Geraden g und h mit Abstand 3 cm alle Punkte, die von g einen kleineren Abstand als von h haben. 6

7 Konstruieren Ortslinie Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechte Die Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Strecke AB geht und zur Strecke orthogonal ist, heißt Mittelsenkrechte von AB. Diejenigen Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B denselben Abstand d haben, liegen auf der Mittelsenkrechte der Strecke AB. x A xp x B Grundkonstruktion 6. Konstruiere zur Strecke AB die Mittelsenkrechte. 7

8 Konstruieren Ortslinie Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende Die Gerade, die durch den Scheitel S eines Winkels geht und den Winkel halbiert, heißt Winkelhalbierende von α. Diejenigen Punkte, die von den Schenkeln eines Winkels α denselben Abstand haben, liegen auf der Winkelhalbierenden von α. α xp Grundkonstruktion 7. Konstruiere zu einem gegebenen Winkel die Winkelhalbierende. 8

9 Konstruieren - Tangente Die Tangente Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt M und ein Punkt P auf der Kreislinie. Diejenige Gerade, die durch P geht und zur Strecke MP orthogonal ist, heißt Tangente an K durch P. Grundkonstruktion 8. Konstruiere die Tangente an einen Kreis in einem Punkt P der Kreislinie. x M x P 9

10 Konstruieren - Ortslinien Übung: Konstruiere zu einem Winkel α < 180 den Mittelpunkt M eines Kreises mit Radius 1,5 cm, der die Schenkel berührt. Lösung: Ortslinie 1: Winkelhalbierende von α. Ortslinie 2: Parallele j zu einem Schenkel im Abstand 1,5 cm. Ergebnis: Schnittpunkt der WH mit j ist M. 1,5cm Parallele WH 10

11 Bezeichnungen am Dreieck mc C sc a b hc A c Mc wβ B 11

12 Konstruieren Richtig/Falsch Beispiel: Konstruiere ein Dreieck aus c = 6 cm; β = 70 ; γ = 55 (Winkelsumme im Dreieck ist nicht bekannt) Richtige Konstruktionen:.... Falsche Konstruktionen: