M9 Geometrielehrgang. M9 Geometrielehrgang 1

Transkript

1 M9 Geometrielehrgang Inhalt: 1 Geometrische Grundbegriffe Punkte Linien und deren Lagebeziehungen: Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu! 3 2 Dreiecke Dreieckfläche 4 3 Vierecke Fläche Parallelogramm 5 4 Übersicht Vierecke 6 5 Winkelsätze 7 6 Konstruktion wichtiger Ortslinien und Punkte 7 7 Ortslinien und geometrische Orte Übungen zu Ortslinien und geometrische Orte Mittelsenkrechten Umkreis, k (M, r) Winkelhalbierende und Inkreis, k (O, ) Mittelparallelen und Seitenhalbierenden/Schwerelinien, Schwerpunkt S 10 8 Linien im Dreieck 11 9 Grundaufgaben Senkrechten und Parallelen Parallelogramme und Rhomben konstruieren Kreisbegriffe Winkel am Kreis Theorie und Beweis Ortsbogen Ortsbogenkonstruktion (Fasskreis) Die Sprache in der Geometrie Aufgaben aus dem alten Mathebuch Aufgaben Dreiecke mit Höhen Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien Konstruktionen Ortsbogen Lösungen Ortsbogen Ergänzung zu 4. Bez mathbu.ch Aufgaben zu Geometrischen Örtern Aufgaben zu Dreiecken Aufgaben zu Trapezen Aufgaben zu Rhomben und Drachen Arbeitsblätter Lösungen Arbeitsblätter 31 M9 Geometrielehrgang 1

2 1 Geometrische Grundbegriffe Das Wort Geometrie ist altgriechischen Ursprungs und setzt sich aus den Wörtern geo = Erde und metron = messen zusammen. Die Geometrie war die Wissenschaft, die sich mit dem Vermessen der Erde beschäftigte. Die heutige Geometrie bildet die Grundlage für viele praktische Anwendungen und Wissensgebiete: Landvermessung, Architektur, Maschinenbau, Astronomie Die Geometrie hat die Aufgabe, geometrische Gebilde (Körper, Flächen, Linien und Punkte) zu zeichnen, zu beschreiben, zu berechnen und ihre Gesetzmässigkeiten zu untersuchen. Die Geometrie gliedert sich in die Lehre von den ebenen Figuren (Planimetrie) die Lehre von den Körpern (Stereometrie) die Lehre von den Dreiecken (Trigonometrie) 1.1 Punkte Punkte entstehen durch den Schnitt zweier Linien. Punkte werden mit Grossbuchstaben bezeichnet und haben eigentlich keine Ausdehnung. 1.2 Linien und deren Lagebeziehungen: Linien werden mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Die Lage einer geraden Linie ist durch zwei Punkte genau festgelegt. g A P a B g h p q k 1 P k 2 Q Notiere die Begriffe und Beschreibungen in die zutreffenden Kästchen. Gerade g = AB, Strecke a = AB, beidseitig begrenzt, unendlich lang. g h P, g h p q { }, p q k 1 k 2 P, Q g geschnitten mit h gibt den Schnittpunkt P, g ist senkrecht* zu h, p ist parallel zu q, p geschnitten mit q gibt keinen Schnittpunkt, Kreis 1 geschnitten mit Kreis 2 gibt die Schnittpunkte P und Q. *Beachte: die drei Bezeichnungen senkrecht zu, orthogonal oder senkrecht zu haben alle dieselbe Bedeutung! M9 Geometrielehrgang 2

3 1.3 Flächen und Körper. Ordne die Begriffe durch nummerieren zu! M9 Geometrielehrgang 3

4 2 Dreiecke Beschrifte die Ecken des Dreiecks von unten links im Gegenuhrzeigersinn mit A, B, C. Beschrifte die Winkel mit. Beschrifte die Seiten mit a, b, c. Beachte: Die Seite a ist gegenüber der Ecke A etc.! h c a b h b A Miss die Winkel und die Seitenlängen! = = = a = b = c = Summe der Winkel Umfang 2.1 Dreieckfläche Die Fläche eines Dreiecks lässt sich mit einer Seite und der zugehörigen Höhe berechnen. Die Formel zur Berechnung erhält man, in dem man das Dreieck verdoppelt und in ein Rechteck umwandelt. Die Formel lautet: Die folgenden Dreiecke haben spezielle Eigenschaften: A C E B D A = B = Eigernschaften: Seiten Winkel C = D = E = Eigernschaften: Seiten Winkel M9 Geometrielehrgang 4

5 3 Vierecke Beschrifte die Ecken des Parallelogramms von unten links im Gegenuhrzeigersinn mit A, B, C, D. Zeichne die Diagonalen e = AC und f = BD ein! Beschrifte die Winkel mit. Beschrifte die Seiten mit a, b, c, d. A a h a h b b Miss die Winkel und die Seitenlängen! = = = = Summe der Winkel a = b = c = d = Umfang Notiere die allgemeinen Eigenschaften des Parallelogramms: Seiten Winkel Diagonalen e, f 3.1 Fläche Parallelogramm Die Fläche eines Parallelogramms lässt sich mit einer Seite und der zugehörigen Höhe berechnen. Die Formel zur Berechnung erhält man, in dem man das Parallelogramm zerlegt und in ein Rechteck umwandelt. Die Formel lautet: Die folgenden Vierecke sind spezielle Parallelogramme: A B C A = B = C = Zusätzliche spezielle Eigenschaften: Seiten Winkel Diagonalen e, f Winkel ef M9 Geometrielehrgang 5

6 4 Übersicht Vierecke M9 Geometrielehrgang 6

7 5 Winkelsätze 1. Nebenwinkel ergänzen sich zu Scheitelwinkel sind gleich gross. 3. Stufenwinkel sind gleich gross 4. Wechselwinkel sind gleich gross 5. Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt 180. Der Aussenwinkel eines Dreieckwinkels ist gleich der Summe der beiden anderen Dreieckwinkel. 6 Konstruktion wichtiger Ortslinien und Punkte Mittelsenktrechte Winkelhalbierende A B S Mittelparallele a Thaleskreis b A B M9 Geometrielehrgang 7

8 7 Ortslinien und geometrische Orte Definition: Unter Ortslinien und geometrischen Orten verstehen wir Mengen von Punkten, die eine bestimmte Lagebedingung erfüllen Kreis mit Radius r Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt (M) genau den gleichen Abstand (r) haben Kreis mit Radius r Die Menge aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt (M) höchstens den Abstand (r) haben. Markierung inkl. Kreislinie. Mittelsenkrechte zu AB Mittelsenkrechte Die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Punkten (A und B) genau den gleichen Abstand haben Die Menge aller Punkte, die näher bei B liegen als bei A. Oder: Die Menge aller Punkte, die weiter von A entfernt sind als von B. Die Winkelhalbierenden g, h Winkelhalbierende Die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Geraden, die sich schneiden (A und B) den gleichen Abstand haben Die Menge aller Punkte, die näher bei g liegen als bei h. Oder: Die Menge aller Punkte, die weiter von h entfernt sind als von g. Mittelsenkrechte/Umkreis Der Umkreismittelpunkt M ist der Punkt, der von drei gegebenen Punkten (A, B, C) den gleichen Abstand hat. Winkelhalbierende/Inkreis Der Inkreismittelpunkt O ist der Punkt, der von drei gegebenen Geraden (a, b, c) den gleichen Abstand hat. Die Menge aller Punkte, die von zwei gegebenen Parallelen (p1, p2) genau den gleichen Abstand haben Die Menge aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden (g) mindestens den Abstand a haben Mittelparallele m Parallelenpaar M9 Geometrielehrgang 8

9 7.1 Übungen zu Ortslinien und geometrische Orte Formuliere die passenden Bedingungen! M9 Geometrielehrgang 9

10 7.2 Mittelsenkrechten Umkreis, k (M, r) 7.3 Winkelhalbierende und Inkreis, k (O, ) 7.4 Mittelparallelen und Seitenhalbierenden/Schwerelinien, Schwerpunkt S M9 Geometrielehrgang 10

11 8 Linien im Dreieck Die Mittellinien oder Mittelparallelen oder Schwerelinien M9 Geometrielehrgang 11

12 9 Grundaufgaben Senkrechten und Parallelen So zeichnet man senkrechte Geraden (i h): So zeichnet man parallele Geraden (h g): h P i B h g 1) Zeichne eine Gerade g und einen Punkt A auf g. Zeichne durch A eine Gerade h, die senkrecht zu g ist. Kurz: A g, h g und h g A 2) Zeichne eine Gerade h und einen Punkt B der nicht auf h liegt. Zeichne durch B eine Gerade i, die senkrecht zu h ist. 3) Zeichne eine Gerade g und einen Punkt P der nicht auf g liegt. Zeichne durch P eine Gerade h, die parallel zu g ist. M9 Geometrielehrgang 12

13 10 Parallelogramme und Rhomben konstruieren 4) Ergänze die Figur zu einem Parallelogramm C Lösungsbericht: Kreis um A mit Radius BC Kreis um C mit Radius AB ergibt die Ecke D) A B 5) Gegeben ist die Diagonale AC. Konstruiere einen Rhombus ABCD mit Seitenlänge 4 cm! C Lösungsbericht: Kreis (A, r = 4 cm) Kreis (C, r = 4 cm) ergibt die Ecken B und D A 6) Gegeben ist die Höhe h a = 3 cm eines Parallelogramms und die Seitenlänge a = 3,5 cm und die Seitenlänge b = 4 cm. Zeichne das Parallelogramm! Skizze: Konstruktion Lösungsbericht: Lösungsschritte: Kreis um A mit Radius 4 cm [kurz: k(a, r=4cm)] Parallele zu a mit Abstand 3 cm Seite a = AB zeichnen Kreis um B mit Radius 4 cm [kurz: k(b, r=4cm)] M9 Geometrielehrgang 13

14 11 Kreisbegriffe Tangentenkonstruktion T 2 P M T 1 Konstruiere vom Punkt aus die Tangenten an den Kreis! Markiere die Tangentenabschnitte PT 1 = PT 2 mit Farbe und beschrifte die Tangentenberührpunkte mit T 1 und T 2! M9 Geometrielehrgang 14

15 12 Winkel am Kreis Miss verschiedene Winkel. Male gleich grosse Winkelfelder mit derselben Farbe an! Male auch alle rechtwinkligen Felder mit einer Farbe an (wie Beispiel)! A B Wähle Punkte C x auf der Kreislinie und zeichne weitere Verbindungen zu den beiden Punkten A und B. Miss die Winkel, die bei den Punkten C x entstehen. C 1 M 55 A B M9 Geometrielehrgang 15

16 12.1 Theorie und Beweis Ortsbogen M9 Geometrielehrgang 16

17 12.2 Ortsbogenkonstruktion (Fasskreis) A B Soll der gesuchte Winkel oberhalb der Strecke AB entstehen, so muss der Winkel zuerst auf die andere Seite abgetragen werden. Bild 1 A B Dann wird vom entstandenen Schenkel ein 90 Winkel in die entgegengesetzte Richtung abgetragen. Bild 2 M Durch die Konstruktion der Mittelsenkrechten zur Strecke AB entsteht der Mittelpunkt M des Ortsbogens. A B Bild 3 Nun kann der Ortsbogen konstruiert werden. M A B Bild 4 Aufgabe 1: Die drei Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden g. Konstruiere einen Punkt P, so dass die Strecke AB = 5 cm unter einem Winkel von 60, die Strecke AC = 9 cm unter einem Winkel von 110 erscheint. Aufgabe 2: Von einem Trapez ABCD mit AC = 6 cm ist bekannt, dass der Schnittpunkt der Diagonalen 2 cm von C entfernt ist. Ausserdem sind die Winkel ADS = 70 und SDC = 30 bekannt. Konstruiere das Trapez! Aufgabe 3: Konstruiere ein Dreieck aus Umkreisradius r = 3 cm, = 60, = 45! M9 Geometrielehrgang 17

18 13 Die Sprache in der Geometrie Kurztext Erläuterung a = AB Strecke a durch die Punkte A und B zeichnen A g Punkt A auf der Geraden g wählen k 1 (A, r) Kreis (oder Bogen) um A mit Radius r zeichnen zu a durch P Eine Senkrechte zur Geraden a durch den Punkt P errichten zu a Lot zur Geraden A fällen zu b durch B Eine Parallele zur Geraden b durch den Punkt B zeichnen an g abtr. Winkel an der Geraden g abtragen. Winkel BAC Winkel BAC abtragen. MS zu AB Die Mittelsenkrechte der Seite AB konstruieren w Winkelhalbierende von konstruieren s a Seitenhalbierende von a konstruieren Streifen h c Höhenstreifen h c Konstruieren g k 1 (A, r) A Die Gerade g mit dem Kreis k 1 geschnitten ergibt den Punkt A Diagonale AC Diagonale AC zeichnen Führe folgende Anweisungen aus: 1. Strecke AB = 5 cm, A, B g 2. zu AB durch A und B 3. k 1 (A, 5 cm) k 2 (B, 5 cm) M 4. k 3 (M, 5 cm) 5. Gerade AM k 3 D 6. Gerade BM k 3 E 7. zu AB durch M k 3 C, F Welche Anweisung(en) ist, (sind) überflüssig? g M9 Geometrielehrgang 18

19 14 Aufgaben aus dem alten Mathebuch 14.1 Aufgaben Dreiecke mit Höhen 14.2 Lösungen Dreiecke mit Höhen, Kontrollgrössen M9 Geometrielehrgang 19

20 14.3 Konstruktionen Dreiecke, Umkreis und Inkreis M9 Geometrielehrgang 20

21 14.4 Lösungen Dreiecke, Umkreis und Inkreis M9 Geometrielehrgang 21

22 14.5 Konstruktionen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien 14.6 Lösungen Dreiecke mit Seitenhalbierenden/Schwerelinien M9 Geometrielehrgang 22

23 14.7 Konstruktionen Ortsbogen M9 Geometrielehrgang 23

24 14.8 Lösungen Ortsbogen M9 Geometrielehrgang 24

25 15 Ergänzung zu 4. Bez mathbu.ch 9+ Zusätzliches Aufgabenangebot zum Thema Konstruktive Geometrie Im Folgenden wird eine Auswahl von Aufgaben vorgestellt, die repräsentativ das Anspruchsniveau darstellen sollen, das auf dem Gebiet der konstruktiven Geometrie für eine 4. Klasse der Bezirksschule als angemessen betrachtet wird Aufgaben zu Geometrischen Örtern 1) g = PQ, P( 3.5/ 1), Q(1.5/1.5) Gib die Menge aller Punkte R an, welche von der Geraden g einen Abstand von mindestens 1.2 cm, aber höchstens 2.8 cm haben. 2) Konstruiere die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben, aber auch von C gleich weit entfernt sind wie von D. A(0/3.5); B(4.5/0); C(5.5/2); D(6.5/7) 3) Zeichne einen spitzen Winkel mit den Schenkeln s1 und s2. Konstruiere dann den Punkt P auf der Winkelhalbierenden, der von den Schenkeln den Abstand 1.8 cm hat. 4) Zeichne ein Rechteck mit den Seitenlängen AB = 8.5 cm und BC = 5.0 cm. Markiere dann die Menge aller Punkte P, welche folgende 4 Bedingungen zugleich erfüllen: i) P liegt im Rechteck ABCD ii) AP > BP iii) P liegt näher bei CD als bei CB iv) PC BC 15.2 Aufgaben zu Dreiecken 5) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 7.5 cm, der Höhe h c = 5.1 cm und dem Winkel CAB = α = 56. 6) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 8.1 cm, der Höhe h c = 4.9 cm und dem Winkel BCA = γ = 64. (Ortsbogen!) 7) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 7.9 cm, der Höhe h c = 4.7 cm und der Seitenhalbierenden s a = 4.5 cm. (Mittelparallele!) 8) Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe h c = 5.5 cm, dem Winkel CAB = α = 54 und der Seitenhalbierenden s b = 4.9 cm. M9 Geometrielehrgang 25

26 9) Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ( AC = BC ) aus der Höhe h c = 5.8 cm und dem Winkel BCA = γ = ) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 7.3 cm, dem Radius des Umkreises r = 4.2 cm und der Höhe h c = 4.6 cm. 11) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 6.9 cm, dem Radius des Umkreises r = 4.1 cm und der Höhe h a = 4.0 cm. 12) Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe h c = 4.4 cm, dem Winkel CAB = α = 63 und dem Radius des Umkreises r = 4.1 cm. 13) Konstruiere ein Dreieck aus der Höhe h c = 5.6 cm, dem Winkel CAB = α = 53 und dem Radius des Inkreises ρ = 2.0 cm. 14) Konstruiere ein Dreieck aus dem Winkel CAB = α = 51, dem Winkel ABC = β = 58 und dem Radius des Inkreises ρ = 2.2 cm. 15) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 9.2 cm, dem Winkel CAB = α = 62 und dem Radius des Inkreises ρ = 2.3 cm. 16) Konstruiere ein Dreieck aus der Seite c = AB = 7.5 cm, der Höhe h a = 5.0 cm und der Höhe h c = 4.1 cm Aufgaben zu Trapezen 17) Konstruiere ein Trapez aus den parallelen Seiten a = AB = 9.0 cm und c = CD = 6.2 cm, dem Winkel DAB = α = 61 und dem Winkel ABC = β = ) Konstruiere aus der Seite a = AB = 10.5 cm, der Höhe h = 3.9 cm und der Diagonalen AC = e = 7.8 cm ein Trapez ABCD, dessen Eckpunkt D von A gleich weit entfernt ist wie von C. 19) Konstruiere aus der Mittellinie m = (a+c) / 2 = 8.0 cm, der Diagonalen BD = f = 7.8 cm und der Höhe h = 5.1 cm ein Trapez ABCD, in dem der Winkel ABD gleich gross ist wie der Winkel DBC. 20) Konstruiere ein Trapez aus der Seite a = AB = 10.3 cm, der Höhe h = 4.1 cm, dem Winkel BDA = 90 und der Mittellinie m = 8.5 cm. 21) Konstruiere ein Trapez aus der Seite a = AB = 9.0 cm, der Diagonalen AC = e = 9.9 cm, dem Winkel ABC = β = 84 und dem Winkel CDA = δ = Aufgaben zu Rhomben und Drachen 22) Konstruiere einen Rhombus aus der Diagonalen AC = e = 7.9 cm und dem Winkel ABC = β = ) Konstruiere ein Drachenviereck ABCD aus der Diagonalen AC = e = 10.0 cm (Symmetrieachse!), der Diagonalen BD = f = 5.4 cm und dem Winkel DAB = α = ) Konstruiere ein Drachenviereck ABCD aus der Seite a = AB = 4.1 cm, der Diagonalen BD = f = 6.4 cm und dem Winkel BCD = γ = 48. (AC ist Symmetrieachse) 25) Konstruiere ein Drachenviereck ABCD, das folgende Eigenschaften hat: i) die Diagonale BD teilt die Diagonale AC im Verhältnis 1 : 2 ii) die Diagonale BD ist 6.4 cm lang iii) der Winkel DAB = α ist ein rechter Winkel iv) AC ist Symmetrieachse 26) Konstruiere das Drachenviereck ABCD, für das gilt: i) AC ist Symmetrieachse ii) A ( 3/ 3) iii) P (3/0) liegt auf AC iv) Winkel DAB = α = 50 v) AB = a = 7 cm vi) Inkreisradius ρ = 2.5 cm M9 Geometrielehrgang 26

27 16 Arbeitsblätter M9 Geometrielehrgang 27

28 M9 Geometrielehrgang 28

29 M9 Geometrielehrgang 29

30 M9 Geometrielehrgang 30

31 16.1 Lösungen Arbeitsblätter M9 Geometrielehrgang 31

32 M9 Geometrielehrgang 32