Grundwissen 7 Bereich 1: Terme

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1 Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 T (1) = 6 T (2) = 7 T ( 2) 3 = = 12, S1 m 2 0, A(m) Setzt man die Zahl 5 ein, so entsteht im Nenner die Zahl 0. Durch 0 zu teilen ist aber nicht sinnvoll. Terme umformen 1.3 S1 Die beiden Terme stehen nicht für das Gleiche x = 1 x = x und 21 2 x = 5 2 x Die Werte für x = 10 sind 10 bzw S1 Der Termwert wird immer kleiner, z.b. ist f(1004) = 1000 und f( ) = ,,Kleiner bedeutet weiter links auf der Zahlengeraden. 1.5 S1 a) 3x + 7y (10x 5y) = 7x + 12y b) 5u 3(2v 2u) = 7u 6v c) (x 7)(x + 2) x( 3x 3) = 4x 2 2x 14 d) 3( 1 3x 2y) + xy = 3xy e) x 2 (3 x) 2 = 6x S1 a) u 2 u 3uv = u(u 1 3v) b) 10x 2 y 15xy 2 = 5xy(2x 3y) c) 21a 2 b 2 14a 2 b + 35abc = 7ab(3ab 2a + 5c) Terme aufstellen 1.7 S1 A(x, y) = 4 (x + y) 4 y = 4x

2 Bereich 2: Lineare Gleichungen Gleichungen durch Äquivalenzumformungen lösen 2.1 S1 a) x = 60 b) u = 2 c) x = 4 9 d) hat keine Lösung Man prüft seine gefundene Lösung durch Einsetzen in die linke und die rechte Seite der Ausgangsgleichung. Wenn beides mal das selbe Ergebnis herauskommt, dann stimmt die Lösung. Gleichungen aufstellen 2.2 S1 a) m + j = 26 b) i) Es gibt 12 Mädchen mehr als Jungen. ii) Es gibt doppelt so viele Mädchen wie Jungen. 2.3 S2 Eine Gruppe aus 12 Personen geht in den Zoo. Für jedes Kind müssen 3 e Eintritt bezahlt werden. Die erwachsenen Personen müssen jeweils 7 e bezahlen. Insgesamt musste die Gruppe 52 e bezahlen. Wie viele Kinder waren in der Gruppe? k: Anzahl der Kinder e: Anzahl der Erwachsenen I k + e = Personen II 3k + 7e = Euro Eintritt I k = 12 e II 3(12 e) + 7e = 52 II e = 4 I k = 8 Es waren 8 Kinder in der Gruppe.

3 Bereich 3: Alltagsmathematik Durchschnittswerte und Diagramme 3.1 S1 Durchschnittsnote: 3,2 Notenverteilung Anzahl Note Prozentrechnung 3.2 S1 0, 92 2, 00 e = 1, 94 e 3.3 S1 0, 8x = 79 e x = 98, 75 e S1 828 = 0, % Der Eiffelturm ist ca. 61 % kleiner als Burj Khalifa. 3.5 S1 0, 9 0, 9 0, 9 = 0, 729 = 72, 9% Der Preis ist um 27,1 % gesunken.

4 Bereich 4: Winkelbetrachtungen und besondere Dreiecke/Vierecke Achsen- und punktsymmetrische Figuren: Lösungen 4.1 S1 Begründe oder widerlege: 1. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck. Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß. Somit besitzen zwei gegenüberliegende Winkel Die beiden anderen (sich gegenüberliegenden) Winkel müssen zusammen = betragen. Also besitzen sie je eine Größe von Somit ist das Parallelogramm ein Rechteck! 2. Ein Viereck mit zueinander senkrechten Diagonalen ist eine Raute. Gegenbeispiel: 3. Jedes Quadrat ist eine Raute! Ein Quadrat hat 4 gleich lange Seiten, also ist es eine Raute! Winkelbetrachtungen an Figuren: Lösungen 4.2 S1 Es gilt h 1 h 2 und g 1 g Berechne die bezeichneten Winkel für ϵ = Welche besonderen Vierecke können von den vier Geraden eingeschlossen werden. h1 h2 g1 γ ε δ g2 δ = ϵ = (Scheitelwinkel) δ = = (Gegenüberliegende Winkel im Parallelogramm sind gleich groß!) = = 80 0 ( ist Nebenwinkel zu einem Stufenwinkel zu ) γ = ϵ = 80 0 (γ ist Nebenwinkel zu einem Stufenwinkel zu ϵ)

5 4.3 S1 Berechne und ,5 = ( , 5 0 ) = + ( ) 4.4 S1 Gib die Größe aller bezeichneten Winkel an. 90 γ 40 a γ δ 130 a a b Figur 1: = 90 0 ; γ = 40 0 (jeweils Scheitelwinkel) = = ; δ = = 50 0 jeweils Nebenwinkel Figur 2: = (Wechselwinkel) = = 60 0 (Nebenwinkel) γ = = b Figur 3: Die beiden Geraden links und rechts sind parallel. Wir zeichnen eine weitere Parallele durch den Scheitel des Winkels. Jetzt erkennt man, dass = = und = = 235! Besondere Dreiecke und der Thaleskreis: Lösungen 4.5 S1 Berechne die genannten Winkel. Hinweis: Gleichschenklige Dreiecke δ ε 42 M Wir bezeichnen die Ecken des Dreiecks mit A, B und C. ϵ = (Das Dreieck AMC ist gleichschenklig) Somit ist ϵ = = ( ) : 2 = δ + = 90 0 (Thaleskreis). Somit ist δ = = δ = 21 0 (Das Dreieck MBC ist gleichschenklig)

6 4.6 S2 Begründe: Jedes Rechteck besitzt einen Umkreis. Das Rechteck ABCD besitzt vier rechte Winkel. Also liegen die Ecken B und D auf dem Thaleskreis über [AC]. Der Thaleskreis ist also Umkreis des Rechtecks! Grundwissen 7 Bereich 5: Konstruktionen: Lösungen Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Thaleskreis 5.1 S1 Konstruiere auf der Angabe den Mittelpunkt des gegebenen Kreises! Beschreibe und begründe deine Vorgehensweise! Wähle drei Punkte A, B und C auf dem Kreis. Diese drei Punkte sind vom Mittelpunkt gleich weit entfernt! Konstruiere die Mittelsenkrechte von A und B. Da alle Punkte auf der Mittelsenkrechten von A und B gleich weit entfernt sind muss der Mittelpunkt auf dieser Mittelsenkrechten liegen! Konstruiere jetzt die Mittelsenkrechte von A und C. Da auch alle Punkte auf dieser Mittelsenkrechten von A und C gleich weit entfernt sind muss der Mittelpunkt auch auf dieser Mittelsenkrechten liegen! Somit ist der Mittelpunkt der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten! 5.2 S1/2 Konstruiere auf der Angabe mit Hilfe eines Thaleskreises alle drei Höhen des Dreiecks, miss entsprechende Längen (markiere sie farbig) und berechne den Flächeninhalt des Dreiecks. Beschreibe wie du das Dreieck verändern müsstest damit sich sein Flächeninhalt verdoppelt! Beschreibung der Konstruktion: C A B 1. Konstruiere Thaleskreis K über [AB] 2. Die Schnittpunkte von [AC und [BC mit K sind die Fußpunkte der Höhen h a und h b. 3. Die Höhe h c verläuft durch den Schnittpunkt von h a und h b und den Punkt C.

7 5.3 S1 Gegeben ist ein Dreieck A( 2 3), B(6 1),C(0 5). Konstruiere Um und Inkreismittelpunkt. Inkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Winkelhalbierenden! Umkreismittelpunkt: Schnittpunkt der Mittelsenkrechten! 5.4 S1 Konstruiere 1. einen 60 -Winkel! 2. ein Dreieck mit a = 5 cm, b = 4 cm und = 30 0! (Planfigur, Konstruktionsbeschreibung!) Ist die Lösung eindeutig? Konstruktionsbeschreibung: 1. B, C gegeben durch b 2. A = K(C r = a) (freier Schenkel ) Die Konstruktion ist nicht eindeutig, da der Winkel der kürzeren Seite gegenüber liegt! (Ssw nicht erfüllt)