Grundwissen 7.Jahrgangsstufe Mathematik

Transkript

1 Grundwissen 7.Jahrgangsstufe Mathematik Wissen / Können 1. Figurengeometrie - Achsensymmetrie Eigenschaften Grundkonstruktionen - Konstruktion des Spiegelpunktes - Konstruktion der Symmetrieachse - Punktsymmetrie Eigenschaften Grundkonstruktionen - Konstruktion des Spiegelpunktes - Konstruktion des Zentrums Symmetrische Vierecke Weitere Grundkonstruktionen Winkel Winkel an Geraden und Doppelkreuzungen Winkelsummen Beispiele Jeder Achsenpunkt ist von zwei zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Die Symmetrieachse halbiert die Verbindungsstrecke zweier zueinander symmetrischer Punkte senkrecht. Das Symmetriezentrum halbiert die Strecke zwischen zwei zueinander symmetrischen Punkten. achsensymmetrisch: Drachen, gleichschenkliges Trapez punktsymmetrisch: Parallelogramm achsen- und punktsymmetrisch: Quadrat, Reckteck, Raute Mittelsenkrechte zweier Punkte / einer Strecke Halbierung einer Strecke Lot von einem Punkt auf eine Gerade Lot in einem Punkt einer Gerade Winkelhalbierende Nebenwinkel ergeben zusammen 180 Stufenwinkel sind gleich groß Scheitelwinkel sind gleich groß Wechselwinkel sind gleich groß im Dreieck: 180, im Viereck: 360 im n-eck:. Terme aufstellen und Termwerte berechen Zahlen, Variablen und deren sinnvolle rechnerische Verknüpfung sind mathematische Terme. Terme sind z.b. x, -3x+1, a + 3 T(a) = 7a + 11; a Q

2 Um den Wert eines Terms mit einer Variablen zu berechnen, muss erst eine Zahl aus der Definitionsmenge eingesetzt werden. Enthält ein Term ein und dieselbe Variable an mehreren Stellen, so muss an jeder Stelle derselbe Zahlenwert eingesetzt werden. Enthält ein Term mehrere Variablen, so ist eine Wertetabelle nützlich. Die gegenseitige Abhängigkeit zweier Größen beschreibt man mit Termen. Um diese Abhängigkeit darzustellen gibt es zwei wichtige Methoden: a) das Erstellen von Tabellen T(-,5) = 7 (-,5) + 11 = - 6,5 T(b) = b² + b + 4 T(3) = 3² = 16 T(a; b) = 3a + 5b a b 3 5 T(a;b) y = -3x + 1 x y b) die graphische Darstellung im Koordinatensystem

3 3. Terme und Gleichungen Zwei Terme nennt man äquivalent, wenn jede mögliche Einsetzung bei beiden Termen zum gleichen Ergebnis führt. Formt man Terme entsprechend der folgenden Rechengesetze um, dann erhält man zueinander äquivalente Terme. Für rationale Zahlen a, b und c gelten die: Zusammenfassen: 3a + 4ab a+ 3b 5ab 3b = (3a a) + (4ab 5ab) + (3b 3b ) = a ab Ausmultiplizieren: 4 6 z ( x 3 + 6z ) = xz + 3z 6z Ausklammern: p q + 6 p q = 3 p q ( p + q ) Ausmultiplizieren von Summen: ( x + ) ( x 5) = x 5x + x 10 = x 3x 10 Kommutativ-Gesetze: Assoziativ-Gesetze: a + b = b + a; a + b + c = ( a + b) + c = a + ( b + c) a b c = a ( b c) = ( a b) c Distributiv-Gesetze: Gleichungen a b = b a a ( b + c) = ab + ac; a ( b c) = ab ac ( a ± b ) : c = a : c ± b : c Durch eine Äquivalenzumformung wird eine Gleichung in eine andere Gleichung überführt, ohne dass Lösungen wegfallen oder hinzukommen so lange, bis man die Lösungen ablesen kann. Die Lösungen einer Gleichung ändern sich nicht, wenn man... - auf beiden Seiten die gleiche Zahl (oder den gleichen Term) addiert oder subtrahiert, - beide Seiten mit der gleichen, von Null verschiedenen Zahl multipliziert, - beide Seiten durch die gleiche, von Null verschiedene Zahl dividiert. 0,7x 0,85 =,3 / + 0,85 0,7x 0,85 + 0,85 =,3 + 0,85 0,7x = 3,15 / 10 7x = 31,5 / : 7 x = 4,5 Der zugrunde liegende Sachzusammenhang bestimmt die Zahlen, deren Einsetzen für die Variable in die Gleichung sinnvoll ist. Diese Zahlen

4 bilden die Grundmenge (bzw. Definitionsmenge) der Gleichung. Eine Gleichung heißt - eindeutig lösbar über der Definitionsmenge, falls sie genau eine Lösung besitzt ( Normalfall ) siehe vorangehendes Beispiel - allgemein gültig über der Definitionsmenge, falls alle Zahlen Lösung sind, - nicht lösbar über der Definitionsmenge, falls sie keine Lösung besitzt. x 7 = 3(x+) 4x 13 x 7 = 3x+6 4x 13 x 7 = x 7 0 = 0 (x fällt heraus, Aussage ist wahr) => L = G 3x+6 = x+(x+4) 3x+6 = x+x+8 3x+6 = 3x+8 6 = 8 (x fällt heraus, es ergibt sich ein Widerspruch!) => L = {} 4. Daten, Diagramme und Prozentrechnung - Sammeln und Auswerten von Daten Noten einer Schulaufgabe: 1mal 1, 5mal, 7mal 3, 8mal 4, 3mal 5, 1 mal 6 Notendurchschnitt : d = ( ) : ( ) = 85 : 5 = 3,40 Diagramm : Vertiefung der Prozentrechnung: Rechnen mit verändertem Grundwert 5. Figurengeometrie Der Preis einer Lampe, die 80 kostete, wird zunächst um 0%, der neue Preis danach um 10% erhöht. Was kostet sie jetzt? 80 1, 1,1 = 369,60 Kongruenz Deckungsgleiche Figuren heißen kongruent ( ). Bei kongruenten Figuren sind entsprechende Strecken und Winkel gleich groß. Achsen- oder punktsymmetrische Figuren sind kongruent.

5 Die Kongruenzsätze für Dreiecke sagen aus, unter welchen Voraussetzungen die Form und die Größe eines Dreiecks eindeutig festgelegt ist: SSS-Satz: Drei Seiten legen ein Dreieck fest. (Achtung: Ein Seite ist immer kürzer als die Summe der beiden anderen!) SsW-Satz: Zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite legen ein Dreieck fest. SWS-Satz: Zwei Seiten und ihr Zwischenwinkel legen ein Dreieck fest. WSW- bzw. SWW-Satz: Eine Seite und die beiden anliegenden Winkel legen ein Dreieck fest. (Kennt man Winkel, dann alle 3!) Besondere Dreiecke Besondere Linien im Dreieck a = 7 cm, b = 5,5 cm, c = 9 cm a = 7 cm, b = 5 cm, α = 65 a = 5 cm, c = 8 cm, β = 35 c = 6 cm, α = 43, β = 69 gleichschenkliges Dreieck gleichseitiges Dreieck rechtwinkliges Dreieck, Thaleskreis Höhe Seitenhalbierende (Schnittpunkt = Schwerpunkt) Mittelsenkrechte (Schnittpunkt = Umkreismittelpunkt) Winkelhalbierende (Schnittpunkt = Inkreismittelpunkt) 6. Vertiefen der Algebra Bei komplexen Aufgaben gibt es viele Wege, die zum Ziel führen. Aufgabe: Beate hat 36 km Vorsprung auf Peter. Sie fahren mit dem Fahrrad gleichzeitig los. Beate fährt mit 15 km/h, Peter mit 4 km/h. Nach welcher Zeit holt Peter Beate ein? 1. Weg: Probieren nach 1 h: 36 km + 15 km 4 km = 7 km nach h: 36 km + 30 km 48 km = 18 km nach 3 h: 36 km + 45 km -7 km = 9 km nach 4 h: 36 km + 60 km 96 km = 0 Er holt sie nach 4 h ein.

6 . Weg: Verwendung einer Zeichnung oder eines Diagramms Weg: Invarianzprinzip (Pro Zeiteinheit wird immer der selbe Weg aufgeholt) 4 km - 15 km = 9 km 36 km : 9 km = 4 = er holt sie nach 4 h ein. 4. Weg: Gleichung x = 4x => 9x = 36 => x = 4