MATHEMATIK GRUNDWISSEN 7. KLASSE LESSING-GYMNASIUM NEU-ULM

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1 MATHEMATIK GRUNDWISSEN 7. KLASSE LESSING-GYMNASIUM NEU-ULM

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3 I. ALGEBRA 1. Terme 1.1 Begriff Terme sind sinnvolle Zusammenstellungen aus Zahlen, Platzhaltern (= Variablen), Rechenzeichen und Klammern. Beispiele: a) : 8 4 b) :0,3 c) T x =7 x 3 x 8 d) T a;b =8 a b 5 a b Der Malpunkt vor einer Variablen oder vor einer Klammer darf weggelassen werden. Die Definitionsmenge D eines Terms bilden alle Zahlen aus der Grundmenge G, die beim Einsetzen einen Ausdruck liefern, dessen Wert berechnet werden kann. Beispiele: a) T x = x 4 : x ; G=ℚ; D=ℚ { } b) T x = 5 x 1 x x 9 ; G=ℚ; D=ℚ {0 ; 3 ; 3 } 1. Berechnung von Termwerten Werden die in einem Term auftretenden Variablen durch Zahlen aus der Definitionsmenge ersetzt, so kann der Wert des Terms berechnet werden. Beispiele: a) T a = 4a² 5 a 1 T 3 = = = 36 0 = 16 b) T x ; y = 8xy² x : y T ; 3 = 8 3 : 3 = : 1 = = 148 T 4 ; = 8 4 4: = : 4 = 18 = 16 Tritt in einem Term dieselbe Variable mehrmals auf, so muss für sie dieselbe Zahl eingesetzt werden. Die Art eines Terms wird durch diejenige Rechenart bestimmt, die bei der Berechnung des Termwerts zuletzt ausgeführt wird. Beispielsweise ist der Term T x = x : 4 eine Differenz, da als letzte Rechenart eine Subtraktion ausgeführt wird. 3/3

4 1.3 Aufstellen von Termen Vorgehensweise: (1) Lege die Variable(n) fest () Drücke eventuell weitere Größen durch die Variable(n) aus (3) Suche nach Zusammenhängen oder Gesetzmäßigkeiten (4) Stelle den Term auf Beispiele: a) Vom vierfachen Quadrat einer Zahl wird 18 subtrahiert und das Ergebnis durch die Summe der Zahlen 1 und 15 dividiert. 4 x 18 : 1 15 b) Echternacher Springprozession Bei der Echternacher Springprozession bewegen sich die Teilnehmer rhythmisch jeweils drei Schritte nach vorn und zwei Schritte zurück. Die Schritte nach vorn sind etwas länger als die Schritte zurück. Ermittle, welchen Weg ein Pilger nach 5 Schritten zurückgelegt hat. Vorwärtsschritt: Länge a Rückwärtsschritt: Länge b Summe von 5 Schritten: 3 a b c) Aus einem 1,m langen Draht werden verschiedene Rechtecke geformt. Gib einen Term für den Flächeninhalt der Rechtecke an. Länge des Rechtecks: x Umfang des Rechtecks: x b = 1, m Breite des Rechtecks: b=0,6 m x Flächeninhalt: A x =x 0,6 m x d) n Würfel mit der Kantenlänge a werden so zusammengeklebt, dass ein Quader entsteht. Gib einen Term für die Oberfläche des Quaders an. Länge des Quaders: n a Breite des Quaders: a Höhe des Quaders: a O n; a = 4 na a a = 4na a 4/3

5 e) Eine Telefongesellschaft macht folgende Angebote: A: Bei einer monatlichen Grundgebühr von 4,50 kostet die Gesprächsminute 15 Cent. B: Bei einer monatl. Grundgebühr von 7,50 sind 0 Minuten frei, danach werden 0 Cent pro Minute abgerechnet. Stelle Terme für die Gesamtkosten auf und entscheide, welches Angebot günstiger ist. Aufstellen der Terme: A: T A x =4,50 0,15 x ; x ist die Gesprächsdauer in Minuten; x 0 B: T B x =7,50 0, x 0 ; x 0 T B x =7,50 f. x 0 Wertetabelle: Einsetzen verschiedener Werte für x liefert eine Wertetabelle für beide Terme: x TA(x) 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 1,00 TB(x) 7,50 7,50 7,50 9,50 11,50 13,50 Es zeigt sich, dass Tarif A günstiger ist; die Kosten sind für verschiedene Gesprächsdauern kleiner oder gleich denen von Tarif B. Darstellung in einem Diagramm: Tarif A Die Ergebnisse, die in die Wertetabelle 16 eingetragen wurden, können in einem 14 Diagramm veranschaulicht werden: 1 Alle Punkte, die zu Tarif A gehören, liegen sie sind für x = 0 Minuten identisch), damit zeigt sich wieder, dass Tarif A günstiger ist. 10 Kosten im Diagramm unterhalb derer von B (bzw. Tarif B Gesprächsdauer in Minuten 5/3

6 1.4 Umformung von Termen Äquivalente Terme Zwei Terme heißen äquivalent oder gleichwertig in der Menge G, wenn sie für jede Belegung der Variablen den gleichen Wert liefern. Beispiele: T1(x) = 3(x+5) x und T(x) = x + 15 sind äquivalent in G=ℚ T3(x) = (x+1)² und T4(x) = x² + 1 sind nicht in äquivalent in G=ℚ, da z.b. T3(1) = (1 + 1)² = 4, aber T4(1) = 1²+1 = T5(x;y) = 3x 7(y x) und T6(x;y) = 10x 7y sind äquivalent in G=ℚ T7(a;b) = (a b)² und T8(a;b) = a² + b² sind nicht in äquivalent in G=ℚ, da z.b. T7(1;1) = (1 1)² = 0, aber T8(1;1) = 1² + 1² = 1.4. Zusammenfassen gleichartiger Terme Terme heißen gleichartig, wenn sie dieselben Variablen in jeweils gleicher Potenz besitzen. Beispiele: 5x²y³ und 8x²y³ sind gleichartig, 5x²y und 8xy² sind nicht gleichartig. Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten addiert bzw. subtrahiert. Die Variablen bleiben unverändert. Beispiele: a) 3x 7x x = 6x b) 5a + 3b a 8b = 3a 5b c) x² 4x 6x² 5x = 4x² 9x d) 3,ab² + 8ab a²b 4,5ab 1,7ab² 4a²b = 1,5ab² + 3,5ab 6a²b 6/3

7 1.4.3 Umformen von Produkten a) Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz Kommutativgesetz: a b=b a In einem Produkt dürfen die Faktoren vertauscht werden. Assoziativgesetz: a b c = a b c=a b c In einem Produkt dürfen Klammern gesetzt oder weggelassen werden. Beispiele: a) 3a b ab3 =3 a a b b 3=6 a3 b 4 b) xy 4xy 3x4 = 4 3 x x x 4 y y = 4x 6 y 3 c) 4a b 3 = 4a b 3 4a b3 =4 4 a a b3 b 3=16a 4 b 6 b) Rechenregeln für Potenzen Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis z.b.: x 3 x4 =x7 3 a a =a n 5 m n m a a =a ; a ℚ; n, m ℕ Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten z.b.: x y = x x y y = x y x y = x y a b = a a a b b b = a b n n n a b =a b ; a,b ℚ ; n ℕ Potenzieren von Potenzen z.b.: a 3= a a a =a x = x x =x n m n m a =a 8 ; a ℚ ; n,m ℕ Es gilt ( a)n = an, falls n gerade, a ℚ ( a)n = an, falls n ungerade z.b.: ( )4 = 4 = 16 ; ( )³ = ³ = 8 7/3

8 1.4.4 Auflösen von Klammern Anwendung des Distributivgesetzes: a b c =a b a c ; a,b,c ℚ Beispiele: a) x(3y-4z) = 6xy 8xz b) 7a²(a³ + a 1) = 7a5 + 14a3 7a c) 5ab (a² 3b) = 10 a³b 15ab² d) 4x(x 7 + 3y) = 8x² + 8x 1xy Speziell gilt: Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, so kann die Klammer weggelassen werden: a + (b + c) = a + b + c a + (b c) = a + b c Beispiele: a) 4a + (5b 3a) = 4a + 5b 3a = a + 5b b) x + (4y 8x) = x + 4y 8x = 4y 6x Wegen a b c =a 1 b c =a b c =a b c gilt: Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in der Klammer geändert werden: a (b + c) = a b c a (b c) = a b + c ; a,b, c ℚ Beispiele: a) 3x (x + 5y) = 3x x 5y = x 5y b) 8a (6a 7b) = 8a 6a + 7b = a + 7b c) a(a 3b) 3b(a b) = a² 6ab 6ba + 3b² = a² 1ab + 3b² d) 3x(5x (x + 4y)) y(y 6x) = 3x(5x x 4y) y² + 1xy = 3x(3x 4y) y² + 1xy = 9x² 1xy y² + 1xy = 9x² y² 8/3

9 1.4.5 Multiplizieren von Summen Anwendung des Distributivgesetzes a c d =a c a d liefert: (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd ; a,b, c,d ℚ Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem Glied der zweiten Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen multipliziert und die Produkte addiert. Beispiele: a) (x + 3y)(3x 5y) = 6x² 10xy + 9xy 15y² = 6x² xy 15y² b) (4a b)(a 3b) = 4a² 1ab ab + 6b² = 4a² 14ab + 6b² c) (x )(x + 3)(x 1) = (x² + 3x x 6)(x 1) = (x² + x 6)(x 1) = = x³ x² + x² x 1x +6 = x³ + x² 13x + 6 Durch Ausmultiplizieren ergeben sich die nützlichen Binomischen Formeln: (a + b)² = a² + ab + b² (a b)² = a² ab + b² (a + b)(a b) = a² b² ; a,b ℚ Beispiele: a) (x² + 3y)² = 4x4 + 1x²y + 9y² b) (4a 5b)² = 16a² 40ab + 5b² c) (8r + 3s)(8r 3s) = 64r² 9s² Faktorisieren von Termen Die Umformung einer Summe in ein Produkt bezeichnet man als Faktorisieren. Enthält in einer Summe jeder Summand den gleichen Faktor, so kann dieser gemeinsame Faktor ausgeklammert werden: a b a c=a b c Distributivgesetz Beispiele: a) 8x + 1y = 4(x + 3y) b) x²y 4xy² = xy(x y) c) 3ab² ab = ab(3b 1) d) 4a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(4a + 3b) e) a(x y) + b(y x) = a(x y) b(x y) = (x y)(a b) Zum Faktorisieren von Termen ist neben dem Ausklammern häufig die Anwendung der binomischen Formeln erforderlich. Beispiele: a) 4a² + 4ab + b² = (a + b)² b) 5x² 16y² = (5x 4y)(5x + 4y) c) 64x² 16x + 1 = (8x 1)² d) 3a² 6ab + 3b² = 3(a² ab + b²) = 3(a b)² e) 18x4 x² = x²(9x² 1) = x²(3x 1)(3x + 1) f) 8x5y 4x³y² + 18xy³ = xy(4x4 1x²y + 9y²) = xy (x² 3y)² g) 7a4b 18a²b³ = 18a²b(4a² b²) = 18a²b(a b)(a + b) 9/3

10 . Lineare Gleichungen.1 Äquivalenzumformungen von Gleichungen Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen. z.b.: Die Gleichungen x + 7 = 1 und x 3 = 7 sind äquivalent, da in der Grundmenge G=ℚ beide die Lösungsmenge L = {5} besitzen. Ändert sich bei einer Umformung einer Gleichung die Lösungsmenge nicht, so liegt eine Äquivalenzumformung vor. Eine Äquivalenzumformung liegt vor, wenn man (1) auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl oder denselben Term addiert oder subtrahiert, () beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl 0 multipliziert oder durch dieselbe Zahl 0 dividiert.. Lösen von linearen Gleichungen Vorgehensweise: (1) Vereinfache beide Seiten so weit wie möglich (Klammern ausmultiplizieren, gleichartige Terme zusammenfassen!) () Führe Äquivalenzumformungen durch, so dass auf einer Seite nur ein Term mit x und auf der anderen Seite kein x steht. (3) Bestimme x durch geeignete Division oder Multiplikation. (4) Gib die Lösungsmenge L an. Beispiele: a) 3x 1 = x 3 x x 1 = x 9 : = x ; G=ℚ = 4,5 L = { 4,5 } b) 8x 3(5 x)= 6(x + 3) 9 ; G=ℚ 8x x = 1x x 15 = 1x + 9 1x x 15 = x = 4 x = 1 : L = {1} 10/3

11 c) (x 4)² G=ℚ = (x + 5)(x 6) + 35 ; (x² 8x + 16) = x² 1x + 5x x² 16x + 3 = x² 7x + 5 x² 16x + 3 = 7x x 9x + 3 = 5 3 9x = 7 x = 3 : ( 9) L = {3} 1 1 G=ℚ d) 1 x 3 x = 0 ; 3 x 3x 1 = 0 3 4x = 0 3 4x = 3 : 4 3 x= 4 3 L= 4 {} e) G=ℚ x(x + 3) + = (x + 4)(x 1) + 6 ; x² + 3x + = x² x + 4x x² + 3x + = x² + 3x + 3x + = 3x + = x² 3x L = ℚ Eine Gleichung mit L=ℚ heißt allgemeingültig in der Grundmenge G. f) (x )(x + 6) = x(x + 4) + ; G=ℚ x² + 6x x 1 = x² + 4x + x² + 4x 1 = x² + 4x + x² 4x 1 = 4x + 4x 1 = L = {} Eine Gleichung mit L = { } heißt unerfüllbar. 11/3

12 .3 Bearbeitung von Anwendungsaufgaben Vorgehensweise: (1) Variable (z.b. x) festlegen, evtl. andere Größen durch diese Variable ausdrücken () Gleichung aufstellen (3) Gleichung lösen (4) Anhand der Aufgabenstellung überprüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist (5) Antwort formulieren Beispiele: a) Der Umfang eines Rechtecks, dessen Breite um 6cm kleiner ist als die Länge, beträgt 60cm. Wie lang und wie breit ist das Rechteck? Länge in cm: x Breite in cm: x 6 (x + x 6) = 60 4x 1 = x = 7 :4 x = 18 (Länge in cm) => Breite in cm: x 6 = 18 6 = 1 Das Rechteck ist 18cm lang und 1cm breit. b) Die Summe von drei Zahlen, von denen die zweite um 7 kleiner ist als die erste und die dritte dreimal so groß wie die zweite ist, ist Zahl: x. Zahl: x 7 3. Zahl: 3 x 7 Summe: x + x x 7 = 11 x 7 + 3x 1 = 11 5x 8 = 11 5x = :5 x = 8 (1. Zahl) =>. Zahl: x 7 = 8 7 = 1; => 3. Zahl: 3 x 7 =3 8 7 =3 1=63 Die erste Zahl ist 8, die zweite 1 und die dritte 63. c) Eine 4-köpfige Familie ist zusammen 140 Jahre alt. Der Sohn ist halb so alt wie die Mutter, die 5 Jahre jünger als der Vater ist. Die Tochter ist 3 Jahre jünger als ihr Bruder. Wie alt sind die Mitglieder der Familie? Alter des Sohnes: x Alter der Mutter: x Alter des Vaters: x + 5 Alter der Tochter: x 3 Summe: x + x + x x 3 = 140 6x + = 140 6x x = 138 : 6 = 3 (Sohn) => Mutter: 3=46 => Vater: 3 5=51 => Tochter: 3 3 = 0 Der Sohn ist 3 Jahre, die Tochter 0 Jahre, die Mutter 46 Jahre und der Vater 51 Jahre alt. 1/3

13 II. Daten, Diagramme und Prozentrechnung 1. Diagramme Zur grafischen Darstellung von Daten können verschiedene Diagramme verwendet werden Säulendiagramm Anzahl 7 z.b. Notenverteilung einer Schulaufgabe Note 1. Balkendiagramm z.b.: täglicher Wasserverbrauch pro Person in Deutschland Baden/Duschen Toilettenspülung Kochen/Trinken Sonstiges 1.3 Kreisdiagramm Wäsche w aschen LINKE 76 GRÜNE 68 z.b.: Sitzverteilung im Bundestag CDU/CSU 39 FDP 93 SPD Liniendiagramm z.b. Temperaturverlauf während eines Tages Temperatur in C Zeit 13/3

14 . Das arithmetische Mittel Den Mittelwert (das arithmetische Mittel) x einer Menge von Zahlen x1, x,, xn erhält man, indem man die Summe der Zahlen durch ihre Anzahl dividiert. x= x 1 x x n n Beispiel: Notendurchschnitt bei einer Schulaufgabe Note Anzahl Durchschnittswert: = = 3, Prozentrechnung Grundgleichung der Prozentrechnung: Prozentsatz Grundwert = Prozentwert Beispiele: a) 3% von 75kg = 0,03 75 kg =,5kg b) Der Eintrittpreis für das Freibad wurde um 30 Cent auf,70 erhöht. Um wie viel Prozent wurde der Preis erhöht? Grundwert:,40 Prozentwert: 0,30 Prozentsatz = Prozentwert 0,30 = = 0,15 = 1,5 % Grundwert,40 Der Eintrittspreis wurde um 1,5% erhöht. c) Die Miete einer Wohnung wurde um 4% auf 780 erhöht. Wie hoch war die Miete vorher? 104% von x =780 1,04 x=780 x= :1, =750 1,04 Die Miete betrug vorher /3

15 III. Geometrie 1. Symmetrie 1.1 Achsensymmetrie Definition: Lässt sich eine Figur so falten, dass beide Teile zur Deckung kommen, so heißt diese achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse. Zwei Figuren, die durch Spiegelung an einer Achse a ineinander übergehen, heißen achsensymmetrisch bezüglich der Achse a Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte A und A steht immer senkrecht auf der Achse a. Sie wird von dieser stets rechtwinklig halbiert. Zueinander symmetrische Winkel bzw. Strecken sind gleich groß. Der Umlaufsinn der Winkel verändert sich. Punkte auf der Achse heißen Fixpunkte. Nur diese Punkte haben von dem Punkt A und dem Bildpunkt A' die gleiche Entfernung. Zueinander symmetrische Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse oder sind zu ihr parallel Konstruktion von Spiegelpunkten und Symmetrieachse a) Konstruktion zueinander symmetrischer Punkte Geg.: P, a Ges: P' Konstruktion: Auswahl eines beliebigen Achsenpunktes A. Kreis k A um A durch P. Auswahl eines zweiten Achsenpunktes B. Kreis kb um B durch P. k A k B={P '} b) Konstruktion der Symmetrieachse Geg.: P, P' Ges.: a Konstruktion: Kreis um P mit Radius r > 0,5 PP '. Kreis um P' mit demselben Radius. Die Schnittpunkte der Kreise legen die Achse a fest. 15/3

16 1.1.3 Grundkonstruktionen a) Mittelsenkrechte einer Strecke Konstruiere die Symmetrieachse zu den beiden Endpunkten A und B der Strecke. b) Ein Lot errichten Geg.: Gerade g, Punkt P g. Konstruktionsbeschreibung: Finde zwei Punkte A und B auf g, die von P den gleichen Abstand haben: Kreis um P, dieser schneidet g in A und B. Konstruiere die Symmetrieachse a zu diesen beiden Punkten. a ist das Lot zu g: g a c) Ein Lot fällen Geg.: Gerade g, Punkt P g. Konstruktionsbeschreibung: Kreis um P schneidet g in A und B. Konstruiere die Symmetrieachse zu den Punkten A und B. d) Winkelhalbierende Geg.: Winkel α Konstruktionsbeschreibung: Finde zwei Punkte A und B auf den Schenkeln, die vom Scheitel S den gleichen Abstand haben: Kreis um S. Konstruiere die Symmetrieachse w zu diesen beiden Punkten. w ist die Winkelhalbierende von α. Beachte: S muss natürlich Fixpunkt sein, d.h. auf der Winkelhalbierenden w liegen. e) Konstruktion einer Parallelen Geg.: Gerade g und Punkt P Konstruktionsbeschreibung: Fälle das Lot l von P auf g Errichte das Lot h zu l in P h ist die Parallele zu g durch P 16/3

17 1. Punktsymmetrie Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn man sie so um 180 um einen Punkt Z (Symmetriezentrum) drehen kann, dass diese mit sich selbst zur Deckung kommt. Zwei Figuren heißen punktsymmetrisch zum Zentrum Z, wenn sie durch Drehung um 180 um den Punkt Z ineinander überführt werden können. Dieser Drehung um 180 entspricht eine Punktspiegelung an einem Punkt Z (Spiegelzentrum) Eigenschaften punktsymmetrischer Figuren Punkt, Bildpunkt und Zentrum liegen auf einer Geraden. P Q' Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um Z. Zueinander punktsymmetrische Strecken/Halbgeraden/ Geraden sind parallel Zueinander symmetrische Strecken gleich lang. R' R Z Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß und haben Q denselben Umlaufsinn. P' 1.. Konstruktionen zur Punktsymmetrie a) Konstruktion des Bildpunktes Geg.: P, Z Ges.: P' Konstruktion: Gerade PZ Kreis k(z; r = PZ ) PZ k ={P '} b) Konstruktion des Symmetriezentrums Geg.: P, P' Ges.: Z Konstruktion: Konstruiere die Symmetrieachse m von P und P' m PP'={Z} 17/3

18 1.3 Symmetrische Vierecke Gleichschenkliges Trapez - Achsensymmetrie - Diagonalen gleich lang Drachenviereck - eine Symmetrieachse - Diagonalen stehen senkrecht aufeinander Rechteck - vier rechte Winkel - zwei Symmetrieachsen - Punktsymmetrie - Diagonalen halbieren sich Parallelogramm - Punktsymmetrie - gegenüberliegende Seiten gleich lang - Diagonalen halbieren sich Raute - alle Seiten gleich lang - Punkt- und Achsensymmetrie - Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander Quadrat - vier Symmetrieachsen 18/3

19 . Winkelbetrachtungen.1 Winkel an Geradenkreuzungen α und β heißen Nebenwinkel. Nebenwinkel haben einen Schenkel gemeinsam und ergänzen sich zu 180 : α + β= 180 α und γ heißen Scheitelwinkel. Scheitelwinkel haben nur den Scheitel gemeinsam und sind gleich groß.. Winkel an Doppelkreuzungen Stufenwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = α). Sind an einer Doppelkreuzung die Stufenwinkel gleich groß, so sind die entsprechenden Geraden parallel. Wechselwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = γ). Sind an einer Doppelkreuzung die Wechselwinkel gleich groß, so sind die entsprechenden Geraden parallel..3 Winkelsumme im Dreieck α, β und γ heißen die Innenwinkel des Dreiecks ABC. α*, β* und γ* heißen die Außenwinkel des Dreiecks ABC. Es gilt: Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt stets 180. Die Summe der Außenwinkel an einem Dreieck beträgt stets Winkelsumme im Vieleck Die Winkelsumme im 4-Eck beträgt 360. Die Winkelsumme im 5-Eck beträgt Die Winkelsumme im n-eck beträgt (n ) /3

20 3. Besondere Linien im Dreieck 3.1 Mittelsenkrechte und Umkreis Auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen alle Punkte, die von A und B die gleiche Entfernung besitzen. Die Mittelsenkrechten halbieren die Seiten des Dreiecks rechtwinklig. Sie schneiden sich im Mittelpunkt U des Umkreises, dem Umkreismittelpunkt. 3. Winkelhalbierende Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden Geraden gleichen Abstand hat. Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt I. 3.3 Höhen Fällt man ein Lot von einer Ecke des Dreiecks auf die gegenüberliegende Seite, so erhält man eine Höhe des Dreiecks. Alle drei Höhen (oder deren Verlängerungen außerhalb des Dreiecks) schneiden sich im Höhenschnittpunkt H. 3.4 Seitenhalbierende Die Seitenhalbierende verbindet die Seitenmitte mit der gegenüberliegenden Ecke. Alle Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks. 0/3

21 4. Kongruenz und Dreiecke 4.1 Kongruente Figuren Definition: Zwei deckungsgleiche Figuren F1 und F nennt man kongruent. Man schreibt F1 F. Kongruente Figuren stimmen in Form und Größe überein. Beispiel: A 1 B1 C1 A B C 4. Kongruenzsätze Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie: - in allen drei Seiten (sss), - in zwei Seiten und dem dazwischen liegenden Winkel (sws), - in zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite (wsw), - in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw) übereinstimmen. Es gilt: Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar, wenn drei einem Kongruenzsatz entsprechende Stücke gegeben sind. 4.3 Besondere Dreiecke Das gleichschenklige Dreieck Gleichschenklige Dreiecke - haben zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und eine Basis. - haben zwei gleich große Winkel (Basiswinkel) und einen Winkel an der Spitze. - sind achsensymmetrisch, d.h. die Höhe auf die Basis halbiert diese Das gleichseitige Dreieck Gleichseitige Dreiecke - haben drei gleich lange Seiten. - haben drei gleich große Winkel (60 ). - haben drei Symmetrieachsen, die sich alle in einem Punkt schneiden. 1/3

22 4.3.3 Das rechtwinklige Dreieck Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck. - Der rechte Winkel ist stets der größte Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck. - Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse, - die dem rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man die Katheten. 4.4 Satz des Thales Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB] liegt. 4.5 Kreis und Gerade Bezeichnungen Definition: - Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt B (Berührpunkt). - Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten A und B. - Die Strecke [AB] heißt Sehne. - Eine Passante schneidet den Kreis in keinem Punkt Tangentenkonstruktionen a) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P k Die Tangente steht senkrecht auf dem Kreisradius. Deshalb: Errichte in P ein Lot auf MP. /3

23 b) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P k Konstruiere den Thaleskreis kt über [MP]. k k T ={B1,B} 4.6 Dreieckskonstruktionen Bei der Konstruktion von Dreiecken wird üblicherweise nach folgendem Schema vorgegangen: 1. Zeichne zuerst eine Planfigur (Skizze), in der die gegebenen Angaben farbig markiert werden.. Nach Überlegung anhand der Planfigur erstellt man einen Konstruktionsplan, in welchem die einzelnen Konstruktionsschritte genau aufgegliedert sind. 3. Zuletzt führt man die Konstruktion mit Hilfe des Konstruktionsplanes in Originalgröße nur mit Zirkel und Lineal durch. Beispiel: Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 4,5 cm, c = 7cm und hc = 4cm Planfigur: Konstruktionsplan: A und B sind durch AB=7cm gegeben. C liegt 1. auf der Parallelen zu AB im Abstand hc = 4cm. auf dem Kreis k um B mit Radius a Zwei Lösungen! Konstruktion: 3/3