Basiswissen 7. Klasse

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1 Basiswissen 7. Klasse 1. Achsen- und Punktsymmetrie Zueinander symmetrische Punkte können durch Kongruenzabbildungen (= Abbildungen, bei denen Form und Größe von Figuren gleich bleiben) aufeinander abgebildet werden. Achsen- und Punktspiegelung sind solche Kongruenzabbildungen (auch: Drehung und Verschiebung). Achsensymmetrie: Wird ein Punkt P einer Figur an einer Symmetrieachse a gespiegelt wird, entsteht der Punkt P. Die Strecke [PP ] wird durch die Symmetrieachse senkrecht halbiert. In zueinander achsensymmetrischen Figuren bleiben Größen entsprechender Winkel und Längen entsprechender Strecken gleich groß. Die Orientierung, also der Umlaufsinn von Figuren und der Drehsinn von Winkeln, ist entgegengesetzt. Alle Punkte, die von P denselben Abstand haben wie von P, liegen auf der Symmetrieachse a von P und P. Achsensymmetrie: Konstruktion des Bildpunktes: Konstruktionsbeschreibung: 1. Wähle auf der Symmetrieachse a zwei beliebige Punke A und B. 2. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 jeweils um die Punkte A und B, die beide durch den zu spiegelnden gewählten Punkt P verlaufen. 3. Die Kreislinien k1 und k2 schneiden sich dann im Punkt P und im Bildpunkt P. k2 k1 1 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

2 Konstruktion der Symmetrieachse: Konstruktionsbeschreibung: g k1 S1 S2 a k2 1. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 mit demselben Radius jeweils um die Punkte A und B. Der Radius muss groß genug sein, so dass sich die Kreislinien schneiden. 2. Die Symmetrieachse a verläuft durch die Schnittpunke S1 und S2 der Kreise und ist senkrecht zur Geraden g, die durch die Punkte A und B geht. Punktsymmetrie: Halbiert das Symmetriezentrum Z die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten, so liegen diese punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum Z. In zueinander punktsymmetrischen Figuren bleiben Größen entsprechender Winkel und Längen entsprechender Strecken gleich groß. Außerdem werden Strecken auf dazu parallele Bildstrecken abgebildet (z.b. [AB] [A B ]). Die Orientierung, also der Umlaufsinn von Figuren und der Drehsinn von Winkeln, ist gleich. Punktsymmetrie: 2 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

3 Konstrunktion des Bildpunktes: a Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichne einen Kreis k um Z mit dem Radius r = ZP. 2. Zeichne eine Gerade a durch P und Z. 3. Der Schnittpunkt von k mit a ist der Bildpunkt P von P. k Konstruktion des Symmetriezentrums Konstruktion des Mittelpunkts einer Strecke: k2 Konstruktionsbeschreibung: k1 S1 g 1. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 mit gleichem Radius um A und B. 2. Die Schnittpunke S1 und S2 bestimmen die Gerade g. 3. Der Schnittpunkt von g mit der Geraden AB ist Z. Z ist der Mittelpunkt von [AB]. S2 2. Symmetrische Vierecke Gleichschenkliges Trapez: Basis - zwei zueinander parallele Seiten (= Basen) - zwei Seiten sind gleich lang (= Schenkel) - eine Symmetrieachse = Mittelsenkrechte - zwei Paare gleich großer Winkel (Winkel an derselben Basis sind gleich groß) - Winkel an den Schenkeln ergeben zusammen 180 Schenkel Basis. Schenkel 3 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

4 Parallelogramm: - punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt Z - Diagonalen halbieren sich gegenseitig - gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel - gegenüberliegende Winkel sind gleich groß - benachbarte Winkel ergeben zusammen 180 Z. Rechteck: - zwei Symmetrieachsen (jeweils die Mittelsenkrechten der Seiten) - punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt - Diagonalen stehen senkrecht aufeinander - gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel - vier rechte Winkel Das Rechteck ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Trapezes bzw. des Parallelogramms.. Drachenviereck: - eine Symmetrieachse (eine der beiden Diagonalen) - zwei Paare gleich langer Seiten - ein Paar gleich großer Winkel Raute: - zwei Symmetrieachsen (die beiden Diagonalen) - punktsymmetrisch zum Diagonalenschnittpunkt - vier gleich lange Seiten - Diagonalen stehen senkrecht aufeinander - gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander - gegenüberliegende Winkel sind gleich groß Die Raute ist ein besonderes Drachenviereck bzw. ein besonderes Parallelogramm... Z 4 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

5 Quadrat: - vier Symmetrieachsen (Diagonalen/Mittelsenkrechten der Seiten) - punktsymmetrisch zum Mittelpunkt Z - vier gleich lange Seiten - gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander - vier rechte Winkel Quadrat ist ein Sonderfall aller genannten Vierecksarten. Z. 3. Grundkonstruktionen Konstruktion des Mittelpunkts einer Strecke [AB]: Konstruktionsbeschreibung: h 1. Zeichne zwei Kreise k1 und k2 mit gleichem Radius um A und B. 2. Die Kreise k1 und k2 schneiden sich in den Punkten S1 und S2. 3. Der Schnittpunkt der Geraden g = S1S2 mit der Strecke [AB] ist der gesuchte Mittelpunkt Z der Strecke [AB]. Begründung: Die Gerade g ist die Mittelsenkrechte der Strecke [AB]. Konstruktion der Winkelhalbierenden des Winkels α: Konstruktionsbeschreibung: 1.Zeichne einen Kreis k um S. Dieser schneidet die beiden Schenkel in den Punkten P und P, die vom Scheitel S gleich weit weg sind. 2.Konstruiere die Symmetrieachse a zu P und P. Diese Symmetrieachse a ist gleichzeitig die Winkelhalbierende ω α. 5 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

6 Begründung: Die Symmetrieachse a verläuft durch den Scheitel S des Winkels, da S vom Punkt P und vom Bildpunkt P gleich weit entfernt ist. Folglich wird der Winkel α von der Symmetrieachse halbiert und es enstehen zwei gleich große Winkel. Lot (= Senkrechte) von P auf eine Gerade g errichten: g a P P Konstruktionsbeschreibung: P liegt nicht auf der Geraden g 1. Konstruiere den zu P bezüglich g symmetrisch gelegenen Punkt P. 2. Folglich ist die Gerade a die gesuchte Senkrechte. k1 k2 Begründung: Die Symmetrieachse a halbiert die Strecke [PP ] senkrecht. Deshalb ist die Gerade a die Senkrechte zur Geraden g durch den Punkt P. Lot (= Senkrechte) zu einer Geraden g im Punkt P fällen: a Konstruktionsbeschreibung: g k P liegt auf der Geraden g 1. Konstruiere zwei Punkte A und B auf der Geraden g, die vom Punkt P gleich weit entfernt sind. (Kreis k um P schneidet g in A und B) 2. Konstruiere die Symmetrieachse a zu A und B. 3. a ist dann das gewünschte Lot zu g. Begründung: Die Mittelsenkrechte zur Strecke [AB] halbiert diese senkrecht im Mittelpunkt P. Folglich ist die Symmetrieachse a die Senkrechte zu g durch den Punkt P. k1 k2 6 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

7 Tangente an einen Kreis k im Punkt P: Konstruktionsbeschreibung: k k2. a k3 g 1. P liegt auf dem Kreis k. 2. Errichte das Lot auf MP im Punkt P. 3. Das Lot auf MP berührt die Kreislinie k1 im Punkt P und ist die gesuchte Tangente. Begründung: Berührt eine Gerade oder eine Strecke einen Kreis so stehen diese und die Gerade durch den Kreismittelpunkt und den Berührpunkt senkrecht aufeinander. Jede Tangente steht senkrecht auf dem Radius im Berührpunkt. 4. Entdeckungen an Geraden- und Doppelkreuzungen Erklärung Geradenkreuzung: Schneiden sich zwei Geraden, so spricht man von einer Geradenkreuzung. Dabei ergeben die Nebenwinkel zusammen immer 180 und die Scheitelwinkel sind gleich groß. Erklärung Doppelkreuzung: Werden zwei Geraden von einer weiteren Geraden geschnitten, so entsteht eine Doppelkreuzung. Stufenwinkel (F-Winkel): Wir betrachten Doppelkreuzungen mit zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Gerade geschnitten werden. Sie haben dieselbe Lage bezüglich der Parallelen und der schneidenden Geraden. Somit sind sie die Winkel, die ein F einschließen. 7 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

8 g h Sind g und h parallel, dann sind die Stufenwinkel gleich groß. Hier α = α ', β=β', γ =γ ', δ =δ'. (Paare von Stufenwinkeln haben dieselbe Farbe) Wechselwinkel (Z-Winkel): Sie haben eine entgegengesetzte Lage zu den Parallelen und schneidenden Geraden. Somit sind sie die Winkel, die ein Z einschließen. g h g h (Paare von Wechselwinkeln haben dieselbe Farbe) Sind g und h parallel, dann sind die Wechselwinkel gleich groß. Hier α = γ ', β=δ', γ =α', δ =β'. 8 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

9 4. Entdeckungen an Dreiecken und Vierecken Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 180. α + β + γ = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Vierecks beträgt immer 360. α + β + γ + δ = Terme aufstellen und Termwerte berechnen Definition Terme: Terme sind sinnvolle Verknüpfungen von Zahlen und Variablen. Beispiele: 7, x, 5a, 11b - 2, 11a - 3b, (3d 12f) 2 Berechnung des Werts eines Terms: Einsetzen einer Zahl aus der Definitionsmenge anstelle der Variable. Beispiele: T(a) = 4a - 1; a aus Q T(-1,5) = 4 (-1,5) - 1 = -7 T(a) = 3a 2-4a; a aus Q T(2,5) = 3 (2,5) 2-4 2,5 = 8,75 9 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

10 Hängt der Term von verschiedenen Variablen ab, so müssen die dazugehörigen Zahlen jeweils eingesetzt werden. Beispiel: T(a;b) = 4a + 9b - 1; a und b aus Q T(-1,5;2) = 4 (-1,5) = 11 Beachte: Das Malzeichen darfst du zwischen Zahlen und Variablen weglassen, jedoch nicht zwischen Zahlen. Beispiele: , 2 x + 4 y = 2x + 4y Tipp: Oft ist es auch hilfreich eine Tabelle anzulegen, vor allem dann, wenn man mehrere verschiedene Zahlen für die Variable/n einsetzen möchte. Beispiel: T(a;b) = 2a - 1b; a und b aus Q a b T(a;b) Abhängigkeiten beschreiben und berechnen Darstellung von Abhängigkeiten: Man kann Abhängigkeiten mithilfe einer Tabelle oder durch eine Graphik im Koordinatensystem darstellen. 1. Beachte: Welche Zahlen in einen Term eingesetzt werden dürfen, hängt von der Definitionsmenge und vom sinnvollen Bezug zum Sachverhalt ab. Beispiel: T1(a) = /D 2 3a 9 In diesem Fall, darf für a die Zahl 3 nicht eingesetzt werden, da der Nenner 0 werden würde. Durch 0 darf nämlich nie dividiert werden. 2 Probe: T1(3) = = = 2 0 /D = \ 3 { } Beispiel: T2(m) = 3 m + 2; m = Anzahl an Monate Diese Funktion beschreibt das Mäusewachstum im Haus der Maiers unter günstigen Bedingungen. 2 Mäuse sind von Anfang an im Haus. Nach der Zeit m hat sich die Mäusepopulation auf 3 m + 2 vergrößert. 10 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

11 In diesem Fall machen negative Einsetzungen für m (m < 0) keinen Sinn, da es keine negativen Monate und auch keinen negativen Mäusebestand gibt. In diesem Sachverhalt sind somit negative Zahlen auszuschließen. oder 2. Beachte: Aufgrund des Aufbaus eines Terms kann man oft schon allgemeine Aussagen treffen. Beispiele: T1(a) = 2 3a 9 Anhand des Terms T1 lässt sich feststellen, dass der Nenner immer größer wird je größer a ist, der Zähler jedoch konstant bleibt. Somit müssen die Termwerte immer kleiner werden. T2(m) = 3 m + 2 /D = + /D = Anhand des Terms T2 lässt sich feststellen, dass die Termwerte größer werden, wenn m größer wird. Wertetabelle T1(a) = T2(m) = 3 m Grafiken: 2 3a 9 11 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

12 7. Daten und Diagramme Säulen- und Balkendiagramme: Dienen zur klaren Gegenüberstellung von Daten und zur Erkennung von Veränderungen. Das Säulen- und Balkendiagramm zeigen den jährlichen Heizölverbrauch in Litern eines Zwei-Personenhaushalts von 2009 bis Verbrauch in Litern Jahr Säulendiagramm Jahr Balkendiagramm 12 Basiswissen 7. Klasse David Jobst Verbrauch in Litern

13 Kreisdiagramme, Prozentstreifen und Symbole: Dienen zur klaren Darstellung der Verteilung innerhalb einer Gesamtmenge. Die Flächeninhalte im Diagramm entsprechen den Datenwerten. Das Kreisdiagramm und die Prozentstreifen zeigen den Anteil der Tierarten auf einer Wiese. Heuschrecken Käfer Fliegen Flöhe Mäuse Kreisdiagramm Heuschrecken Käfer Fliegen Flöhe Mäuse 100% 75% 50% 25% 0% Prozentstreifen (= Flächeninhalte entsprechen prozentual den dargestellten Werten) 13 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

14 Symbole (z.b. je größer die Sonne, desto wärmer ist es) Liniendiagramme: Dienen zur Erkennung von Veränderungen. Das Liniendiagramm zeigt den Wasserbrauch in Litern einer Person pro Tag in ihrer Wohnung. Liter 70,0 52,5 35,0 17, Liniendiagramm Tage Beachte: Die Gestaltung der Diagramme nimmt Einfluss auf unsere Wahrnehmung und kann diese verzerren: - bei nicht gleichmäßig unterteilten Achsen - bei falschen Bezugsgrößen - bei unterschiedlichen Startwerten Arithmetisches Mittel: Division der Summe aller Werte durch die Anzahl der Werte. Somit erhält man den Durchschnittswert. 14 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

15 Beispiel (zum Liniendiagramm): = = 49 Somit ist das arithmetische Mittel (oder der Durchschnitt) 49 Liter. 8. Wiederholen und Vertiefen des Prozentrechnens Beim Prozentrechnen geht es um den Zusammenhang zwischen Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert. Grundwert: Der ursprüngliche Wert, z.b. 50, das Ganze. Prozentsatz: Der Anteil am Grundwert in Prozent, z.b. 25%. Prozentwert: Der entsprechende Teil des Ganzen. Es gilt: Prozentsatz vom Grundwert = Prozentwert 25% von 50 = 12,50 Berechnungsbeispiel: Ein Videospiel kostet zu Beginn 50. Anschließend wird es um 25% reduziert. Prozentwert = Prozentsatz Grundwert Prozentwert = 25% 50 = 0,25 50 Prozentsatz = Prozentwert : Grundwert Prozentsatz = 12,50 : 50 = 0,25 = 25% = 12,50 Grundwert = Prozentwert : Prozentsatz Grundwert = 12,50 : 25% = 12,50 : 0,25 = 50 Grundwert = 50 Beispiel für eine Rechnung mit erhöhtem Grundwert: Eine Aktie verteuert sich um 7% auf 950. Berechne den ursprünglichen Preis. Daraus folgt, dass die 950 nun 107% des alten Preises (Grundwerts) sind. Grundwert = Prozentwert : Prozentsatz Grundwert = 950 : 107% Grundwert = 950 : 1,07 Grundwert = 887,85 15 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

16 Die obigen Gleichungen kann man sich mit folgendem Formeldreieck merken: Erklärung: - Zwei Größen, die durch die waagerechte Linie getrennt sind, werden dividiert. - Zwei Größen, die durch die senkrechte Linie getrennt sind, werden multipliziert. 9. Zusammenfassung der Rechengesetze für rationale Zahlen Wann sind zwei Terme gleichwertig (= äquivalent)? Zwei Terme sind dann äquivalent, wenn jede Einsetzung in beiden Termen jeweils dasselbe Ergebnis liefert. Beispiel: T1(x) = (2x + 3) 4-3x äquivalent zu T2(x) = x Durch Anwenden der Rechengesetze kann man zeigen: T1(x) = 8x x = 5x + 12 = x = T2(x) Allgemein gelten folgende Rechengesetze für a, b, c. Kommutativgesetz der Addition: In einer Summe darf man die Reihenfolge der Summanden ändern, ohne dass sich der Wert der Summe verändert. a + b = b + a Beispiele: = = = = 123 Kommutativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man die Reihenfolge der Faktoren ändern, ohne dass sich der Wert des Produkts verändert. Beispiele: 4 3 = 3 4 = = = 2079 a b = b a Assoziativgesetz der Addition: In einer Summe darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) 16 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

17 Beispiele: = (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = = (12 + 9) + 11 = 12 + (9 + 11) = 32 Assoziativgesetz der Multiplikation: In einem Produkt darf man beliebig Klammern setzen oder weglassen, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert. a b c = (a b) c = a (b c) Beispiele: = (2 3) 4 = 2 (3 4) = 24 (13 25) 4 = = 13 (25 4) = 1300 Distributivgesetz bei einer Summe: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer Summe darf man jeden Summanden mit der Zahl multiplizieren und im Anschluss, die entstehenden Produkte addieren. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht. a (b + c) = (b + c) a = ab + ac Beispiele: 3 (4 + 2) = = = 18 (2n + 6m) 2 = 2n 2 + 6m 2 = 4n + 12m Distributivgesetz bei einer Differenz: Bei einem Produkt aus einer Zahl und einer Differenz darf man den Minuenden und den Subtrahenden mit der Zahl multiplizieren und im Anschluss, die entstehenden Produkte subtrahieren. Der Wert des Terms ändert sich dabei nicht. a (b - c) = (b - c) a = ab - ac Beispiele: 2 (7-3) = = 14-6 = 8 (3x - 7y) 2 = 3x 2-7y 2 = 6x - 14y Tipp Ausklammern mit Hilfe des Distributivgesetzes: ab + ac = a (b + c) ab - ac = a (b - c) Beispiele: = 9 (22-12) = 9 10 = Basiswissen 7. Klasse David Jobst

18 10. Umformen von Produkten, Summen und Differenzen a) Umformen von Produkten: Potenzen mit gleicher Basis kann man multiplizieren, indem man die Exponenten addiert. x m x n = x m + n (falls n, m aus ) Beispiel: x 2 x 3 = x x x x x = x = x 5 b) Umformen von Produkten: Enthält ein Produkt mehrere Variablen und Zahlenfaktoren, so werden die Potenzen mit gleicher Basis und die Zahlenfaktoren multipliziert und das Produkt so vereinfacht. x m y n z p x r y s z t = x m + r y n + s z p + t Beispiel: 5x 2 y 3 z 6 7x 2 y 5 z 3 = 35x 4 y 8 z 9 c) Umformen von Produkten: Produkte, die Differenzen oder Summen als Faktoren enthalten, müssen mit Hilfe des Distributivgesetzes vereinfacht werden. a (x m y n - x r y s )= a x m y n - a x r y s Beispiel: 4x (x 2 y 3 - x 3 y 2 ) = 4x 3 y 3-4x 4 y 2 d) Umformen von Summen und Differenzen: Nur Terme der gleichen Art können zusammengefasst werden. Terme sind dann gleichartig, wenn sie sich nur im Zahlenfaktor unterscheiden. Beispiel: 3x 3 y 2 und 4x 3 y 2 sind gleichartige Terme 3x 4 y 2 und 4x 3 y 2 sind keine gleichartigen Terme 3x 3 y 2 + 4x 3 y 2 - x 3 y 2 + x 4 y 2 = 6x 3 y 2 + x 4 y 2 e) Umformen von Summen und Differenzen: Summen und Differenzen können durch Ausklammern von gemeinsamen Faktoren in ein Produkt umgewandelt, d.h. faktorisiert, werden. Beispiel: 3x 4 y 2 + 6x 3 y 3 = 3x 3 y 2 x + 3x 3 y 2 2y = 3x 3 y 2 (x + 2y) 18 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

19 11. Klammerregeln - Das Multiplizieren von Summen und Differenzen Erklärung: Jedes Glied der ersten Klammer wird mit jedem Glieder der zweiten Klammer multipliziert, wobei die jeweiligen Vorzeichen beachtet werden müssen. Anschließend können die Produkte addiert werden. Diesen Vorgang nennt man Ausmultiplizieren. Beispiel: (x + 2) (5 + x) = 5x + x x = x 2 + 7x + 10 (x - 2) (5 - x) = 5x - x x = - x 2 + 7x -10 (x + 2) (5 - x) = 5x - x x = - x 2 + 5x + 10 [(x + 2) (5 + x)] (2x + 1) = (x 2 + 7x + 10) (2x + 1) = 2x x x 2 + 7x + 10 = 2x 3 + x x + 20 Beachte: Ein Minus vor der Klammer dreht beim Auflösen der Klammer alle Vorzeichen um. Beispiel: -(3x + 2y - 10) = -1 (3x + 2y - 10) = -3x - 2y Durch Probieren und Überlegen zur Lösung einer Gleichung Grundmenge: Die Menge an Zahlen, die für die Einsetzung in die Variable/n sinnvoll ist. Indem man Terme vereinfacht und gezielt Zahlen anstatt der Variablen einsetzt, welche die Gleichung erfüllen, kann man die Lösung der Gleichung bestimmen. Eine Gleichung heißt eindeutig lösbar, wenn sie genau eine Lösung besitzt, die in der Grundmenge enthalten ist. Eine Gleichung heißt allgemein lösbar, wenn alle Zahlen der Grundmenge Lösungen sind. 19 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

20 Eine Gleichung heißt nicht lösbar, falls es keine Lösung besitzt, die in der Grundmenge enthalten ist. Beispiele für lineare Gleichungen: 3x + 3 = = 2x - 1 Beispiele für das Finden einer Lösung durch gezieltes Probieren: 3x + 3 = = = = = 12 Die einzige Lösung der Gleichung ist Lösung einer Gleichung Äquivalenzumformung: Überführung einer Gleichung in eine andere, ohne dass Lösungen hinzukommen oder wegfallen. Plan zum Lösen einer Gleichung: 1. Auf beiden Seiten der Gleichungen werden die Klammern aufgelöst und gleichartige Glieder zusammengefasst. 2. Auf beiden Seiten der Gleichung wird dieselbe Zahl oder der gleiche Term addiert oder subtrahiert. Man versucht dabei, gleichartige Glieder der Gleichung jeweils auf eine Seite zu bringen. 3. Auf beiden Seiten der Gleichung wird durch die gleiche Zahl (von 0 verschieden) dividiert bzw. multipliziert. Das Ergebnis kann durch Einsetzen in die Gleichung überprüft werden. (Probe) Achtung: Multiplizieren beider Seiten mit Null ist keine Äquivalenzumformung! Beispiel: 5 (3x - 3) = 3x x (Auflösung der Klammern und Zusammenfassen gleichartiger Glieder) 15x -15 = 12x x (Subtraktion des Terms auf beiden Seiten der Gleichung) 3x -15 = (Addition derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung) 3x = 12 : 3 (Division beider Seiten durch die gleiche Zahl) x = 4 Probe: = 5 (3 4-3) 45 = 45 (w) 20 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

21 14. Kongruente Figuren Kongruenzabbildung: Kongruenzabbildungen bilden Figuren auf dazu deckungsgleiche (= kongruente) Figuren ab. Entsprechende Strecken und Winkel sind gleich groß. Gekennzeichnet werden kongruente Figuren durch folgendes Zeichen:. Achsen- und Punktspiegelung sind Beispiele für Kongruenzabbildungen. ABC A B C (lies: ABC ist kongruent zu A B C ) 14. Kongruenzsätze für Dreiecke Kongruenzsätze: Kongruenzsätze geben Voraussetzungen an, die Form und Größe eines Dreiecks eindeutig festlegen (kongruent = deckungsgleich). Kongruenzsatz SSS Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in... den Längen aller drei Seiten. Skizze 21 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

22 Kongruenzsatz SWS Dreiecke sind kongruent, wenn sie übereinstimmen in... den Längen zweier Seiten und der Größe des Zwischenwinkels. Skizze WSW der Länge einer Seite und der Größe von zwei gleich liegenden Winkeln. SWW der Länge einer Seite und der Größe von zwei gleich liegenden Winkeln. SsW den Längen zweier Seiten und der Größe des Gegenwinkels der größeren beiden Seiten. Beachte: Bei jedem Dreieck ist eine Seitenlänge immer kleiner als die Summe der anderen beiden Seitenlängen. Speziell: Die größere Seitenlänge ist immer kleiner als die Summe der beiden kürzeren. 22 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

23 15. Besondere Dreiecke Gleichschenkliges Dreieck: - zwei gleich lange Seiten (= Schenkel) - die dritte Seite heißt Basis und an ihr liegen die zwei gleich großen Basiswinkel an - die zwei Schenkel schließen den Winkel an der Spitze ein - Schnittpunkt der Schenkel heißt Spitze - achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechte der Basis. Rechtwinkliges Dreieck: - ein Innenwinkel beträgt 90 - rechter Winkel liegt gegenüber der Hypotenuse - Hypotenuse ist die längste Seite im Dreieck - die beiden anderen Seiten nennt man Katheten und sie schließen den rechten Winkel ein Gleichseitiges Dreieck: - alle Seiten sind gleich lang - alle drei Innenwinkel betragen 60 - achsensymmetrisch zu den Mittelsenkrechten der drei Seiten Konstruktionsbeschreibung: 1. Zeichne eine Seite mit gegebener Länge und beschrifte die Enden mit A und B. 2. Konstruktion der Kreise k1 und k2 mit der gleichen Länge wie AB. Als Mittelpunkte der Kreise k1 und k2 dienen die Punkte A und B. 3. Der Schnittpunkt der Kreise k1 und k2 bildet den Punkt C. Nun wird dieser Punkt mit A und B verbunden. 23 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

24 16. Thaleskreis Satz des Thales: Wenn das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel hat, so liegt C auf dem Kreis um den Mittelpunkt von [AB] mit r = AB. Es gilt auch die Umkehrung: Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf einem Kreis mit [AB] als Durchmesser liegt, so ist das Dreieck bei C rechtwinklig. C A M B Anwendung des Thaleskreises zur Tangentenkonstruktion: Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises sind gegeben. Anschließend konstruiert man über der Strecke [MP] den Thaleskreis ktk. Die Schnittpunkte A und B des Thaleskreises ktk mit dem gegebenen Kreis k sind die Berührpunkte der Tangenten von P an k. k ktk. MTk. 17. Besondere Linien und Punkte im Dreieck Winkelhalbierende: Gerade, die den Innenwinkel eines Dreiecks halbiert. Die Winkelhalbierende wα ist die Symmetrieachse der beiden Schenkel von α. Jeder Punkt auf wα hat von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand. 24 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

25 W Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt W, der von allen Dreiecksseiten denselben Abstand hat. Höhen: Lote von den Eckpunkten auf die gegenüberliegende Seite (oder deren Verlängerung).... Mittelsenkrechte: Die Mittelsenkrechte ist die Symmetrieachse der entsprechenden Dreiecksseite. Alle drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt M, der gleich weit entfernt von den drei Ecken des Dreiecks ABC ist. Dieser Punkt heißt Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Der Kreis um M durch A, B und C heißt Umkreis des Dreiecks ABC. (Sonderfall rechtwinkliges Dreieck: Thaleskreis = Umkreis) mac... mbc mab 25 Basiswissen 7. Klasse David Jobst

26 18. Konstruktionen Beachte: 1. Planfigur (Beschriftung von Punkten, Strecken und Winkeln) 2. Zerlegung des Vielecks in Teildreiecke zur einfacheren Lösung der Aufgabe. 3. Konstruktionsplan beschreibt die Schritte für die Durchführung der Zeichnung. Diese Schritte müssen begründet werden. 4. Überprüfung, ob einzelne Punkte eindeutig festgelegt sind. 5. Kongruenzsätze helfen bei der Konstruktion. (= drei geeignete Angaben) 6. Nicht lösbare Konstruktionen lassen sich teilweise mit Hilfe der Winkelsummensätze und der Dreiecksungleichungen erkennen. 7. Fünf geeignete Angaben reichen, um ein Viereck zu konstruieren. 8. Für besondere Vierecke (z.b. Parallelogramm, Trapez,...) reichen teilweise weniger Angaben, aufgrund ihrer besonderen Eigenschaften (z.b. parallele Seiten, gleiche Winkel,...). 9. Anwendungsaufgaben fordern einen passenden Maßstab. 26 Basiswissen 7. Klasse David Jobst