Grundwissen 8I/11. Terme

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1 Grundwissen 8I/ Termumformungen. Vereinfachung von Produkten Terme Halte dich an folgende Reihenfolge: Klammern bei Potenzen auflösen Vorzeichen des Produkts bestimmen Ordnen: Zahlen zuerst, dann Variablen in alphabetischer Reihenfolge Produktwert der Zahlen berechnen, bei den Variablen das. Potenzgesetz anwenden Beispiel: b². ( a)³. ( a)b b². ( 8)a³. ( a)b +. 8a³ab²b 6a b 6 Ü: a) ( a²)². ( b)( )a²b; b) a. b. 5c( a)². ( b)³. ( c) ;. Vereinfachung von Summen Gleichartige Summanden addiert man, indem man ihre Koeffizienten addiert und die Variable unverändert lässt. (Gleichartige Summanden sind Summanden mit der gleichen Variablen in der gleichen Potenz.) Beispiel: a + b + a 5b ( + )a + ( 5)b 6a b; ² ² ( ) + ( )² ² Ü: a) ab ac ab 5ac ; b) c²d cd² + c²d cd² Auflösen von Klammern... + ( a + b c) a + b c;... ( a + b c) + a b + c Beispiel: + ( a) + a 7 a; ³ ( ² + ) ³ + ² + Ü: c) ( +a) 5 ; d) ( 5 + y) + ( z). Umwandlung von Produkten in Summen Ausmultiplizieren: Nach dem Distributivgesetz gilt: a. (b + c) ab + ac; bzw a. (b c) ab ac Beispiel: ( + y) 6 + y; ab(ab b) a²b² ab² Ü: a) ²( ² 5); b) ( + ) ( y);

2 Multiplikation von Summen: Grundwissen 8I/ (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd Beispiel: ( )( + ) 6 + ² 6 ² Ü: c) (ab a)(b ab) ; d) (a )( + a) ( + a)(a² 6) Binomische Formeln:. (a + b)² a² + ab + b². (a b)² a² ab + b². (a + b)(a b) a² b² Beispiel: ( + )² + + ²; (c d)² 9c² cd + 6d²; ( + )( ) ² 9; Ü: e) ( b)²; f) (² + y)²; g) (a b)(a + b). Umwandlung von Summen in Produkte (Faktorisieren) Ausklammern: Nach dem Distributivgesetz gilt: ab + ac a(b + c) bzw. ab ac a(b c) Beispiel: y + 6 ( y + ); ²y³ 6³y² + 8y² 8y²( y ² + ) Beachte: Beim Ausklammern wird jeder Summand durch den Term dividiert, der ausgeklammert wurde. Beispiel: ² + (² + 6 ) Ü: a) Klammere vollständig aus! 6ab a²b + b² b) Klammere den Faktor aus! ² Binomische Formeln: Bei geeigneten Termen lässt sich die Umwandlung in ein Produkt mit Hilfe der binomischen Formeln durchführen. Beispiel: ² ( + )( ); ² 8y + y² ( y)² Ü: c) Faktorisiere so weit wie möglich! a² 75; d) ² 6y + y²

3 5. Quadratische Ergänzung Grundwissen 8I/ Quadratische Terme der Form ² ± p + q lassen sich durch die quadratische Ergänzung p p ² ± p + ( )² ( )² + q und die anschließende Anwendung der. bzw.. binomischen Formel auf die ersten drei Summenden in einen Term der Form ( ± deln. p p )² ( )² + q verwan Beispiel: ² + 6 ² ( + )² ; ² (² 5 ) (² 5 + 6,5 6,5 ) [(,5)² 0,5] (,5)² + 0,5 Ü: a) ² + + ; b) ² Etremwerte quadratischer Terme Hat der quadratische Term die Form a( b)² + c, (a Q\{0}), so besitzt er : wenn a > 0 ist, das Minimum c für b wenn a < 0 ist, das Maimum c für b. Beispiel: T ² + ; T ma für 0; T ( + )² 8; T ma 8 für T ² ; T min für 0 Ü: a) (a )²; b) ( + )² ; c) ² + ;

4 Gr undwissen 8/ I Lineare Gleichungen und Ungleichungen. Zum Lösen einer Gleichung oder Ungleichung verwendet man Äquivalenzumformungen. Jede Umformung muss immer auf beiden Seiten der Gl. oder Ungl. vorgenommen werden. Bsp.: Zusammenfassen gleichartiger Terme Sammeln und Zusammenfassen gleichartiger Terme auf verschiedenen Seiten :( ) Division durch den Koeffizienten der Variablen L { } Die Lösungsmenge einer Ungleichung enthält die umgeformte Ungleichung selbst. Bsp.: < < L { < } Das Ungleichzeichen bleibt bei allen Äquivalenzumformungen unverändert, außer man dividiert oder multipliziert mit einer negativen Zahl. (Inversionsgesetz) Bsp.: > 8 < Ü:. Löse die folgenden Gleichungen und Ungleichungen. a) a 5 + 6a 8 b) b + < 7b c) c 9 > c +. Um eine Tetaufgabe lösen zu können, sollte man einige wichtige Schritte beachten: im Tet mit verschiedenen Farben das markieren, was gesucht ist eine Variable für die gesuchte Größe festlegen die Aussage des Tetes in einen oder mehrere Terme übersetzen aus den Termen eine Gleichung oder Ungleichung bilden die Lösung der Gleichung oder Ungleichung bestimmen das Ergebnis durch Einsetzen in die Terme überprüfen das Ergebnis in einem Antwortsatz wiedergeben. Ist eine Gleichung in der Form (a + b) (c + d) 0 gegeben, so spaltet sich die Gleichung zur Lösung in zwei Fälle auf: (I.) a + b 0 (II.) c + d 0 ( bedeutet oder auch ), da ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Beide Gleichungen werden für sich gelöst und die Teillösungsmengen L und L angegeben. Die Gesamt lösungsmenge L ist dann die Vereinigungsmenge der beiden Teillösungsmengen: b d L L L a c Ü:. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung ( 5) ( + ) 0.. Ist eine Doppelungleichung gegeben, löst man sie in zwei Ungleichungen auf und bildet die Schnittmenge der beiden Teillösungsmengen L und L zur Lösungsmenge L, da sie beiden Bedingungen zugleich gehorchen muss. Bsp.: + < 5 < < 5 5 < 9 + ( bedeutet und zugleich ) < < 6 >,5 >,5 L { >,5} L { >,5} L L L { >,5 >,5} { >,5} Ü:. Bestimme die Lösungsmenge der Doppelungleichung 5y + 6 < y < y + 9

5 Grundwissen 8I/ Bruchterme und Bruchgleichungen Bruchterme: Terme, bei denen der Nenner mindestens eine Variable enthält. Definitionsmenge: Alle Zahlen der Grundmenge, für die der Nennerterm nicht Null ist, bilden die Definitionsmenge D des Bruchterms Beispiel: D Q\{0} ; ² D Q\{ ; } Rechnen mit Bruchtermen: Es gelten grundsätzlich die Rechenregeln für rationale Zahlen. (GW 6. Kl.) Beachte aber: bei Termumformungen sind ursprünglicher und umgeformter Term nur in der Definitionsmenge äquivalent, in der beide Terme definiert sind. beim Kürzen müssen Zähler und Nenner zunächst faktorisiert werden. Gleiches gilt für den Nenner, wenn man Bruchterme gleichnamig machen will. Beispiele: Kürze! ² ( ( ) )( + ) + D Q\{ ; } Addiere! ( + + ² ( ) Bruchgleichungen )( ) 9 Nenner faktorisieren: + ( + ) ² 9 ( + )( ) Hauptnenner: ( + )( ) ( 7 + )( ) D Q\{; } Bruchgleichungen sind Gleichungen mit mindestens einem Bruchterm. Lösungsbeispiel: 6 6 Definitionsmenge bestimmen: D Q\{0;} Hauptnenner suchen: ( ) /. ( ) Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren 6( ) Kürzen 6 6 / 6 Gleichung nach auflösen 6 / :( ) L { } Lösungsmenge angeben In Bruchgleichungen der Form T T T T können die Nenner auch durch " Überkreuz Multiplizieren " beseitigt werden: T. T T. T Ü:. Vereinfache! Gib jeweils die Definitionsmenge an!

6 a) 6 9 ² ; b) + : 8 +. Bestimme die Definitionsmenge und gib die Lösungsmenge an! G Q 6 5 +

7 RELATIONEN UND FUNKTIONEN Die Produktmenge M M ist die Menge aller geordneten Zahlenpaare ( y ) mit M und y M. (Sprechweise: M kreuz M ) Darstellung der Produktmenge Aufzählende Form M M { ; ; } {0; } {( 0 ); ( ); ( 0 ); ( ); ( 0 ); ( )} Beschreibende Form M M {( y ) M y M } Relationen als Lösungsmenge von Aussageformen Die Relationsvorschrift sondert aus der Produktmenge M M eine Menge von geordneten Zahlenpaaren ( y ) aus. Durch die Aussageform wird eine Beziehung (Relation) zwischen Elementen von M und M hergestellt. Beispiel: y M M { ; ; } {0; } R {( 0 ); ( )} Relation Die Lösungsmenge einer Aussageform mit zwei Variablen M und y M ist eine Teilmenge von M M. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als die zur Aussageform gehörige Relation R in M M. R M M Beispiel: Jedem Feld eines Schachbretts kann ein geordnetes Zahlenpaar ( y ) zugeordnet werden mit M und y M, wobei M {A, B, C, D, E, F, G, H} und M {; ; ; ; 5; 6; 7; 8}. Relation R: Ein schwarzer Stein steht in der Spalte und der Zeile y. R {( A ); ( B ); ( D 7 ); ( G )} Definitions und Wertemenge einer Relation A B C D E F G H. Komponente. Komponente Die Definitionsmenge D ist die Menge aller ersten Komponenten einer Relation ( y ) Die Wertemenge W ist die Menge aller zweiten Komponenten einer Relation Übungen:. Bilde die Produktmenge aus { ; ; } und { ; }. Gegeben sind die Mengen M { ; 0; ; ; } und M {; ; 6; 8; 0} a) Bilde die Produktmenge M M in aufzählender Form. b) Gib jeweils die Relation R bezüglich M M für folgende Relationsvorschriften an: α) y + β) y + γ) y c) Gib für die Relationen unter b) jeweils Definitions und Wertemenge an.

8 Graph der Relation Jedem geordneten Zahlenpaar ( y ), das Lösung einer Relationsvorschrift ist, kann eindeutig ein Punkt im Koordinatensystem zugeordnet werden. Die Menge der so festgelegten Punkte heißt Graph der Relation R. Beispiel: R {( y ) + y 6} R {( y ) + y 6} G M M G M M M { ; ; ; } M { ; ; ; } y y Funktion Ordnet eine Relation R jedem Element der Definitionsmenge D genau ein Element der Wertemenge W zu, so nennt man R eine Funktion in D W. Eine Funktion wird durch den Funktionsterm f() beschrieben, y f() ist die Funktions gleichung. Jeder Wert, für den der Funktionswert f() 0 gilt, heißt Nullstelle der Funktion f. Der Graph zu f() schneidet bei der Nullstelle die Achse. 5 Beispiel: Nullstelle von y 5 für y f() Übungen:. Zeichne den Graphen der Relation für a) y < + G { ; ; ; } { ; ; ; } b) y > + G { ; ; ; } { ; ; ; }. Berechne die Nullstellen von a) f() 5 b) f() +

9 Geradengleichung Eine Geradengleichung in Normalform setzt sich aus der Steigung m der Geraden und dem y Achsenabschnitt t, dem Schnittpunkt der Geraden mit der y Achse, zusammen: g : y m + t y y y Graph von f y y Die Steigung m der Geraden ergibt sich aus dem Steigungsdreieck als Quotient aus der Koordinatendifferenz zweier Funktionswerte P ( y ) und P ( y ), also y y y m mit. Über die Koordinatenform des Vektors P lässt sich m ebenfalls berechnen: y y P P m y y Beispiel: Gerade durch die Punkte A ( 5 ) und B ( 0 ) ( ) 5 5 m oder AB m ( ) Senkrechte Geraden Sind zwei Geraden g und g mit den Steigungen m und m zueinander senkrecht (orthogonal), so gilt folgende Beziehung: m oder m m g g m P P P Parallele Geraden Geraden mit derselben Steigung, sind zueinander parallel. Zueinander parallele Geraden haben die gleiche Steigung, aber verschiedene y Achsenabschnitte. g g m m Beispiel: Die Geraden g : y + und g : y 0, 5 stehen senkrecht zueinander, da 0, 5 oder ( 0, 5 ) Punktsteigungsform der Geradengleichung Sind von einer Geraden nur die Steigung m und ein Punkt P ( P y P ) bekannt, so ergibt sich die Geradengleichung wie folgt: g : y m ( P ) + y P Allgemeine Geradengleichung Ist die Geradengleichung in der allgemeinen Form a + b y + c 0 gegeben, so berechnet sich die Normalform zu: Beispiel: a c y mit b 0. Die Gerade g mit der Steigung m verläuft b b Sonderfälle: durch den Punkt P ( ): c b 0: Parallele zur y Achse g : y ( ) + + a c a 0: Parallele zur Achse b Übungen:. Berechne jeweils die Gleichung der Geraden durch die Punkte a) A ( ); B ( 6 5 ) b) C ( 0 ); D ( 5 ) c) E ( ); F ( 0 6 ). Gib jeweils die Geradengleichung an: a) m ; A ( ) b) m ; B ( ) c) m 0,5; C ( 0 )

10 . Gib eine zu g : y bzw. g : y + senkrechte Gerade an.. Wandle in die Normalform um: a) y + 0 b) + y

11 b C γ α β A c B a Bezeichnungen im Dreieck Die Bezeichnung der Eckpunkte (A, B, C), der Seiten (a, b, c) und der Winkel (α, β, γ) ist stets gegen den Uhrzeigersinn. Beziehungen im Dreieck In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber. Dreiecksungleichung Die Summe aus zwei Seitenlängen ist stets größer als die dritte Seitenlänge. a + b > c und a + c > b und b + c > a Kongruenz: Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich) zueinander, wenn sie durch eine der Kongruenzabbildungen (Parallelverschiebung, Achsenspiegelung und Drehung) aufeinander abgebildet werden können. Da man zur eindeutigen Konstruktion eines Dreiecks mindestens drei Bestimmungsstücke benötigt, sind Dreiecke daher auch kongruent, wenn sie in allen Seitenlängen übereinstimmen. zwei Seitenlängen und dem Maß ihres Zwischenwinkels übereinstimmen. einer Seitenlänge und den Maßen der daran anliegenden Winkel übereinstimmen. zwei Seitenlängen und dem Maß des Winkels, der der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen SSS Satz SWS Satz WSW Satz SsW Satz Übung: Konstruiere das Dreieck ABC mit folgenden Angaben: a) a 7 cm; b cm; c 5 cm b) a 5 cm; c 7 cm; β 0 c) c 6 cm; α 50 ; β 60 d) a 7 cm; b cm; α 0 Der geometrische Beweis Mithilfe der Kongruenzabbildungen und der Sätze über kongruente Dreiecke lassen sich Behauptungen bzw. Vermutungen geometrisch begründen. Der durchzuführende Beweis muss, um allgemeine Gültigkeit zu haben, ein bestimmtes Schema einhalten, er muss logisch und in sich richtig (konsistent) sein. Behauptung: Vermutung, die aus der Messung an konkreten Beispielen abgeleitet wird Voraussetzungen: Zusammenstellung aller für den Beweis nötigen Aussagen, die sich als allgemein bekannt vorausgesetzt aus den geometrischen Ortslinien und Ortsbereichen und ihren Beziehungen zueinander ableiten lassen Beweis: analoge Schlussfolgerungen aus den Voraussetzungen auf die Behauptung Begründung mithilfe von Vektoren Strecken sind zueinander parallel, wenn die entsprechenden Vektoren durch die Endpunkte der Strecken Repräsentanten desselben Vektors sind. Strecken sind gleich lang, wenn die entsprechenden Vektoren betragsgleiche Koeffizienten aufweisen. Beispiel: AB ; CD ; EF AB CD EF

12 Grundwissen 8I/7 Vierecke Bezeichnungen: konvees Viereck Vierecke mit Umkreis Sehnenvierecke: D δ c f e C γ b β B Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der vier Seiten. Die Summen zweier gegenüberliegender Seiten sind gleich groß. (a + c b + d) Vierecke mit Inkreis Tangentenvierecke: d α a Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden der vier Innenwinkel. A Die Summe zweier gegenüberliegender Winkel beträgt 80. (α + γ ß + δ) Sonderformen: Trapez Beschreibung: parallele Grundseiten Gleichschenkliges Trapez gleich lange Schenkel die an den Schenkeln anliegenden Winkel ergeben zusammen 80 die Diagonalen sind gleich lang lotsymmetrisch Umkreis Drachen Je von der Symmetrieachse ausgehende Seiten sind gleich lang die der Symmetrieachse gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß die Symmetrieachse steht auf der. Diagonalen senkrecht und halbiert diese diagonalsymmetrisch Inkreis Parallelogramm Je gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel Je gegenüberliegende Winkel sind gleich groß die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.z punktsymmetrisch Rechteck Z Sonderform von gleichschenkligem Trapez und Parallelogramm rechte Winkel lot und punktsymmetrisch Symmetrieachsen Raute Z Sonderform von Drachen und Parallelogramm gleich lange Seiten diagonal und punktsymmetrisch Symmetrieachsen Quadrat Z Sonderform von Rechteck und Raute Symmetrieachsen