S. 44 AAz Ich kann in Summentermen gemeinsame Faktoren finden und diese ausklammern.

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1 Klasse 8b Mathematik Vorbereitung zur Klassenarbeit Nr. am Themen: Algebra (Ausmultiplizieren und Ausklammern, Binomische Formeln, Gleichungen und Ungleichungen) und Geometrie (Geraden am Kreis, Thalessatz, Mittelpunkts- und Umfangswinkel, Dreieckskonstruktionen, Kongruenzsätze) Checkliste Was ich alles können soll hier finde ich Information kann ich muss ich üben Ich kann Produkte von Summen ausmultiplizieren ( jeder Summand aus der einen Klammer wird mit jedem aus der anderen multipliziert ) und zusammenfassen. S. 44 AAz Ich kann in Summentermen gemeinsame Faktoren finden und diese ausklammern. AAz Ich kenne alle drei Binomischen Formeln. S. 48 Ich kann mit Hilfe der Binomischen Formeln besondere Produkte von Summen schnell ausmultiplizieren. Ich erkenne, wann ein Summenterm mit Hilfe einer Binomischen Formel faktorisiert oder als Produkt geschrieben werden kann, und kann diese Umformung dann auch durchführen. Ich benutze die o. g. Termumformungen um Gleichungen und Ungleichungen zu vereinfachen. S. 48 f. S. 48 ff. AAz S. 5 f. Ich kann Gleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen. S. 52 Ich kann Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen und weiß, wann ich dabei das Relationszeichen umdrehen muss. Ich kann die Lösungen einer Gleichung oder Ungleichung mit der Grundmenge vergleichen und daraus die Lösungsmenge bilden. S. 56 S. 56 Ich kann Formeln nach jeder gegebenen Größe auflösen. S. 58 Ich verwende die korrekten Begriffe für gerade Linien am Kreis (Radius, Durchmesser, Sehne, Sekante, Tangente, Passante) Arbeitsblatt dazu, Rh. Ich kann den Mittelpunkt eines Kreises konstruieren. S. 14 Ich kenne den Tangentenwinkelsatz und benutze ihn, um Tangenten durch einen Punkt auf dem Kreis zu konstruieren. Ich kenne den Satz des Thales und einen Beweis. Ich kann mit Hilfe des Satzes des Thales Tangenten durch Punkte außerhalb des Kreises konstruieren. Ich kenne die Begriffe Kreisbogen, Mittelpunktswinkel und Umfangswinkel und verwende sie korrekt. Ich kenne Mittelpunktswinkel- und Umfangswinkelsatz und kann sie in Sachsituationen anwenden. Ich beherrsche die Dreieckskonstruktionen SSS, SWS, WSW und SSW mit Zirkel und Lineal und denke daran, zuerst eine Planfigur zu skizzieren und die Konstruktionsschritte erkennbar zu machen S. 22 f. S. 18 ff. S. 22 S. 24, Rh. S. 24, Rh. ausgeteilte Übersichten Ich kann die Dreieckskonstruktionen nutzen, um geometrische Sachanwendungen zu lösen. Dabei verwende ich einen geeigneten Maßstab. Ich kann die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW formulieren. Dabei achte ich bei SsW besonders darauf, dass der gegebene Winkel tatsächlich der längeren gegebenen Seite gegenüber liegt. Ich kann mithilfe der vier Kongruenzsätze entscheiden, ob zwei gegebene Dreiecke kongruent sind. Ich kann den Inkreis eines gegebenen Dreiecks mit Zirkel und Lineal konstruieren.

2 Seitenangaben beziehen sich auf das Lehrbuch Delta 8. AAz meint das Arbeitsblatt Algebra zusammengefasst. Gute, schnelle Übersichten zu den Themen findet ihr Auf einen Blick auf den Seiten 72 und 8 Außer dem mitgelieferten Vortest empfehle ich folgende Übungsmöglichkeiten; 2.11 Das kann ich (Algebra) Seiten (Lösungen S. 202ff.) 1.1 Das kann ich (Geometrie) Seiten 6-7 (Lösungen S. 197ff.) Auch die Aufgaben zur Differenzierung und die Vermischten Aufgaben auf den Seiten (Algebra) bzw. 0- (Geometrie) könnt ihr nutzen, Dafür kann ich aber keine Lösungen zur Verfügung stellen. Die Lösung des Vortestes sowie eventuell einige Internet-Links findet ihr wie gewohnt auf Und gerne dürft ihr mir auch per fragen stellen: vh.aesmtk@t-online.de Viel Erfolg bei der Vorbereitung! A. von der Heyden

3 Klasse 8b Mathematik Vortest zur Klassenarbeit Nr. am Bitte führe alle Zeichnungen mit einem dünnen Bleistift durch. Alle Konstruktionsschritte müssen erkennbar sein. Benenne die konstruierten Punkte, Seiten und Winkel. Aufgabe 1: Multipliziere aus und vereinfache. a) ( 5 2 x )(x + 2 ) ; b) (x + 1)( y + 2) + (1 xy + x( 2)) ; c) (a + b + 2)(a ) (a 2b)(2a + b) ; d) (x 2)(2 + x) + (x + 2)² ; e) (6e³ ef)² :. Aufgabe 2: Notiere die binomischen Formeln vollständig. a) ( + )( ) = 64a² b 4 b) (x )² = x² 14x + ; c) ( + 5b)² = 9a² + +. Aufgabe : Faktorisiere so weit wie möglich durch Ausklammern und mit Hilfe der Binomischen Formeln. a) 2a²b 4ab² + 6abc b) 2x³ 18xy² c) 7s² 42s + 6 Aufgabe 4: Löse die folgenden Gleichungen bzw. Ungleichungen. Grundmenge ist die Menge der ganzen Zahlen. Gib die Lösungsmenge in aufzählender Form an. a) 9z + 2 > 4z 8 ; b) 4t² (2t ) (2t + ) ; c) (x 8) 2 = 4x 2 (x + 1) (2x 8) ; d) (2 ) 2x 5x 2 e) (y 5)(6y 11) = (9y 17)(2y ). x ; 5 Die Konstruktionsschritte müssen erkennbar sein! Aufgabe 5: a) Konstruiere ein Dreieck ABC mit c = 6,5 cm, α = 98 und β = 2. b) Miss die übrigen Seitenlängen und Winkel und gib die Maße an. c) Konstruiere die Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten! P Aufgabe 6: a) Konstruiere den Mittelpunkt des Kreises. b) Zeichne den Bogen PQ ein. c) Zeichne den Mittelpunktswinkel über d) Zeichne zwei Umfangswinkel über PQ ein. PQ ein. e) Wie lauten der Mittelpunktswinkel und der Umfangswinkelsatz? Q f) Wie heißt der Spezialfall, wenn der Mittelpunktswinkel ein gestreckter Winkel ist?

4 Aufgabe 7: Beweise den Satz des Thales mit Hilfe der Abbildung. Aufgabe 8: (zur Abbildung unten) a) Konstruiere mit Hilfe des Geodreiecks die Tangente an den Kreis durch Q. b) Konstruiere mit Zirkel und Lineal die Tangenten an den Kreis, die durch P verlaufen. P M Q Skizze: Aufgabe 9: Josef schaut in Richtung des Kirchturms, der 620 Meter von ihm entfernt ist. 450 Meter vom Kirchturm entfernt steht ein Fernmeldemast. Wie groß ist der Winkel, um den sich Josef drehen muss, wenn er gerade auf den 510 Meter von ihm entfernten Fernmeldemast schauen will? Aufgabe 10: a) Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel 8 cm lang sind und das einen Winkel an der Spitze von 80 hat. b) Konstruiere mit Zirkel und Lineal alle drei Winkelhalbierenden sowie den Inkreis. Aufgabe 11: Gegeben sind Größen zweier Dreiecke ABC und A B C. Kann man entscheiden, ob die Dreiecke kongruent sind? Begründe! a) a = 9 dm, β = 75, γ = 5 ; b = 9 dm, α = 5, β = 70. b) a = 5,4 cm, b = 9, cm, β = 20 ; a = 9, cm, c = 5,4 cm, γ = 20 c) a = 6 km, b = 9 km, c = 800 m a = 9 km, b = 800 m, c = 6 km d) a = 8 cm, c = 7 cm, γ = 0 ; a = 7 cm, b = 8 cm, α = 0

5 Klasse 8b Mathematik Lösungen zum Vortest Nr. März 2018 Aufgabe 1: Multipliziere aus und vereinfache. 2 a) ( x )(x + ) = 2 x x + 2 x x = 2 x² + x 15 9 x = 2 x² 12 9 x b) (x + 1)( y + 2) + (1 xy + x( 2)) = xy y + 2x xy 6x = 6xy 4x y + 5 c) (a + b + 2)(a ) (a 2b)(2a + b) = a a + b a + 2 a a b 2 (2a² 4ab + ab 2b²) = a² + ab + 2a a b 6 2a² + 4ab ab + 2b² = a² + 4ab + 2b² a b 6 d) (x 2)(2 + x) + (x + 2)² = (9x² 4) + 9x² +12x + 4 = 12x + 8 e) (6e³ ef)² : = [ (6e³)² 2 6e³ ef + (ef)² ] : = [6e 6 6e 4 f + 9e²f²] : = 12e 6 12e 4 f + e²f² Aufgabe 2: Notiere die binomischen Formeln vollständig. a) ( 8a + b² )( 8a b² ) = 64a² b 4 b) (x 7 )² = x² 14x + 49 c) ( a + 5b)² = 9a² + 0ab + 25b² Aufgabe : a) 2a²b 4ab² + 6abc = 2ab(a 2b +c) b) 2x³ 18xy² = 2x (x² 9y²) = 2x(x + y)(x y) c) 7s² 42s + 6 = 7(s² 6s + 9) = 7(s )² Aufgabe 4: a) 9z + 2 > 4z 8 5z > 10 z < 2 IL = {...; 1; 0 ; 1 } b) 4t² (2t ) (2t + ) 4t² 4t² allgemeingültig IL = Z c) x² 16x + 64 = 4x² (x² + 2x + 1) +2x 8 x² 16x + 64 = 4x² x² 6x +2x 8 x² 16x + 64 = x² 4x 11 16x + 64 = 4x 11 12x = 75 x = 6¼. Dies ist aber keine ganze Zahl, also IL = { } 1 2 d) (2 ) 2x 5x 2 x 15 5(2 x) 9( 2x) = 10(5x + 2) x x = 50x x 17 = 50x x = 7 x = 1 IL = { 1} e) 18y² 0y y + 55 = 18y² 4y 27y y + 55 = 61y y = 4 y = 2 IL = {2}

6 Aufgabe 5 Aufgabe 9 Aufgabe 10 5 Aufgbabe 1: WSW 9 Aufgabe 2: SSS C 50 Maßstab 1 : ,5 cm K 4,496 cm b 8,40 cm a F 6,2 cm A B 5,1 cm Er muss sich um 45,7 drehen. 45,7 J Zu den Aufgaben 6 und 8 hier keine Lösung Aufgabe 7: Beweise den Satz des Thales mit Hilfe der Abbildung. Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und Durchmesser AB sowie ein Punkt C auf dem Kreis, der weder gleich A noch gleich B ist. Da die Strecken MA und MC Kreisradien sind, ist das Dreieck MAB gleichschenklig. Mit dem Basiswinkelsatz folgt α = γ 1. Da die Strecken MB und MC Kreisradien sind, ist das Dreieck MBC gleichschenklig. Mit dem Basiswinkelsatz folgt β = γ 2. Da die Summe der Innenwinkel des Dreiecks ABC 180 beträgt, gilt α + β + γ 1 + γ 2 = 180. Einsetzen von α = γ 1 und β = γ 2 führt auf γ 1 + γ 2 + γ 1 + γ 2 = 180 2(γ 1 + γ 2 ) = 180 γ 1 + γ 2 = 90. Daher besitzt das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel.

7 Spitze Aufgabe 10 Für Inkreis noch das Lot vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden auf eine Dreiecksseite konstruieren und Kreis um diesen durch den Lotfußpunkt zeichnen. Aufgabe 11