Aufgaben. zu Inhalten der 5. Klasse

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1 Aufgaben zu Inhalten der 5. Klasse Universität Klagenfurt, Institut für Didaktik der Mathematik (AECC-M) September 2010

2 Zahlbereiche Es gibt Gleichungen, die (1) in Z, nicht aber in N, (2) in Q, nicht aber in Z, (3) in R, nicht aber in Q Lösungen besitzen. Geben Sie für jeden dieser drei Fälle jeweils eine Gleichung mit Koeffizienten aus den natürlichen Zahlen an! 2

3 Lösungen einer quadratischen Gleichung I Gegeben sei die quadratische Gleichung u x² + v x + w = 0, mit u 0; u, v, w R. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind: Eine quadratische Gleichung ux² + v x + w = 0 hat genau zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² 4u w > 0. Eine quadratische Gleichung ux² + v x + w = 0 hat genau zwei reelle Lösungen, wenn gilt: v² 4u w < 0. Eine quadratische Gleichung ux² + v x + w = 0 hat genau eine reelle Lösung, wenn gilt: v² 4u w = 0. zutreffend nicht zutreffend 3

4 Lösungen einer quadratischen Gleichung II Gegeben sei die quadratische Gleichung 3x² + 4x + c = 0, mit c R. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Lösung(en) dieser quadratischen Gleichung zutreffend bzw. nicht zutreffend sind: Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen 4 in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: c >. 3 Die gegebene quadratische Gleichung hat genau zwei Lösungen 4 in der Menge der reellen Zahlen, wenn gilt: c <. 3 Die gegebene quadratische Gleichung hat genau eine reelle 4 Lösung, wenn gilt: c =. 3 zutreffend nicht zutreffend 4

5 Zur Lösungsformel quadratischer Gleichungen Ein Computerprogramm gibt als eine der beiden Lösungen der quadratischen Gleichung 2 x + p x + q = 0 den folgenden Term aus: 1 2 ( p + 2 p 4q) In einem Formelheft wird die entsprechende Lösung durch den folgenden Term angegeben: p + 2 p 4 2 q Zeigen Sie durch geeignete Umformungen, dass die beiden Terme äquivalent sind! Geben Sie dazu mindestens zwei Zwischenschritte an! 5

6 Summe von Vektoren Gegeben sind die Vektoren 6 a r r 1 =, b = 3 y und 1 c r =. 1 Bestimmen Sie die y-koordinate des Vektors b r so, dass die Summe der beiden Vektoren a r und b r die gleiche Richtung wie der Vektor c r hat! 6

7 Elektroboot Auf einem Radar kann ein Elektroboot an der Position A(2/0) identifiziert werden. Es fährt mit konstanter Geschwindigkeit auf direktem Kurs in Richtung des Punktes Z(2/36), den es 12 Minuten später erreicht. Geben Sie die Koordinaten jenes Vektors an, der den vom Boot innerhalb einer Minute zurückgelegten Weg beschreibt! 7

8 Parallelogramm Gegeben ist ein Parallelogramm, seine vier Eckpunkte sowie zwei Vektoren a und b, dargestellt als Pfeile: Aufgabenstellungen: Zeichnen Sie: i) vom Punkt C aus einen Pfeil, der den Vektor a darstellt ii) vom Punkt A aus einen Pfeil, der den Vektor a + b darstellt iii) vom Punkt B aus einen Pfeil, der den Vektor a darstellt iv) vom Punkt D aus einen Pfeil, der den Vektor a b darstellt 8

9 9 Geraden in der Ebene g und h sind zwei Geraden in Parameterdarstellung: + = + = : : t X h s X g Aufgabenstellungen: a) Sind die beiden Geraden zueinander parallel? Begründen Sie Ihre Antwort! b) Sind die beiden Geraden zueinander normal? Begründen Sie Ihre Antwort!

10 10 Identische Geraden? Gegeben sind zwei Geradengleichungen: g 1 : + = t 1 X g 2 : + = t 1 X Beschreiben die gegebenen Gleichungen ein und dieselbe Gerade? Begründen Sie Ihre Antwort! (Eine Zeichnung allein genügt nicht als Begründung.)

11 Höhe im Dreieck Von einem Dreieck kennt man die Koordinaten der Eckpunkte: A = 4 4 0, B =, C = Geben Sie eine Gleichung jener Geraden an, auf der die Höhe des Dreiecks liegt, die durch den Eckpunkt C verläuft! 11

12 Flächeninhalt eines Parallelogramms Zur Berechnung des Flächeninhaltes A eines Parallelogramms stehen unter anderen folgende Formeln zur Verfügung (Bezeichnung der Bestimmungsstücke siehe Abbildung): (1) (2) A = a h A = a b sinα a Aufgabenstellungen: a) Erklären Sie, wie man aus der Formel (1) die Formel (2) erhält! b) Begründen Sie, dass die bekannte Rechtecksformel A = a b ein Spezialfall der Formel (2) ist! 12

13 Steigung einer Straße Die Steigung (bzw. das Gefälle) von Straßen wird auf Verkehrsschildern in Prozent angegeben. Eine Angabe von 12 % Steigung bedeutet beispielsweise, dass auf einer waagrechten Strecke von 100 Metern die Höhe um 12 Meter zunimmt. Jeder Steigung von p (in %) entspricht ein bestimmter Steigungswinkel α. Aufgabenstellungen: a) Drücken Sie den Zusammenhang zwischen α und p in einer Formel aus! b) Wie groß ist der Steigungswinkel bei einer Steigung von 100 %? 0 c) Wie groß ist die Steigung (in Prozent) bei einem Steigungswinkel α = 12? 13

14 Sehwinkel Die scheinbare Größe eines entfernten Objektes wird meist durch den Sehwinkel α angegeben. Das ist jener Winkel, unter dem dieses Objekt (Höhe h) von einer Beobachterin B aus der Entfernung r wahrgenommen wird (siehe Grafik). Drücken Sie die Beziehung zwischen α, r und h durch eine entsprechende Formel aus! 14

15 Kräfteparallelogramm Eine Kugel wird auf einer schiefen Ebene aufgrund ihres Gewichtes G abwärts beschleunigt. Zur Bestimmung der beschleunigenden Kraft F 1 wird die Gewichtskraft G in die beiden Komponenten F 1 und F 2 zerlegt (siehe Graphik; die Größe der einzelnen Kräfte wird durch die Länge der entsprechenden Pfeile dargestellt). Aufgabenstellungen: a) Drücken Sie die beiden Komponenten F 1 und F 2 durch G und α aus! b) Für welchen Winkel α ist die beschleunigende Kraft F 1 gleich der halben Gewichtskraft? 15

16 DIN-A4-Diagonale Ein DIN-A4-Blatt hat folgende Abmessungen (in mm): 210 x 297. Wenn man ein DIN-A4-Blatt längs einer Diagonale teilt, entstehen zwei Dreiecke. γ β α Wie groß sind die Innenwinkel dieser Dreiecke? Winkel α Winkel β Winkel γ α β γ 16

17 Stehleiter Eine Stehleiter reicht ungefähr 1,93 m hoch, wenn sie auf α = 30 geöffnet wird. Aufgabenstellungen: i) Wie lang ist die zusammengeklappte Leiter? ii) Mit Sicherungskette lässt sich die Leiter auf höchstens α = 45 öffnen. Kann die Leiter dann 1,9 m hoch reichen? 17

18 Dachneigung Für ein Wohnhaus wurde von der Baubehörde eine Dachneigung von 23 vorgeschrieben. Das Haus ist 8 m breit. Ein Ausbau des Dachbodens kommt erst ab einer Giebelhöhe von 2,50 m in Frage. Kann ein Ausbau des Dachbodens erfolgen? 18

19 Welthandelspreise In nebenstehender Grafik ist die Entwicklung der Welthandelspreise im Zeitraum 1998 bis 2008/09 für einige ausgewählte landwirtschaftliche Produkte dargestellt. Kreuzen Sie in der folgenden Tabelle jeweils an, ob eine Aussage zutreffend oder nicht zutreffend ist: zutreffend nicht zutreffend Sojabohnen waren im Zeitraum 2000 bis 2005 auf dem Weltmarkt immer teurer als Reis. Alle vier Produkte erreichten 2008 ihren höchsten Weltmarktpreis im betrachteten Zeitraum. Der Weltmarktpreis für Weizen war von 1998 bis 2008 immer niedriger als der für Reis, aber höher als der für Mais. Von 1998 bis zum Jahr 2005 blieben die Weltmarkt- Tonnenpreise dieser vier Produkte unter 300 US-$. Der Weltmarktpreis für Mais blieb im Zeitraum von 1998 bis 2005 unter 100 US-$. 19

20 Rennwagen Links sehen Sie Abbildungen von fünf Rennstrecken: Jede Strecke ist drei Kilometer lang, die Skizzen sind nicht im selben Maßstab angefertigt. Rechts sehen Sie ein Diagramm, das die Fahrt während einer ganzen Runde darstellt. Auf welcher der fünf Rennstrecken fuhr der Wagen, sodass das rechts gezeigte Diagramm entstand? Rennstrecke 20

21 Schwimmbecken II Ein Schwimmbecken verfügt über einen Zufluss, für welchen man zwei Stufen einstellen kann: geringer Zufluss und starker Zufluss. Der folgende Graph beschreibt die Höhe des Wasserstandes im Schwimmbecken im Laufe von 6 Stunden, wobei diese Zeitspanne in drei Phasen A, B und C eingeteilt ist. Gegeben sind folgende Aussagen: Aussage A1: Während der gesamten Phase ist der Zufluss nicht geöffnet. Aussage A2: Innerhalb der Phase nimmt der Wasserstand um 1 dm zu. Aussage A3: Während der gesamten Phase erfolgt ein starker Zufluss. Aussage A4: Zuerst bleibt der Wasserpegel konstant, dann erfolgt ein geringer Zufluss. Markieren Sie jene Aussage(n), die auf die angegebene Phase zutrifft/zutreffen: Abschnitt A Abschnitt B Abschnitt C A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 21

22 Funktionale Zusammenhänge II Gegeben seien die folgenden Aussagen: (1) Verdoppelt man v, wächst u auf das Vierfache. (2) Verdoppelt man v, halbiert sich u. (3) Halbiert man v, halbiert sich u. (4) Vergrößert man v um 1, wächst u um 2. (5) Vergrößert man v um 1, verringert sich u um 3. Aufgabenstellungen: a) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an: 4 u = (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt v b) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an: 10 u = 2 (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt v c) Kreuzen Sie die der Formel entsprechende Aussage an: u = 2 v + 3 (1) (2) (3) (4) (5) Keine der Aussagen passt 22

23 Chemischer Prozess Damit ein chemischer Prozess optimal ablaufen kann, müsste sich die Temperatur y in einem Behälter innerhalb von 8 Minuten gemäß der dargestellten Grafik (x in Minuten) entwickeln. Von der dargestellten Solltemperatur ist die tatsächliche Temperatur zu unterscheiden. Diese beträgt am Anfang des Prozesses 6, anschließend wird sie gleichmäßig pro Minute um 3 erhöht. Wenn die tatsächliche Temperatur kleiner als die Solltemperatur ist, leuchtet eine blaue Lampe, ist die tatsächliche Temperatur größer als die Solltemperatur, leuchtet eine rote Lampe. Geben Sie bei jeder der folgenden Aussagen an, ob diese zutreffend oder nicht zutreffend ist: Nachdem genau 5 Minuten vergangen sind, leuchtet die blaue Lampe. Nachdem genau 3 Minuten vergangen sind, ist die Solltemperatur genau um 2 Grad größer als die tatsächliche Temperatur. Ab dem Beginn der 7. Minute bis zum Ende der 8. Minute leuchtet die rote Lampe. zutreffend nicht zutreffend 23

24 Handytarife II Es soll zwischen zwei Angeboten gewählt werden. Die beiden Handytarife (für je einen Monat) sind als lineare Funktionen der Form f(x) = k x + d modelliert und grafisch dargestellt. Tarif A Tarif B Aufgabenstellungen: i) Geben Sie die beiden Funktionsgleichungen an: für Tarif A: für Tarif B: ii) Bei weniger als 100 Gesprächsminuten pro Monat ist Tarif teurer als Tarif. 24

25 Nullstellen einer quadratischen Funktion I Gegeben sei eine quadratische Funktion mit f(x) = a x² + b, mit a 0; a, b R. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen über die Nullstellen einer quadratischen Funktion zutreffend bzw. nicht zutreffend sind: Gilt a > 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen. Gilt a < 0 und b < 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen. Gilt a > 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen. Gilt a < 0 und b > 0, dann hat die Funktion genau zwei verschiedene reelle Nullstellen. Gilt b = 0, dann hat die Funktion genau eine reelle Nullstelle. zutreffend nicht zutreffend 25

26 Lineare und quadratische Funktion In der nachfolgenden Grafik ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x 2 und der Graph einer linearen Funktion g dargestellt. Aufgabenstellungen: a) Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion g! b) Der Graph der Funktion f und der Graph der Funktion g schneiden einander. Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte! 26