Exemplar für Prüfer/innen

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1 Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Oktober 216 Mathematik Kompensationsprüfung 1 Angabe für Prüfer/innen

2 Hinweise zur Kompensationsprüfung Die vorliegenden Unterlagen zur Kompensationsprüfung umfassen fünf Aufgaben, die unabhängig voneinander bearbeitbar sind. Jede Aufgabe gliedert sich in zwei Aufgabenteile: Bei der Aufgabenstellung muss die Kandidatin / der Kandidat die jeweilige Grundkompetenz nachweisen und bei der Beantwortung der anschließenden Leitfrage ihre/seine Kommunikationsfähigkeit unter Beweis stellen. Die Prüfer/innen finden im Anschluss an die Aufgabenstellungen auch die Lösungserwartungen und die Lösungsschlüssel. Die Vorbereitungszeit beträgt mindestens 3 Minuten, die Prüfungszeit maximal 25 Minuten. Beurteilung Jede Aufgabe wird mit null, einem oder zwei Punkten bewertet. Dabei ist für jede Aufgabenstellung ein Grundkompetenzpunkt und für jede Leitfrage ein Leitfragenpunkt zu erreichen. Insgesamt können maximal zehn Punkte erreicht werden. Für die Beurteilung der Prüfung ergibt sich folgendes Schema: Note zumindest erreichte Punkte Genügend Befriedigend Gut Sehr gut 4 Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 5 Grundkompetenzpunkte + Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 3 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 1 Leitfragenpunkt 4 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 3 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte 5 Grundkompetenzpunkte + 2 Leitfragenpunkte 4 Grundkompetenzpunkte + 3 Leitfragenpunkte Über die Gesamtbeurteilung entscheidet die Prüfungskommission; jedenfalls werden sowohl die von der Kandidatin / vom Kandidaten im Rahmen der Kompensationsprüfung erbrachte Leistung als auch das Ergebnis der Klausurarbeit dafür herangezogen. Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 2/13

3 Bewertungsraster zur Kompensationsprüfung Dieser Bewertungsraster liegt zur optionalen Verwendung vor und dient als Hilfestellung bei der Beurteilung. Grundkompetenzpunkt erreicht Leitfragenpunkt erreicht Aufgabe 1 Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 3/13

4 Aufgabe 1 Parallelogramm Gegeben ist ein Parallelogramm ABCD mit a = AB und b = AD. Aufgabenstellung: Für den Punkt E gilt: E = D + a 1 2 b. Zeichnen Sie den Punkt E in der nachstehenden Abbildung ein! D C b A a B Für den Mittelpunkt M des Paralellogramms gilt: M = E + c. Geben Sie den Vektor c in Abhängigkeit von den gegebenen Vektoren a und/oder b an! Leitfrage: Zusätzlich zu den Vektoren a und b ist eine Zahl r R + gegeben. Geben Sie an, welche der nachstehenden Terme einen Vektor beschreiben und welche als Ergebnis eine Zahl liefern! a + b r a a b a (a + r b) Erläutern Sie anhand der nachstehenden Abbildung die grafische Bedeutung derjenigen Terme, die einen Vektor beschreiben! D C b A a B Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 4/13

5 Lösung zur Aufgabe 1 Parallelogramm Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: D C b E A a B c = 1 2 a Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl der Punkt E korrekt eingezeichnet als auch c korrekt angegeben wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: Einen Vektor beschreiben die Terme a + b und r a. Eine Zahl als Ergebnis liefern die Terme a b und a (a + r b). Grafische Bedeutung: a + b: ein zu AC gleich langer, paralleler und gleich orientierter Vektor r a: Vielfaches des Vektors a (Vektor mit derselben Richtung wie a) D C b a + b A r a a B Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl korrekt angegeben wird, welche Terme einen Vektor beschreiben und welche als Ergebnis eine Zahl liefern, als auch die grafische Bedeutung der Vektoren (sinngemäß) korrekt erläutert wird. Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 5/13

6 Aufgabe 2 Einheitskreis In der nachstehenden Abbildung sind ein Kreis mit dem Radius r = 1 sowie ein Punkt P auf der Kreislinie und ein Winkel φ dargestellt. 1 y P 1 φ 1 x 1 Aufgabenstellung: Geben Sie die Koordinaten des Punktes P in Abhängigkeit vom Winkel φ an! Begründen Sie mithilfe der obigen Abbildung die Gültigkeit der Gleichungen tan(φ) = sin(φ) cos(φ) und sin 2 (φ) + cos 2 (φ) = 1. Leitfrage: Geben Sie in jeder Zeile der nachstehenden Tabelle jeweils einen möglichen Winkel im Intervall [ ; 36 ] an, für den sowohl Bedingung 1 als auch Bedingung 2 erfüllt sind! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Bedingung 1 Bedingung 2 möglicher Winkel φ sin(φ) > cos(φ) < sin(φ) < cos(φ) = sin(φ) =,5 cos(φ) > sin(φ) <,5 cos(φ) < Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 6/13

7 Lösung zur Aufgabe 2 Einheitskreis Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: P = (cos(φ) sin(φ)) Mögliche Begründungen: Der Tangens ist der Quotient aus der Gegenkathete (y-koordinate vom Punkt P) und der Ankathete (x-koordinate vom Punkt P), also gilt: tan(φ) = sin(φ) cos(φ). Aus dem Satz von Pythagoras (x 2 + y 2 = 1) ergibt sich sin 2 (φ) + cos 2 (φ) = 1. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Punkt P richtig angegeben und die Gültigkeit der angegebenen Gleichung (sinngemäß) richtig begründet wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: Bedingung 1 Bedingung 2 möglicher Winkel φ sin(φ) > cos(φ) < 15 sin(φ) < cos(φ) = 27 sin(φ) =,5 cos(φ) > 3 sin(φ) <,5 cos(φ) < 16 Die Vorgehensweise kann z. B. über den Einheitskreis oder auch über Graphen der Winkelfunktionen erläutert werden. Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn in jeder Zeile ein möglicher Winkel richtig angegeben und eine (sinngemäß) richtige Vorgehensweise erläutert wird. Bedingung 1 Bedingung 2 als richtig zu wertende Winkel sin(φ) > cos(φ) < 9 < φ < 18 sin(φ) < cos(φ) = φ = 27 sin(φ) =,5 cos(φ) > φ = 3 sin(φ) <,5 cos(φ) < 15 < φ < 27 Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 7/13

8 Aufgabe 3 Reelle Funktion Von einer reellen Funktion f ist folgende Wertetabelle gegeben: Aufgabenstellung: x f(x) Nehmen Sie an, dass die reelle Funktion f eine lineare Funktion ist. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f und ergänzen Sie die fehlenden Werte in der Wertetabelle! Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: Die Funktion f mit den oben angegebenen Wertepaaren f( 4) = 2 und f(4) = 2 soll nun eine Polynomfunktion zweiten Grades mit der Funktionsgleichung f(x) = a x 2 + b x + c (a, b, c R, a ) sein. Erklären Sie den Zusammenhang zwischen dem Vorzeichen von a und dem Krümmungsverhalten von f! Die beiden in der Tabelle angegebenen Wertepaare sind in der nachstehenden Abbildung eingezeichnet. Zeigen Sie grafisch anhand einer geeigneten Skizze im unten abgebildeten Koordinatensystem, warum die Funktion f genau eine Nullstelle im Intervall ( 4; ) hat, wenn sie rechtsgekrümmt (negativ gekrümmt) ist! 4 f(x) x Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 8/13

9 Lösung zur Aufgabe 3 Reelle Funktion Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: Möglicher Lösungsweg: f(x) = k x + d und Einsetzen von f( 4) = 2 und f(4) = 2 führen zu folgenden Gleichungen: 4 k + d = 2 4 k + d = 2 Daraus folgen die Werte k =,5 und d =. Die Funktionsgleichung lautet: f(x) =,5 x. Vervollständigte Tabelle: x f(x) , Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Funktionsgleichung korrekt angegeben wird und die fehlenden Werte in der Tabelle richtig ergänzt werden. Lösungserwartung zur Leitfrage: f (x) = 2 a Mögliche Skizze: 3 f(x) Wenn a > ist, dann ist f linksgekrümmt; wenn a < ist, dann ist f rechtsgekrümmt. Da es sich um eine Polynomfunktion zweiten Grades handelt, wechselt das Krümmungsverhalten im gesamten Definitionsbereich nicht. N f x 2 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zusammenhang zwischen dem Krümmungsverhalten und dem Vorzeichen von a korrekt angegeben wird und eine der Lösungserwartung entsprechende Skizze vorliegt. Der skizzierte Graph von f muss durch die beiden eingezeichneten Punkte ( 4 2) und (4 2) gehen und die Form einer nach unten offenen Parabel haben. Aus der Skizze muss hervorgehen, dass es genau eine Nullstelle im Intervall ( 4; ) gibt. Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 9/13

10 Aufgabe 4 Kraft Weg Die Kraft, durch die ein Objekt entlang eines geraden Weges beschleunigt wird, kann modellhaft durch eine Funktion F beschrieben werden. Dabei ist F(s) die Kraft in Abhängigkeit vom Ort s, an dem sich das Objekt gerade befindet (F(s) in Newton, s in Metern). Im nachstehenden Diagramm ist der Graph der Funktion F dargestellt. 4 F(s) in N 3 2 F 1 s in m Aufgabenstellung: Die Arbeit W (in Joule), die von s = m bis s = 6 m aufgewendet wird, lässt sich durch den Ausdruck W = 6 F(s) ds beschreiben. Geben Sie den Zahlenwert dieses Ausdrucks an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! W = Joule Leitfrage: Ermitteln Sie denjenigen Ort s 1 [; 6], für den gilt: s 1 F(s) ds = 6 F(s) ds! s 1 Interpretieren Sie die Aussage dieser Gleichung im gegebenen Zusammenhang! Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 1/13

11 Lösung zur Aufgabe 4 Kraft Weg Lösungserwartung zur Aufgabenstellung: W = 13,5 Joule Mögliche Vorgehensweise: Der Zahlenwert entspricht dem Flächeninhalt unter dem Streckenzug. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn der Zahlenwert korrekt angegeben und eine korrekte Vorgehensweise erläutert wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: s 1 = 2,25 Die Aussage dieser Gleichung ist, dass auf der Wegstrecke [; s 1 ] dieselbe Arbeit wie auf der Wegstrecke [s 1 ; 6] aufgewendet werden muss. Ein Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn sowohl s 1 als auch eine (sinngemäß) korrekte Interpretation angegeben werden. Toleranzintervall: [2,2; 2,3] Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 11/13

12 Aufgabe 5 Schach Susi gewinnt eine Partie beim Schach-Spielen gegen ihren Vater mit einer Wahrscheinlichkeit von 6 %, gegen ihre Mutter allerdings nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 3 %. Aufgabenstellung: Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Susi bei zwei aufeinanderfolgenden Partien gegen ihren Vater keine der beiden gewinnt, und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Leitfrage: In einem internen Wettkampf soll Susi hintereinander drei Partien gegen ihre Eltern spielen, die diese Partien in wechselnder Reihenfolge spielen. Gewinnt Susi mindestens zwei aufeinanderfolgende Partien, so wurde ein Geldpreis vereinbart. Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit für Susi bei diesem Wettkampf höher ist, wenn das erste Spiel gegen die Mutter erfolgt! Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 12/13

13 Lösung zur Aufgabe 5 Schach Lösungserwartung zur Aufgabenstellung:,4,4 =,16 Die Wahrscheinlichkeit, dass Susi eine Partie gegen ihren Vater nicht gewinnt, beträgt,4. Zur Berechnung der gefragten Wahrscheinlichkeit muss die Multiplikationsregel verwendet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass Susi bei zwei aufeinanderfolgenden Partien gegen ihren Vater keine der beiden gewinnt, beträgt,16. Der Grundkompetenzpunkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet (auch eine Angabe in Prozent oder als Bruch ist als richtig zu werten) und die Vorgehensweise (sinngemäß) richtig erklärt wird. Lösungserwartung zur Leitfrage: M... Mutter V... Vater P(M, V, M) =,3,6,7 +,3,6,3 +,7,6,3 =,36 P(V, M, V) =,6,3,6 +,6,3,4 +,4,3,6 =,252 Der Leitfragenpunkt ist genau dann zu geben, wenn beide Wahrscheinlichkeiten richtig berechnet werden. Toleranzintervall: [,3;,31] bzw. [,25;,26] Kompensationsprüfung 1 / Oktober 216 / MAT / Prüfer/in S. 13/13