Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer linearen Funktion h.

Transkript

1 Stammunktionen Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer linearen Funktion h. h(), H() h Skizzieren Sie in obiger Abbildung den Graphen einer Stammunktion H von h und erklären Sie Ihre Vorgehensweise! Begründen Sie, warum es unendlich viele Stammunktionen der dargestellten Funktion h gibt, und geben Sie an, worin sich die Graphen dieser Stammunktionen unterscheiden! Geben Sie mithile der Stammunktion H einen (allgemeinen) Term zur Berechnung des Integrals h() d an! Kompensationsprüung / Juni 6 / MAT / Kandidat/in S. 6/7 öentliches Dokument

2 Flächenberechnung Gegeben sind die Graphen von zwei quadratischen Funktionen und g, die symmetrisch zur senkrechten Achse liegen: g (), g() E A B C O D Dabei gilt: B = (a b) D = (d ) O = ( ) E = ( e) mit a, b, d, e Die Graphen von g und und die positive -Achse begrenzen ein Flächenstück. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Größe dieses Flächenstücks an! Skizzieren Sie den Graphen der Stammunktion F der Funktion mit F() = in der gegebenen Abbildung! Markieren Sie in der Abbildung diejenige Fläche, deren Inhalt gleich F(d) ist! Kompensationsprüung 4 / Juni 6 / MAT / Kandidat/in S. 6/7 öentliches Dokument

3 Augabe Federkrat Wird eine Feder gedehnt, so ist die Krat, die zur Dehnung der Feder augewendet werden muss, direkt proportional zur Ausdehnung. Die Funktion F beschreibt die auzuwendende Krat in Abhängigkeit von der Ausdehnung. Es gilt: F() = k. Dabei wird in Metern (m) und F() in Newton (N) angegeben. Die Konstante k wird als Federkonstante bezeichnet und gibt die Härte einer Feder an. Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von F und kennzeichnen Sie k in Ihrer Skizze! Geben Sie einen Term in Abhängigkeit von k an, mit dem man diejenige Arbeit berechnen kann, die notwendig ist, um die Feder um die Länge zu dehnen! Geben Sie an, wie sich die Arbeit ändert, wenn die Feder um die Länge gedehnt wird! Kompensationsprüung 9 / Juni 6 / MAT / Kandidat/in S. 5/7 öentliches Dokument

4 Integral Gegeben ist die lineare Funktion mit () = +. Geben Sie eine Gleichung derjenigen Stammunktion F der Funktion an, ür die F() = gilt! Ermitteln Sie den Wert des bestimmten Integrals 4 () d! Stellen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion dar und erklären Sie anhand des Graphen, warum in diesem Fall 4 () d = () d gilt! 5 () Kompensationsprüung / Mai 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

5 Stammunktion In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Stammunktion F einer Polynomunktion dargestellt. Die Funktion F ist symmetrisch zur senkrechten Achse. F() F Geben Sie den Wert des Integrals c () d mit c + an und erläutern Sie, welche Überlegungen zu diesem Wert c ühren! Die Funktion F ist eine Polynomunktion zweiten Grades mit der Funktions gleichung F() = a + b mit a, b. Erläutern Sie, wie sich eine Veränderung des Parameters b au den Wert des bestimmten Integrals z () d mit z > auswirkt, und begründen Sie Ihre Entscheidung! Kompensationsprüung 5 / Mai 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

6 Integral Gegeben ist die lineare Funktion mit () = +. Geben Sie eine Gleichung derjenigen Stammunktion F der Funktion an, ür die F() = gilt, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Ermitteln Sie den Wert des bestimmten Integrals () d und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Stellen Sie den Graphen der Funktion im nachstehenden Koordinatensystem dar und erklären Sie, warum in diesem Fall der Wert des bestimmten Integrals nicht mit dem Inhalt derjenigen Fläche übereinstimmt, die im Intervall [; ] vom Graphen und von der -Achse eingeschlossen wird! 5 () Kompensationsprüung 6 / Mai 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

7 Wandläche Eine Wandläche hat drei geradlinige Berandungen, die durch die -Achse, die senkrechte Achse und die Gerade mit der Gleichung = modelliert werden können. Die vierte Grenze kann durch eine Polynomunktion zweiten Grades mit der Gleichung () =,4 +,4 + modelliert werden. Die nachstehende Abbildung zeigt modellhat den Verlau der Grenzen dieser Wand (Maße in Metern). () Geben Sie eine Stammunktion F von an und bestimmen Sie den Inhalt der Wandläche mithile dieser Stammunktion! Die Wandläche soll in Teilbereichen mit unterschiedlichen Farben bemalt werden. Variante : Die Wandläche soll durch zwei zur senkrechten Achse parallele Geraden in drei lächengleiche Teile geteilt werden. Zeigen Sie, dass die erste Gerade die Gleichung =,46 hat, und geben Sie die Gleichung der zweiten Geraden an! Variante : Die Wandläche soll durch eine zur -Achse parallele Gerade in der Höhe h in zwei lächengleiche Teile geteilt werden. Berechnen Sie h! Kompensationsprüung / Oktober 7 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

8 Augabe Bestimmtes Integral Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomunktion mit () = +. () Geben Sie einen Term zur Berechnung des Inhalts derjenigen Fläche an, die vom Graphen der Funktion und der -Achse begrenzt wird, und berechnen Sie diesen! Ergänzen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion g mit g() =! Für a = gilt: a [() g()] d =. Erläutern Sie den durch diese Gleichung beschriebenen Sachverhalt mithile der nachstehenden Abbildung! (), g() Erläutern Sie, wie sich eine Vergrößerung von a au den Wert des angegebenen bestimmten Integrals auswirkt! Kompensationsprüung / Oktober 7 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

9 Augabe Funktionen Gegeben sind die Gleichungen und Graphen der Funktionen und g mit: () = sin() g() = (), g() g Berechnen Sie diejenige Stelle im Intervall [; π], ür die ( ) = g ( ) gilt, und erklären Sie, wie man diese Stelle graisch ermitteln kann! Die Gleichung () = g() hat ür drei Lösungen a, und c mit a < < c. Stellen Sie den Wert des Terms c (() g()) d in der oben stehenden Abbildung graisch dar! Geben Sie den Wert des Terms c (() g()) d an! a Kompensationsprüung / Jänner 8 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

10 Augabe Polynomunktion vierten Grades In der nachstehenden Abbildung ist der Graph einer Polynomunktion vierten Grades mit der Funktionsgleichung () = a 4 + b + c mit a, b, c dargestellt. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig. 7 () Ermitteln Sie die Parameter a, b und c der Funktion! Geben Sie diejenigen Intervalle an, in denen () > gilt, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Geben Sie ein k mit k > so an, dass die nachstehende Gleichung allgemeingültig ist, und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! () d k () d = () Es gibt einen weiteren Wert h, h, ür den die Gleichung () d h () d = () erüllt ist. Berechnen Sie diesen Wert! Kompensationsprüung 6 / Juni 8 / MAT / Kandidat/in S. 5/7

11 Stammunktion Für eine Funktion gilt (4) = 4, die Gleichung ihrer Ableitungsunktion lautet () = ür alle. Geben Sie eine Gleichung der Funktion an! Die Funktion g ist eine Stammunktion von. Der Graph von g und die -Achse begrenzen eine Fläche der Größe 44 Flächeneinheiten. Geben Sie eine Gleichung der Funktion g an und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise! Kompensationsprüung 8 / Juni 8 / MAT / Kandidat/in S. 6/7

12 Augabe Funktion und Stammunktion Die nachstehende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer Polynomunktion dritten Grades. Die Koordinaten der eingezeichneten Punkte sind ganzzahlig. 4 () 4 5 Geben Sie die Anzahl und die Lage der Etremstelle(n) und Wendestelle(n) einer Stammunktion F von an! Der Graph der Funktion schließt mit der -Achse zwei endliche Flächenstücke ein. Stellen Sie einerseits unter Verwendung von und andererseits unter Verwendung von F jeweils eine Formel zur Berechnung des (gesamten) Flächeninhalts dieser beiden Flächenstücke au! In der nebenstehenden Abbildung wird das größere Flächenstück durch gleich breite Rechtecke angenähert. Die Summe dieser Rechtecksl ächen (Obersumme) kann als Näherungswert ür den Flächeninhalt des größeren Flächenstücks herangezogen werden. Geben Sie den Wert der dargestellten Obersumme an und berechnen Sie unter Verwendung einer geeigneten Modellunktion, um wie viel dieser Wert vom tatsächlichen Wert des Flächeninhalts dieses Flächenstücks abweicht! () Kompensationsprüung / Oktober 8 / MAT / Kandidat/in S. 5/7