Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

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Fritzi Lenz
vor 5 Jahren
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1 Ergänzungsprüung zum Erwerb der Fachhochschulreie 0 Prüungsach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüungstag: Donnerstag,. Juni 0 Prüungsdauer: 9:00 :00 Uhr Hilsmittel: Elektronischer, nicht programmierbarer Taschenrechner; zugelassene Formelsammlung Hinweise: Der Bereich Analysis besteht aus vier Augaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Augaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Augaben trit die Schule. Die Augabe Analytische eometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.

2 Analysis: Augabe.0 x egeben ist die reelle Funktion mit + x = au ihrem maximalen x Deinitionsbereich D IR. Der raph der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.. Bestimmen Sie den maximalen Deinitionsbereich von.. Ermitteln Sie die leichungen aller Asymptoten von. Teilergebnis: x = x + + x. Bestimmen Sie Art und Koordinaten aller relativer Extrempunkte von. x x8 Teilergebnis: x = x. Berechnen Sie die Funktionswerte von an den Stellen x, x und x au eine Nachkommastelle gerundet. Zeichnen Sie in ein kartesisches Koordinatensystem die zugehörigen raphenpunkte P x x, P x x und P x x sowie alle Extrempunkte von ein. Skizzieren Sie sodann den Verlau des raphen bisherigen Ergebnisse., alle Asymptoten unter Berücksichtigung aller. Der raph und die erade mit der leichung y 8 schließen ein endliches Flächenstück ein. Markieren Sie dieses Flächenstück in Ihrer Skizze zu Augabe. und berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. Summe:

3 Analysis: Augabe.0 egeben ist die reelle Funktion x : x x e au ihrer Deinitionsmenge D IR. Der raph der Funktion in einem rechtwinkligen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.. Bestimmen Sie die Schnittpunkte des raphen mit den Koordinatenachsen.. Ermitteln Sie das Verhalten von leichungen aller Asymptoten von x ür x bzw. an. x und geben Sie die. Bestimmen Sie Art und Koordinaten des Extrempunktes des raphen. Teilergebnis : x x e x. Berechnen Sie 0 und, und skizzieren Sie den raphen im Bereich 0, x unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in einem geeigneten Koordinatensystem.. Nennen Sie hinreichend viele Argumente daür, dass im Intervall 0; einen Wendepunkt besitzt. x. Zeigen Sie, dass F : x x e, mit xir eine Stammunktion von ist. Berechnen Sie das bestimmte Integral 0 x dx und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. Summe:

4 Analysis: Augabe.0 Die Flugbahn eines egenstandes kann unter bestimmten Vereinachungen als eine nach unten geönete Parabel h mit dem zugehörigen Funktionsterm hx ax bx c mit a,b,cir, a 0 augeasst werden. (Au die Mitührung der Einheiten wird in dieser Augabe verzichtet.) h p Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Startpunkt der Flugbahn h. Der Abwur des egenstandes erolgt unter einem Winkel von zur Horizontalen. Der egenstand schlägt bei x 0 (Meter) wieder au dem Boden au. Der Verlau des eländeproils kann angenähert durch den raphen einer Funktion p mit dem olgenden Funktionsterm beschrieben werden: px x x ; x 0; Ermitteln Sie den Funktionsterm h x und geben Sie einen sinnvollen Deinitionsbereich ür die Funktion h an. mögliches Ergebnis h x 0, 0x x. Bestimmen Sie die Koordinaten des höchsten Punktes A der Flugbahn h bezogen au die Abwurhöhe.. Zeigen Sie, dass das elände an der Stelle x 0 die Steigung 8 m besitzt.. Prüen Sie, ob der egenstand senkrecht zum elände einschlägt.

5 ..0 Die Funktion r mit dem Funktionsterm r x, x, x x ; x ; ordnet jedem x die momentane Flughöhe des egenstandes über dem elände zu... eben Sie die Nullstellen von r ür x 0; 0 an... Berechnen Sie die Stelle x, an der die Flugbahn die maximale Flughöhe über dem elände auweist. Berechnen Sie diese maximale Flughöhe au zwei Nachkommastellen gerundet. 7 Summe:

6 Analysis: Augabe.0 Die Funktion p mit dem Funktionsterm pt beschreibt ür t 0 t t (nach hetigen Regenällen) den Pegelstand eines Flusses an einer Messstation in Abhängigkeit von der Zeit t. Der Zeitpunkt t 0 kennzeichnet das Ende der Regenälle. Dabei wird t in Tagen und pt in Metern gemessen. Bei der Rechnung soll au die Einheiten verzichtet werden.. Bestimmen Sie den Pegelstand zum Zeitpunkt t 0und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von p ür t. eben Sie die leichung und Art der Asymptote des raphen der Funktion p an.. Zeigen Sie, dass der Pegelstand des Flusses nach dem Ende der Regenälle noch weiter ansteigt, und ermitteln Sie den Zeitpunkt des Höchststandes ( Scheitel ) des Pegels. Berechnen Sie auch den Scheitelwert des Pegels. mögliches Teilergebnis : p t t t t. Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt der Pegelstand am stärksten ällt.. Sinkt der Pegelstand unter drei Meter, sind keine Straßen und Wege mehr überlutet. Berechnen Sie den Zeitpunkt der damit ausgesprochenen Entwarnung.. Skizzieren Sie nach Berechnung von p0 den raphen p samt seiner Asymptote im Bereich 0t 0 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse in einem geeigneten Koordinatensystem. Summe:

7 7 Analytische eometrie: Augabe.0 egeben sind im IR die Ebenen E : x x x 0 F : x x x 0 sowie der Punkt A. und. Zeigen Sie explizit, dass die beiden Ebenen E und F nicht parallel sind, und berechnen Sie sodann ihren Schnittwinkel. Weisen Sie nach, dass der Punkt A beiden Ebenen angehört.. Ermitteln Sie eine leichung der Schnittgeraden g beider Ebenen. 0 ein mögliches Teilergebnis lautet : g : x. Ermitteln Sie den Schnittpunkt C der eraden g mit der xx Ebene. Berechnen Sie sodann die Enternung des Punktes A vom Punkt C.. egeben ist das Dreieck ABC mit B 0 und C 0 0. Überprüen Sie, ob es sich beim Dreieck ABC um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.. Die Punkte A, B, C und S Spitzen k k k k mit kir bilden Pyramiden mit den S k. Berechnen Sie die Volumina dieser Pyramiden in Abhängigkeit von k. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis.. Die Pyramiden aus. werden au halber Höhe von einer zur rundläche parallelen Ebene geschnitten. Dabei entstehen Restpyramiden und Pyramidenstumpe. Wie verhalten sich die Volumina der Restpyramiden zu den Volumina der ursprünglichen Pyramiden? Begründen Sie Ihre Antwort möglichst einach und anschaulich. Summe:

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