Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)

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1 Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 006 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag,. Juni 006 Prüfungsdauer: 09:00 1:00 Uhr Hilfsmittel: Elektronischer, nichtprogrammierbarer Taschenrechner, zugelassene Formelsammlung Hinweis: Der Bereich Analysis besteht aus vier Aufgaben. Die Schülerinnen und Schüler haben daraus drei Aufgaben zu bearbeiten. Die Auswahl der Aufgaben trifft die Schule. Die Aufgabe Analytische Geometrie ist von allen Schülern zu bearbeiten.

2 Analysis: Aufgabe ( x) Gegeben ist die reelle Funktion f: x mit der maximalen Definitionsmenge D(f). Der Graph der Funktion in einem kartesischen Koor- x + 1 dinatensystem heißt G(f). 1.1 Geben Sie den Definitionsbereich D(f) an und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen G(f) mit den Koordinatenachsen Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G(f). 1.3 Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph G(f) streng monoton steigt bzw. streng monoton fällt. Bestimmen Sie Art und Lage der Extremalpunkte des Graphen G(f). ' x + x 1 [mögliches Teilergebnis: f(x) = ] (x+ 1) 1. Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und einer geeigneten Wertetabelle den Graphen G(f) und seine Asymptoten im Bereich 6 x 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE 1 cm) 1. Der Graph G(f) schließt mit den beiden Koordinatenachsen im I. Quadranten ein Flächenstück ein. Markieren Sie diese Fläche in der Zeichnung von Teilaufgabe 1. und berechnen Sie deren Maßzahl. 7 6 Summe:

3 Analysis: Aufgabe.0 x² x Gegeben ist die reelle Funktion f: x in der maximalen Definitionsmenge D(f) =. 0,x e Der Graph der Funktion f in einem kartesischen Koordinatensystem heißt G(f)..1 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion f. 3. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f für x. 3.3 Bestimmen Sie Art und Lage der Extremalpunkte von G(f). 0, x² +,x [Teilergebnis: f (x) = ] 0,x e. Erstellen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen G(f) im Punkt A(; f()) und bestimmen Sie außerdem die Gleichung der Geraden, die im Punkt A senkrecht auf dieser Tangente steht.. Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse den Graphen G(f) im Bereich 1, x 7 in ein kartesisches Koordinatensystem. (Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE 1 cm.) 0,x.6 Zeigen Sie, dass F(x) = ( x + 3x+ ) e eine Stammfunktion von f ist und berechnen Sie die Maßzahl des endlichen Flächenstücks, das der Graph G(f) im III. und IV. Quadranten mit der x-achse einschließt. 6 Summe:

4 Analysis: Aufgabe Ein Planungsbüro hat den Auftrag, den Entwurf zur Erstellung einer Lagerhalle mit rechteckiger Grundfläche (Schraffur im Bild) zu überprüfen und gegebenenfalls zu A korrigieren. Zwei Wände der Lagerhalle sollen auf der y unteren und rechten 0 C Grundstücksgrenze liegen. Die Grundstücksfläche hat einen rechteckigen Zuschnitt P b von 30m x 0m und wird von einer Bahntrasse Lagerhalle durchschnitten (siehe Skizze). B l Der linke obere Begrenzungspunkt P der Halle liegt auf der S kurvenäußeren Begrenzung des Bahndammes. 30 x Für die folgenden Teilaufgaben sind nur Maßzahlen zu berücksichtigen Die kurvenäußere Begrenzung des Bahndamms soll folgenden Vorgaben genügen: Parabelförmiger Verlauf mit Scheitelpunkt S (-10; 10) und Punkt A (30; 0) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion f, deren Graph diese Bedingung erfüllt. [Ergebnis: f( x) = 1 x + 1 x+ 1,] Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte B und C, bei denen die Bahnlinie G(f) die Grundstücksgrenzen durchstößt! 3. Bestimmen Sie die Maßzahl der Hallenfläche bei einer Hallenlänge l=. [Ergebnis: A = 387,7] Es soll nun die Lage des Begrenzungspunktes P(x; f(x)) so gefunden werden, dass die Halle die größtmögliche Lagerfläche bietet Stellen Sie die Maßzahl A(x) der Hallenfläche in Abhängigkeit von x dar und geben Sie die Definitionsmenge D(A) an! 3 [Ergebnis: Ax ( ) = 1 x + 1 x + x+ 37] Bestimmen Sie die Hallenbreite b so, dass die Hallenfläche ihren absolut größten Wert A max annimmt und berechnen Sie A max. 3. Berechnen Sie den Flächengewinn in Prozent im Vergleich zur ursprünglichen Planung (siehe Aufgabe 3.) 7 Summe:

5 Analysis: Aufgabe.0 Ein kleines Unternehmen stellt Spezialfolien für die Raumfahrt her. Die Folie kann zum Verkauf millimetergenau zugeschnitten werden. Aufgrund seiner guten Marktposition kann das Unternehmen die gesamte Produktion verkaufen. Die Herstellungskosten K werden durch die Funktionsgleichung 0; K(x) = 10x 3 90x + 00x + 000; D(K)= [ [ beschrieben, wobei x die produzierte Menge in Metern angibt. Der Graph der Funktion K heißt G(K). Der Ertrag E(x) ergibt sich als Produkt aus dem Verkaufspreis von 700 pro Meter und der verkauften Meterzahl x. Der Graph der Funktion E heißt G(E). Für die folgenden Teilaufgaben sind nur die Maßzahlen zu berücksichtigen..1 Beschreiben Sie kurz, welche wirtschaftliche Bedeutung die Konstante im Funktionsterm von K hat.. Der Gewinn G errechnet sich aus der Differenz von Ertrag und Kosten. Der Graph der Funktion G heißt G(G). Ermitteln Sie nachvollziehbar die Gleichung der Gewinnfunktion G(x) und geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich D(G) an. [Ergebnis: G(x)= 10x 3 +90x +300x 000].3 Berechnen Sie die Anzahl der zu produzierenden Folienmeter, wenn das Unternehmen den größtmöglichen Gewinn erzielen möchte. Geben Sie die Höhe des maximalen Gewinns an.. Bestimmen Sie die Grenzen des Bereiches, in dem ein Gewinn erzielt werden kann. (Hinweis: Für x=10 wird weder ein Gewinn noch ein Verlust erzielt.). Zeichnen Sie die Graphen G(G), G(E) und G(K) in ein kartesisches Koordinatensystem im Bereich 0 x 10 ein. Verwenden Sie dazu für G(G) und G(K) eine Wertetabelle mit der Schrittweite x =. (Maßstab: 1 cm auf der x-achse 1m, 1 cm auf der y-achse 1000 ).6 Die Stückkosten k(x) errechnen sich als Quotient der Gesamtkosten K(x) ( ) 000 und der Meteranzahl x, d.h. es gilt: k(x) = K x 10x 90x 00 x = + + x. Begründen Sie ohne weitere Rechnung das Verhalten der Funktion für x 0 und interpretieren Sie seine wirtschaftliche Bedeutung. 1 8 Summe:

6 Analytische Geometrie.0 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(;1;1), B(1;6;-1), C(0;3;7) und D a (a+11;-;a) mit a IR gegeben..1 Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E in Parameter- und Normalenform, die die Punkte A, B und C enthält. Geben Sie den Schnittpunkt der Ebene E mit der x 1 -Achse an. [mögliches Ergebnis: E: x 1 + x +x 3 13 = 0]. Bestimmen Sie a so, dass die Punkte D a nicht in der Ebene E liegen. 3.3 Bestimmen Sie für a = 0 den Abstand des Punktes D 0 von der Ebene E.. Alle Punkte D a liegen auf der Geraden g. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g. Begründen Sie, welche besondere Lage diese Gerade im Koordinatensystem hat [mögliches Teilergebnis: g: x = - + σ 0 ] 0 1. Geben Sie den Schnittpunkt der Gerade g mit der Ebene E an und ermitteln Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g und der Ebene E..6 Die Ebene F steht auf der Ebene E senkrecht und enthält die Gerade g. Stellen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform auf. 3 Summe: