. Der Graph einer solchen Funktion wird mit G a. an und bestimmen Sie die Art der Definitionslücke. ID = IR \ { 2 a } 2 1 = 0 1 = 0 Widerspruch

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1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 0 Mathematik Technik - A I - Lösung Teilaufgabe.0 a Gegeben sind die reellen Funktionen f a ( ) mit a IR in der maimalen a Definitionsmenge D a. Der Graph einer solchen Funktion wird mit G a bezeichnet. Teilaufgabe. ( BE) Geben Sie D a an und bestimmen Sie die Art der Definitionslücke. a 0 auflösen a ID IR \ { a } Nennernullstelle in Zähler einsetzen: ( a) a ( a) 0 a a 0 0 Widerspruch Die Definitionslücke ist also eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. Teilaufgabe. (6 BE) Ermitteln Sie, für welche Parameterwerte a die Funktion f a zwei verschiedene Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle hat, und geben Sie die entsprechenden Nullstellen jeweils an. f a ( ) 0 a 0 a a a a Zwei Nullstellen, falls a 0 auflösen a a a a a a a Eine Nullstelle, falls a 0 auflösen a a a Keine Nullstellen, falls a 0 auflösen a a AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite von 8

2 Teilaufgabe. (6 BE) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte f a ( ) für und bestimmen Sie die Gleichungen aller Asymptoten des Graphen G a. Polynomdivision: a a ( a ) Schiefe Asympotote A : g ( ) Grenzwerte: lim ( a ) lim ( a ) Vertikale Asympotote A : a Teilaufgabe. (8 BE) Bestimmen Sie die maimalen Monotonieintervalle der Funktion f a und ermitteln Sie damit Art und Lage der Etrempunkte des Graphen G a. [ Mögliches Teilergebnis: f' a ( ) ( a) ( a) ] f' a ( ) ( a ) ( a ) a ( a ) 8a 8a a ( a ) f' a ( ) a 8a ( a ) a a ( a) ( a) ( a) Horizontale Tangenten: ( a) 0 auflösen a a E a E a AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite von 8

3 Vorzeichentabelle und Monotonieeigenschaften: a E E Zähler Nenner f`' a () G a sms smf smf sms HP Pol TP ( a ) a ( a ) f a ( a ) vereinfachen f ( a ) a a ( a ) a ( a ) a ( a ) f a ( a ) vereinfachen f ( a ) a a ( a) a HP( a a ) TP( a a) Teilaufgabe.5 ( BE) Zeigen Sie, dass unabhängig von a der Tiefpunkt T a ( a / a ) und der Hochpunkt H a ( a / a ) des Graphen G a immer denselben Abstand voneinander haben. Abstand über Pythagoras: Da ( ) [( a ) ( a ) ] [( a ) ( a ) ] vereinfachen D( a) unabhängig von a Teilaufgabe.6 (5 BE) Setzen Sie a und zeichnen Sie den Graphen G mit seinen Asymptoten für 6 in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: LE cm. f( ) Werte "" "y" AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite von 8

4 6 5 y-achse Fläche Graph von f Kurvenpunkte Schiefe Asymptote Vertikale Asymptote -Achse Teilaufgabe.7.0 Für a erhält man nach entsprechender Umformung die Funktion f ( ) in ihrer maimalen Definitionsmenge D. Der Graph G begrenzt mit den drei Geraden mit den Gleichungen y 0, kund k mit k IR und k ein Flächenstück A k. Teilaufgabe.7. (9 BE) Kennzeichnen Sie für k das Flächenstück A im Schaubild der Aufgabe.6 und zeigen Sie, dass für die von k abhängige Flächenmaßzahl F des Flächenstücks A k gilt: k ln k k Flächenmaßzahl: k k d AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite von 8

5 Stammfunktion: d ln( ) G ( ) ln Gk ( ) ln k ( k ) Gk ( ) ln k k Flächenmaßzahl: Gk ( ) Gk ( ) ln k ln k k ( k ) k ln k ln k Die Zusammenfassung der Logarithmusterme liefert die Behauptung. Teilaufgabe.7. (9 BE) Bestimmen Sie den Parameterwert k so, dass die Flächenmaßzahl F ihren absolut kleinsten Wert annimmt. F' ( k) k ln k k k ( k ) ( k ) k ( k ) F' ( k) ( k ) ( k ) F' ( k) k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) Horizontale Tangenten: ( k ) ( k ) 0 vereinfachen k k 0 k k 0 auflösen k nicht definiert AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite 5 von 8

6 Funktionswert: F(.68).0 Vergleich mit den Randwerten: lim k k ln k k lim k k ln k k Also für k.68 absolutes Minimum. Teilaufgabe.0 Nach einem Modell des britischen Ökonomen Thomas Malthus kann die Zahl B der Weltbevölkerung in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden, wobei Einheiten werden nicht mitgeführt werden: Bt () B 0 e rt wobei gilt t IR und t 0 sowie r IR und r 0. Dabei gibt B 0 die Bevölkerungszahl zum Zeitpunkt t 0a,..800 an und r ist ein Maß für die Wachstumsrate der Bevölkerung. Am..950 betrug die Weltbevölkerung etwa.7 Milliarden Menschen, und am..050 werden etwa 9.5 Milliarden Menschen weltweit erwartet. Teilaufgabe. (5 BE) Zeigen Sie, dass für die Werte von B 0 und r gilt: B und r 9.0. B 0 r B 0 e 50r.70 9 B 0 e 50r B r 9. 0 auflösen B 0 r ( 9.0e ) Gleitkommazahl Teilaufgabe. ( BE) Stellen Sie die Entwicklung der Weltbevölkerung zwischen..800 und..050 mit einem geeigneten Maßstab graphisch dar. Bt () t e AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite 6 von 8

7 B(t) t t t Bt Bt Bt Graphik: t t Δt Bt Bt Zeit t in Jahren Teilaufgabe. (5 BE) Entnehmen Sie einer entsprechenden Markierung im Diagramm der Aufgabe. zu einem beliebigen Zeitpunkt t das Zeitintervall Δt, für das folgende Bedingung gilt: Bt ( Δt) Bt () Zeigen Sie durch Rechnung, dass das Zeitintervall Δt unabhängig vom Zeitpunkt t ist, und berechnen Sie Δt auf eine Nachkommastelle gerundet Bt Bt in etwa gleich mit: Bt Bt ( Δt) Bt () B 0 e r( tδt) B 0 e rt e rδt Δt r ln( ) Δt 7.50 unabhängig von t AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite 7 von 8

8 Teilaufgabe. (7 BE) Die natürliche Tragfähigkeitsgrenze der Erde ist der Zeitpunkt t TG, an dem die Maßzahl der zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel Nt ().50 7 t.00 9 mit t IR und t 0 (t in Jahren) nicht mehr größer ist als die Zahl der Weltbevölkerung Bt (). (Eine Nahrungsmitteleinheit entspricht zur Vereinfachung dabei einer Bevölkerungseinheit.) Bestimmen Sie mithilfe des Newtonverfahrens den Zeitpunkt t TG. Benutzen Sie als Startwert t 0 0, führen Sie nur einen Näherungsschritt durch, runden Sie das Ergebnis auf ganze Jahre und geben Sie auch das entsprechende Jahr unserer Zeitrechnung an. B(t) und N(t) t TG Nt TG Bt () t e Nt ().50 7 t.00 9 Gemeinsame Maßzahl: 0 9 Bt () Nt () Bt () Nt () Differenzfunktion: Zeit t in Jahren Graph von B Kurvenpunkte Graph von N Gemeinsame Maßzahl Dt () Bt () Nt () Konkrete Differenzfunktion: Ableitungsfunktion: D ( ) e D' ( ) e.50 7 D( 0) D' ( 0) D( 0) Newton-Algorithmus: TG D' ( 0) TG 0 Zeitrechnung: Das Datum ist der..00 AP 0, Mathematik Technik. Klasse, A I - Lösung Seite 8 von 8