mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2009 Mathematik 12 Nichttechnik - A II - Lösung

Transkript

1 Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 9 Mathemati Nichttechni - A II - Lösung Teilaufgabe. Gegeben sin ie reellen Funtionen f ( x) = x x mit IR un ID = IR. fa Der Graph einer solchen Funtion wir mit G bezeichnet. f Teilaufgabe. (8 BE) Berechnen Sie ie Nullstellen er Funtion f in Abhängigeit von. Geben Sie auch ie zugehörigen Vielfachheiten an. Funtionsterm: f( x) x x Nullstellenbeingung: x x = x oer x = x = ( ) x = ± ( ) Fallunterschieung für en Wurzelterm: D ( ) ( ) D ( ) = ( ) = auflösen D ( ) D ( ) D ( ). Fall: G f besitzt eine einfache Nullstelle (/). Fall: = G f besitzt eine reifache Nullstelle (/). Fall: G f besitzt rei einfache Nullstellen (/), ( ( ) / ) un ( ( ) / ) AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite von 6

2 Teilaufgabe. ( BE) Begrünen Sie (z. B. mit Hilfe von Aufgabe.), für welchen Wert er zugehörige Graph einen Terrassenpunt besitzt. Für besitzt er Graph eine reifache Nullstelle (/), ie Terrassenpunt ist. Teilaufgabe. ( BE) Bestimmen Sie ie Werte von so, ass er jeweils zugehörige Graph G f urch en Punt P( / ) geht. 7 f( ) = = = 7 auflösen Teilaufgabe. Nun sei =. Man erhält ie Funtion f mit f ( x) = x x Teilaufgabe. (6 BE) Ermitteln Sie ie maximalen Intervalle, in enen ie Funtion f echt monoton zunimmt bzw. abnimmt. Bestimmen Sie Art un Koorinaten aller relativen Extrempunte es Graphen. Funtionsterm: f ( x) x x Ableitung: f' ( x) x f ( x) x Horizontale Tangenten: f' ( x) = x = auflösen x x E f ( ) x E f ( ) 5. Dabei beeutet: sms: streng monton steigen... f ' (x)...pos... neg... pos smf: streng monoton fallen...g f... sms... smf... sms HP TP 6 HP TP 6 Graph G f ist streng monoton steigen in ] ; ] un in [ ; [ ; Graph G f ist streng monoton fallen in [ ; ] AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite von 6

3 Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie ie x-koorinate esjenigen Puntes, in em er Graph G f ie leinstmögliche Steigung besitzt. Extremum von f' ( x) ist ie Nullstelle von f'' ( x).. Ableitung f'' ( x) Extremum von f' ( x): x x f' ( x) x x f'' ( x) = x = auflösen x Da f' ( x) x eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist as Extremum x ein absolutes Minimum. Teilaufgabe. (5 BE) Geben Sie ie Nullstellen von f an un zeichnen Sie unter Verwenung er bisherigen Ergebnisse un geeigneter Funtionswerte en Graphen er Funtion für Maßstab: LE= cm x in ein Koorinatensystem. Nullstellen: x N f ( x) = x x = auflösen x x t - - f x t y-achse x-achse AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite von 6

4 Teilaufgabe. ( BE) Der Graph G f un ie x-achse schließen im IV. Quaranten ein Flächenstüc ein. Berechnen Sie ie Maßzahl seines Flächeninhaltes. Stammfuntion: F ( x) f ( x) x x x Flächenberechnung: A f ( x) x A Teilaufgabe. Untenstehene Zeichnung gibt en Graphen er Ableitungsfuntion g' einer ganzrationalen Funtion g ritten Graes an: 6 y-achse G g' 5 5 x-achse Teilaufgabe. (7 BE) Begrünen Sie anhan er Zeichnung, an welcher Stelle (Abszisse) er Graph er Funtion g einen Hochpunt, an welcher Stelle er einen Tiefpunt un an welcher Stelle er einen Wenepunt besitzt. Der Graph von g' besitzt ie einfachen Nullstellen x un x... g '(x)...pos... neg... pos...g g... sms... smf... sms An er Stelle x Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus Hochpunt von G g An er Stelle x Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus Tiefpunt von G g HP TP An er Stelle x Extremum Wenepunt von G g AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite von 6

5 Teilaufgabe. (7 BE) Berechnen Sie mit Hilfe geeigneter aus er Zeichnung abgelesener Puntoorinaten en Funtionsterm g' ( x) un anschließen en Funtionsterm gx ( ) erjenigen Funtion g, eren Wenepunt auf er x-achse liegt. Funtionsterm von g' ( x): g' ( x a) a( x ) ( x ) Punt ( / ) G g' : a g' ( a) = a = auflösen a g' ( x a) ( x ) ( x ) Ausmulitplizieren: g' ( x a) x x Integration: gx ( c) x x x c gx ( c) x x x c Punt ( / ) G g : c g( c) = c = auflösen c Funtionsterm von g: gx ( c) x x x Teilaufgabe. Die Gebührenornung es Paetienstes "Paet Ahoi" enthält folgene Klausel: "Bei Päcchen in Zylinerform arf ie Summe aus er Höhe h es Zyliners un em Durchmesser es Grunreises cm nicht überschreiten." Auf Einheiten wir im Folgenen verzichtet! Teilaufgabe. (5 BE) Berechnen Sie as Volumen V() eines solchen Päcchens, wenn ie in er Gebührenornung erwähnte Summe genau cm beträgt. Geben Sie auch eine geeignete Definitionsmenge an. [ Mögliches Teilergebnis: V ( ) π 5 = Zylinervolumen: V = r πh = πh Nebenbeingung: h = auflösen h Einsetzen: V ( ) π( ) V ( ) 5π π Definitionsmenge: AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite 5 von 6

6 Teilaufgabe. (7 BE) Bestimmen Sie nun ie Maße esjenigen zylinerförmigen Päcchens, as abei maximales Volumen aufweist. Ableitung: V' ( ) V ( ) 5π π Horizontale Tangenten: V' ( ) = auflösen nicht efiniert Lösung Abrufen er Lösung: Funtionswert: V Vergleich mit en Ranwerten: lim 5π π lim 5π π absolutes Maximum ( 66.7 / 655 ) Höhe es Päcchens: h h AP 9, Mathemati Nichttechni. Klasse, A II - Lösung Seite 6 von 6