Mathematik 1. Klausur am 12. Februar 2018

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1 Mathematik 1 Klausur am 12. Februar 218 Aufgabe 1 (13 Punkte. Entscheien Sie, ob folgene Aussagen wahr oer falsch sin. Achtung: Für jee richtige Antwort erhalten Sie einen Punkt, für jee falsche Antwort verlieren Sie einen Punkt. Weniger als Punkte können Sie nicht bekommen. wahr a = 7, a n = a n 1 3 ist eine arithmetische Zahlenfolge. a = 7, a n = a n 1 3 ist eine geometrische Zahlenfolge. Es sei (a n n N eine konvergente reelle Zahlenfolge ( a n n N ist eine konvergente reelle Zahlenfolge. Betrachte ie Menge M R, M := { 5} [ 2, 5 Dann gilt sup(m = 5. Betrachte ie Menge M R, M := { 5} [ 2, 5 Dann gilt ma(m = 5. Betrachte ie Menge M R, M := { 5} [ 2, 5 Dann gilt min(m = 2. f( = + 3 ist stetig. f( = ist ifferenzierbar. f( = ist Riemann-integrierbar. f C 5 (I f C 6 (I f : R R, 3 ist surjektiv. f : R R, 3 ist injektiv. f : R R stetig mit f( = un f(5 = 5 > 5 mit f( = 6 falsch

2 Aufgabe 2 (1 Punkte. Es sei (a n n N rekursiv efiniert urch a = 1, a n+1 = a n + 2n + 1. Zeigen Sie für alle n N : a n = n Beweis. Inuktionsanfang (IA: n = : a Vor. = 1 = Inuktionsvoraussetzung (IV: Es gelte Inuktionsschritt (IS: n n + 1: a n = n für ein n N. a n+1 Vor. = a n + 2n + 1 IV = n n + 1 Bin. Formel = (n

3 Aufgabe 3 (12 Punkte. Berechnen Sie ie Grenzwerte. a lim ln(. n b lim 6 5n 5. n 6n Beweis. a Es gilt 1. ln( Aus em Satz von l Hospital folgt: ( ln( 1 lim = lim b Es gilt 1 = lim 1 =. n 6 5n 5 lim n 6n kürzen mit n 6 = lim 1 5 n n n 6 GWS = 1 6

4 Aufgabe 4 (21 Punkte. Untersuchen Sie f : [, R, e auf lokale un globale Maima un Minima. Gehen Sie azu wie folgt vor: a Differenzieren Sie f. b Bestimmen Sie mögliche Kaniaten für lokale Etremstellen mit Hilfe er notwenigen Beingung. c Überprüfen Sie mit einer hinreichenen Beingung, ob es sich tatsächlich um lokale Etremstellen hanelt un geben Sie ggf. an, ob es sich um Maima oer Minima hanelt. Geben Sie alle lokalen Etrempunkte an. e Untersuchen Sie, ob ie gefunenen lokalen Etremstellen auch globale Etremstellen sin. f Bestimmen Sie ggf. weitere globale Etremstelen. Beweis. Prouktregel a (f( = e + e = ( 1 e b Bestimme ie Nullstellen er ersten Ableitung von f: a (f( = ( 1 e = e > ( 1 = = 1 Aus er notwenigen Beingung für lokale Etremstellen folgt, ass = 1 ie einzig mögliche Etremstelle von f innerhalb von (, ist. c Bestimme zunächst ie zweite Ableitung von f: = a = Prouktregel f (2 ( f (1 ( (( 1 e = e ( 1 e = (2 e

5 Bestimme nun en Wert von f (2 an er Stelle = 1: f (2 (1 = (2 1 e 1 = 1 e >. Aus er hinreichenen Beingung für lokale Etremstellen folgt, ass f an er Stelle = 1 ein lokales Minimum besitzt. Der einzige Etrempunkt von f innerhalb von (, ist (1, f(1 = (1, 1 e. e Um zu prüfen, ob (1, f(1 ein globales Minimum fon f ist, müssen wir en Funktionswert mit en Ranwerten er Funktion vergleichen: (1 lim f( Vor. = lim e = lim l Hospital e 1 = lim e = > f(1 (2 f( = > f(1 Aus c, un aus obiger Rechnung folgt, ass f an er Stelle = 1 ein globales Minimum besitzt. f Aus f( = > e = f( >. folgt, ass f an er Stelle = ein globales Maimum besitzt.

6 Aufgabe 5 (12 Punkte. Berechnen Sie: a t (3t2 5t b ( ep(cos(2 5 Beweis. a t (3t2 5t Summenregel = t 3t2 t 5t Faktorregel = 6t t 1 2 = 6t 5 4 t b ecos(2 5 Summenregel + Kettenregel = e cos(2 5 (cos(2 5 Kettenregel = e cos(2 5 ( sin( 2 2 = e cos(2 5 sin( 2 2

7 Aufgabe 6 (14 Punkte. Betrachten Sie ie Funktion f : (, cos(. Berechnen Sie as Taylorpolynom 4. Graes im Entwicklungspunkt = π 2. Beweis. Bestimme as Taylorpolynom T π 2 4 (f( = 4 k= f (4 ( ( k (1 k! vierten Graes von f im Entwicklungspunkt = π. Es gilt 2 ( π f ( ( = cos( f ( = ( 2 π f (1 ( = sin( f (1 = 1 ( 2 π f (2 ( = cos( f (2 = ( 2 π f (3 ( = sin( f (3 = 1 ( 2 π f (4 ( = cos( f (4 = 2 Einsetzen er Ergebnisse in (1 ergibt ( T π 2 4 (f( = π + 1 ( π 3 2 3! 2

8 Aufgabe 7 (18 Punkte. Berechnen Sie folgene Integrale: a ep( b 2π cos 2 ( Hinweis: cos 2 ( + sin 2 ( = 1 Beweis. b a Hierbei hanelt es sich um ein uneigentliches Integral. ep( c = lim ep( c part. Int. ( = lim [ ep( ] c c + c ep( = lim c ( c ep( c [ep( ] c = lim ( c ep( c ep( c + ep( c ( = lim (1+c + ep( c ep(c l Hospital 1 = lim + ep( c ( = ep( = 1 = 2π ep(c cos 2 ( 2π cos( cos( part. Int = [cos( sin(] 2π + 2π sin 2 ( = [cos( sin(] 2π + 2π }{{} (1 cos2 ( = = [] 2π 2π cos 2 ( = 2π 2π cos 2 (. Daraus folgt (Phoeni aus er Asche ˆ 2π cos 2 ( = 1 2π = π. 2