Übungsblatt

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1 Übungsblatt ) Zerlegen Sie folgene gebrochen rationale Funktionen in rein reelle Partialbrüche: a) f() = c) h() = b) g() = ) Untersuchen Sie as asymptotische Verhalten (Pole, Verhalten für ± ) folgener Funktionen: a) f() = b) f() = Skizzieren Sie iese Funktionen anhan Ihrer Analyse. Hinweise: Bestimmen Sie ie Polstellen aus en Nullstellen es Nenners un em Vorzeichenverhalten er Gesamtfunktion nahe ieser Nullstellen. Das Verhalten für ± wir aus em Resultat einer Polynomivision ersichtlich. 3) Beweisen Sie folgene Eigenschaften er Hyperbelfunktionen: a) cosh () sinh () = 1 b) sinh( + y) = sinh() cosh(y) + cosh() sinh(y) c) (sinh()) = cosh() Hinweis: Verwenen Sie en Zusammenhang zwischen en Hyperbelfunktionen un er Eponentialfunktion, sowie ie Beziehung ep(a) = a ep(a). ) Geben Sie (argumentativ, ohne Beweis) zu folgenen Funktionen jeweils ein Intervall an, in em ie Funktion monoton ist, un bilen Sie ort ie Umkehrfunktion: a) f() = + 1 b) f() = sin (arctan()) Geben Sie abei Definitions- un Wertebereiche an: für ie ursprüngliche Funktion, für as gewählte monotone Intervall, un für ie ermittelte Umkehrfunktion. 5) Bilen Sie ie 1. un. Ableitung er folgenen Funktionen: ( ) a) y = sin 1 b) y = arccot() c) y = sinh(ln ) ) y = sin ( 3 1 ) e) y = ) Untersuchen Sie ie folgenen Grenzwerte, ohne ie Regel von e L Hospital zu benutzen: tan() 0 1 cos() Hinweis zu (a): Erweitern Sie mit 1 + cos() un verwenen Sie sin ()+cos () = 1. 1

2 7) Untersuchen Sie folgene Grenzwerte unter Verwenung er Regel von e L Hospital: ( 1 0 sin() 1 ) n b) lim e 8) (Klausuraufgabe MfC1 vom..013) Gesucht ist er Grenzwert lim 1 + (1) a) Zeigen Sie rechnerisch, aß man iesen Grenzwert nicht urch Operationen er Art lim f() = f(lim ) bestimmen kann. Welcher Ausruch resultiert abei un warum ist as kein akzeptables Ergebnis? b) Zeigen Sie rechnerisch, aß man iesen Grenzwert ebenfalls nicht mit er Regel von L Hospital bestimmen kann. Warum nicht? c) Die Grenzwertbestimmung ist sehr einfach möglich, wenn man vor er Grenzwertbilung en Bruch mit 1 erweitert. Welcher Grenzwert ergibt sich araus? ) Was ergibt sich für en Grenzwert lim 1 + nach em Resultat von Teilaufgabe (c)? Warum ist ieses Resultat falsch? (Hinweis: Ermitteln Sie ie Symmetrie er Funktion!) Worin besteht ie Schwierigkeit beim Weg von Teilaufgabe (c)? Welcher Grenzwert ist für Gl. emzufolge er richtige? () 9) Entwickeln Sie ie folgenen Funktionen in Taylorreihen um 0 = 0, auf möglichst einfache Weise (i..r. unter Verwenung von Stanartaylorreihen). Machen Sie, wenn nötig, Angaben über einen ggf. beschränkten Gültigkeitsbereich Ihrer Entwicklung! a) y = a a, bis zur 5. Ornung b) y = e sin(), bis zur. Ornung Hinweis zu (a): Nutzen Sie ie Verwantschaft es gegebenen Ausrucks mit er Summenformel für ie geometrische Reihe aus. Zusatz: Versuchen Sie, iese Reihen auch irekt aus er Grunefinition er Taylorreihe herzuleiten. 10) (Klausuraufgabe MfC1 19.Okt.010) Gegeben sin ie Funktionen y = f() = ln ( 1 + ) ( ) 1 un z = g() = ln 1 + a) Welcher sehr einfache Zusammenhang (rechnerisch un graphisch) besteht zwischen f() un g()? (Hinweis: Verwenen Sie ie Haupteigenschaft es Logarithmus in er Formulierung ln(u n ) = n ln(u) für einen geeigneten Wert von n.)

3 b) Testen Sie rechnerisch, ob f() gerae oer ungerae ist. Was folgt araus für ie Symmetrie von g()? c) Bestimmen Sie für f() un g() alle Nullstellen, ie -Werte un Funktionswerte aller Maima un Minima, sowie ie -Werte un Steigungen aller Wenepunkte. Gegen welche Funktionswerte streben f() bzw. g() für ±? ) Verwenen Sie Stanartaylorreihen, um ie ersten vier nicht verschwinenen Terme er Taylorentwicklung von f() um en Entwicklungspunkt 0 = 0 zu finen. Verifizieren Sie ie Koeffizienten für 0, 1 un mit Hilfe Ihrer Ableitungsresultate aus Teilaufgabe (c). Benutzen Sie as Resultat von Teilaufgabe (a), um aus ieser Taylorreihe für f() irekt ie ersten vier Terme er Taylorreihe für g() zu erzeugen. Wie äußert sich as Resultat von Teilaufgabe (b) in iesen Reihen? e) Skizzieren Sie f() un g() qualitativ, in einem Intervall, as alle Wenepunkte enthält. 11) (Klausuraufgabe MfC1.Okt.013) Gegeben ist ie Funktion y = f() = ep( arctan ()) a) Skizzieren Sie en Verlauf von arctan(). Gegen welchen Wert strebt arctan() für ±? Berechnen Sie en Grenzwert von f() für ±. b) Bilen Sie ie 1. un. Ableitung von f(). c) Ermitteln Sie ie Terme nullter, erster un zweiter Ornung er Taylorentwicklung von f() um 0 = 0 mit Hilfe er allgemeinen Taylorreihenefinition un en Ableitungen aus Teilaufgabe (b). ) Ermitteln Sie ie Terme nullter bis vierter Ornung er Taylorentwicklung von f() um 0 = 0 unter Verwenung von arctan() = ± un einer weiteren, geeigneten Stanartaylorreihe. Weitere Aufgaben 1) Zerlegen Sie folgenen gebrochen rationalen Funktionen in rein reelle Partialbrüche: a) f() = b) f() = ) Beweisen Sie folgene Eigenschaften er Hyperbelfunktionen: a) (cosh()) = sinh() b) (sinh() cosh()) = cosh() Hinweis: Verwenen Sie en Zusammenhang zwischen en Hyperbelfunktionen un er Eponentialfunktion, sowie ie Beziehung ep(a) = a ep(a). 3

4 1) Geben Sie (argumentativ, ohne Beweis) zu folgenen Funktionen jeweils ein Intervall an, in em ie Funktion monoton ist, un bilen Sie ort ie Umkehrfunktion: a) f() = ln(tan( )) Geben Sie abei Definitions- un Wertebereiche an: für ie ursprüngliche Funktion, für as gewählte monotone Intervall, un für ie ermittelte Umkehrfunktion. 15) Bilen Sie ie 1. un. Ableitung er folgenen Funktionen: a) y = cot (arcsin()) b) y = sin ( ) c) y = ) Untersuchen Sie ie folgenen Grenzwerte, ohne ie Regel von e L Hospital zu benutzen: sinh() e 17) Untersuchen Sie folgene Grenzwerte unter Verwenung er Regel von e L Hospital: b) lim (tanh() 1) 18) Entwickeln Sie ie folgenen Funktionen in Taylorreihen um 0 = 0, auf möglichst einfache Weise (i..r. unter Verwenung von Stanartaylorreihen). Machen Sie, wenn nötig, Angaben über einen ggf. beschränkten Gültigkeitsbereich Ihrer Entwicklung! a) y = cosh(), bis zur 6. Ornung b) y = ln ( e ), bis zur. Ornung Zusatz: Versuchen Sie, iese Reihen auch irekt aus er Grunefinition er Taylorreihe herzuleiten. 19) (Klausuraufgabe Mathematik für Chemiker 1, Uni Stuttgart, ; leicht moifiziert:) Gegeben ist ie Funktion a) Ermitteln Sie f(0). f() = sin() sinh() b) Skizzieren Sie ie Funktionen sin() un sinh(). Diskutieren Sie auf ieser Grunlage Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen un Verhalten bei ± von f().

5 c) Nähern Sie sin() un sinh() urch Taylorreihen um = 0 bis zum Glie fünfter Ornung. Ermitteln Sie abei ie Taylorreihe von sinh() aus er Definition von sinh() un er Stanartaylorreihe für e. Konstruieren Sie mit Hilfe ieser Reihen urch Polynomivision eine gebrochen rationale Näherungsfunktion g() an f(). ) Ermitteln Sie alle Etremwerte von g(); schätzen Sie ie ungefähren -Werte er Minima ab (ohne Taschenrechner!). Bestimmen Sie alle Nullstellen von g(). Verifizieren Sie urch eplizite Bestimmung es Grenzwerts, aß g( = 0) = f( = 0) gilt. f() un g() haben bei = 0 ein Maimum. Bestimmen Sie as Verhalten von g() bei ±. Geben Sie ungefähr en Wertebereich von f() an. Skizzieren Sie f() un g() anhan aller hier gesammelten Informationen. 0) (Klausuraufgabe Mathematik für Chemiker 1, :) Betrachten Sie ie Funktion y = f() = ln(). a) Ist iese Funktion bei = 0 efiniert? (Begrünung) Ermitteln Sie en Grenzwert lim 0+ f(). b) Beantworten Sie folgene Fragen für f(): Definitionsbereich? -Werte aller Nullstellen? (, y)-werte aller Etrema? Sin ies jeweils Maima oer Minima? (, y)-werte aller Wenepunkte? (keine Bestimmung er Art er Wenepunkte) Gegen welchen Wert strebt ie Tangentensteigung von f() bei 0+? c) Entwickeln Sie ie Funktion ln() in eine Taylorreihe um 0 = 1 urch Verwenung einer geeigneten Stanartaylorreihe (nur bis zum.glie!) un einer einfachen Substitution. Verwenen Sie as Resultat, um ein Näherungspolynom P () für f() = ln() aufzustellen. Zwischenergebnis: P () = 3 / + 3/ ) Diskutieren Sie P () aus Teilaufgabe (c): -Werte aller Nullstellen; -Werte aller Etremwerte; (, y)-werte aller Wenepunkte; Tangentensteigung bei = 0. e) Skizzieren Sie f() un P () un vergleichen Sie mit kurzen Stichworten as Verhalten ieser beien Funktionen bei = 0, bei = 1 un für > 1. 5