Übungen zum Mathematischen Vorkurs

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1 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Vereinfachen Sie folgene reelle Funktionen un Ausrücke un zeichnen Sie iese: Überlegen Sie sich, ob sie abei en Definitionsbereich veränern. a) cos(φ) tan(φ) + sin(φ) ) e ln( x) b) c) sin(x) + +sin(x) cos(φ) sin(φ) cos(φ) e) ln(e /x ) + ln(e e x ) f) log(x ) log( x) Aufgabe. Bestimmen Sie alle fehlenen Winkel un Seiten er gegebenen Dreiecke a) Es seien γ = 9 ; a = 5 cm un b = 78, cm b) Es seien a = 79 m; b = 8, m un β = 6 Aufgabe. Faktorisieren Sie ie folgenen Funktionen a) x + x 4 b) x 4 5x + 4 Aufgabe.4 Berechnen Sie mithilfe von i = a) b) 9 5 ) i e) i 4 g) ( + i) ( i) h) ( i) (5 4i) c) 4,56 f) ( i) 5 i) +5i 4+i Aufgabe.5 Konvertieren Sie ie Faktoren aus Aufgabe.4.g) in ie Eulersche Schreibweise. Führen Sie anschließen ie Multiplikation aus un konvertieren Sie as Ergebnis zurück in ie Kartesische Schreibweise Ist as Ergebnis ientisch zu em aus Aufgabe.4? Aufgabe.6 Berechnen Sie alle komplexen Lösungen folgener Gleichungen a) z = i b) z + z = c) z4 = Aufgabe.7 Zeigen Sie: a) (z ± z ) = z ± z (7) b) (z z ) = z z (7)

2 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Berechnen Sie folgene Ableitungen nach x a) x 5 x 4 + x b) x [ln(x) ] c) a+bx c+ x ) sin(x n ) cos(x) Aufgabe. Diskutieren un zeichnen Sie ie angegebene Funktion f (x) = x 4 ( x) Tipp: 6 = 96; 64 = 496 Aufgabe. Es soll ein Rechteck mit en Seitenlängen a un b in en Einheitskreis passen. Bestimmen Sie a un b so, ass er Flächeninhalt F = a b maximal wir. Aufgabe.4 Entwickeln Sie ie Taylorreihe er folgenen beien Funktionen bis zum einschließlich. Taylorpolynom ( Glieer) a) f (x) = x b) f (x) = ln( + x) Aufgabe.5 Berechnen Sie en Nullpunkt Ihres Taylorpolynoms aus Aufgabe.4.a) Wie weit liegt ieser von tatsächlichen Nullpunkt entfernt? Tipp:, 46 Aufgabe.6 Berechnen Sie mithilfe er Regel von l Hospital lim x ln(x), α x α Aufgabe.7 Beweisen Sie ie Summenregel er Ableitung t z(t) ± y(t) = x z(t) ± x y(t)

3 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Knacken Sie folgene Integrale a) x 4 + 4x x ) π x= x cos(x) x g) x= x 7 x b) 8x x x + 5 x c) 6 cos(x) x e) sin(x) cos(x) x f),5 x= x x + 4 x h) a b y x x= y= i) 4 n( + u)un n= u= Aufgabe. Zeigen Sie: Das gegebene Integral hat für kein α (, ) eine Lösung x= x α x Tipp: Betrachten Sie en Fall α = gesonert. Aufgabe. Welche Ornung haben folgene Differentialgleichungen? (Freitag) Sin sie gewöhnlich, linear un / oer homogen? Aufgabe Ornung Gewöhnlich Linear Homogen a) y + y + y = b) y y y y = c) f (x, y) = f (x, y) x ) f x f (x, y) = (x, y) y e) k + k = k f) y (n) = Aufgabe.4 Bestimmen Sie ie allgemeine Lösung folgener Differentialgleichungen (Freitag) a) y + y = b) y (x) = x c) 4y y + 9 y = Aufgabe.5 Bestimmen Sie ie spezielle Lösung folgener Anfangswertprobleme (Freitag) a) y + y = x y() = b) 4 7 y y = y() = c) ÿ + y = ẏ y( π ) = ; y(π) =

4 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt 4 zum Wochenene Aufgabe 4. Berechnen Sie folgene komplexe Ausrücke a) (i + 4) + (i ) b) ( i + 5) + (5 i) c) (6 4i) (6 + 4i) ) i ( i) e) 6 ( i) f) (4i + ) (4i ) g) (5i + ) (4i + ) h) (7 i) (i + 5) i) i j) 5 i+4 k) 5+i 5 i l) i Aufgabe 4. Es sollen alle Lösungen folgener komplexer Gleichungen gefunen weren. Zeichnen Sie iese in ie komplexe Ebene ein. a) z + z( i) i + = b) z ( + i)z + i = Tipp: + 4i = + i. c) z = + i ) z + i = 4 e) z 4 = e i f) z = e +πi Aufgabe 4. Berechnen Sie mithilfe er Logarithmengesetze: a) log() b) lb() c) ln() ln() ) log(54) log(,54) e) log(5x) + log(x) f) log 9 () + log 8 (9) Aufgabe 4.4 Bestimmen Sie as Taylorpolynom von cos(x) im Punkt x Cosinus ein um 9 verschobener Sinus ist. = π un beweisen Sie so, ass er Aufgabe 4.5 Berechnen Sie: a) x ex b) x ln(tan(x)), < x < π c) (n + ) cos(x) n sin(x) x

5 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt 5 Aufgabe 5. Gegeben seien ie Basen b un b, sowie zwei Vektoren v er Basis un v er Basis. Waneln Sie v in Basis un v in Basis um. b = { e x, e y, e z }, b = { e u, e v, e w } mit e u = e x ; e v = e z un e w = e y. Weiterhin sei v = un v = Aufgabe 5. Falls möglich, berechnen Sie folgene Ausrücke. Falls nicht, geben Sie eine Begrünung an. 7 a) 6 e) 6 i) b) 5 c) ) 4 4,, 6, f) g) h) j) k) l) Aufgabe 5. Berechnen Sie ie Divergenz un ie Rotation er angegebenen Vektorfeler: x yz a) v = y b) v = z z sin(x) Aufgabe 5.4 Zeigen Sie, ass ( v ) = ist für jees beliebige Vektorfel v.

6 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt 6 Aufgabe 6. Überprüfen Sie, ob sich ie folgenen Geraen / Ebenen schneien. Falls ja, geben Sie en Schnittpunkt bzw. ie Schnittgerae an. a) g = + λ ; g = + λ b) g = + λ ; g = c) E : 4x x + x = 8; g = + λ + λ ) E : x + x x = ; E : x + x x = 4 Aufgabe 6. Liegen ie Punkte ( -6) un (5-5 4) auf folgener Ebene? E : x + x x = Aufgabe 6. Gegeben Sei ie Ellipse x + 5 y x + 49 = in er x/y-ebene. Schneiet sie folgene Ebenen un wenn ja, in welchen Punkten? 4 a) E = + λ + µ b) E : x + z = 5 Aufgabe 6.4 Wieerholung: Gegeben Sei as skalare Potential er Eranziehungskraft: Φ(r) = G M Ere. r a) Berechnen Sie ie ersten beien Taylorpolynome an er Stelle r = r e, em Raius er Ere. b) Ersetzen Sie jetzt (r r e ) urch z un G M Ere r urch g. Außerem können Sie ie Konstante weg lassen, a e ein Potential immer eine frei wählbare Konstante hat. Wenn Sie richtig gerechnet haben, erhalten Sie folgene Näherungsformel für as Gravitationspotential in er Nähe er Eroberfläche: Φ gz g r e z c) Berechnen Sie hieraus ie wirkene Beschleunigung a = gra(φ). ) Zeigen Sie explizit, ass as Kraftfel Wirbelfrei ist,.h. rot( a) =.

7 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt 7 Aufgabe 7. Bilen Sie as Proukt AB aus folgenen Matrizen: A = 4 5 B = Aufgabe 7. Zeigen Sie z.b. anhan er Matrizen aus Aufgabe 7., ass im allgemeinen gilt AB BA. Aufgabe 7. Bestimmen Sie ie Transponierten er folgenen Matrizen A = 4 B = i 7 i Aufgabe 7.4 Gegeben seien zwei Matrizen A un B. Zeigen Sie, ass Matrix B ie Inverse von Matrix A ist, bzw. A ie Inverse von B. A = B = Aufgabe 7.5 Ermitteln Sie ie Inverse von A: A = Aufgabe 7.6 Berechnen Sie ie Determinante von: A = 5 6 B = 4 5 Aufgabe 7.7 Beweisen Sie, ass (AB) T = B T A T.

8 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt 8 Aufgabe 8. Gegeben sin folgene Vektoren in kartesischen Koorinaten. Waneln Sie iese um in Polar- bzw. Zyliner un Kugelkoorinaten. a) b) c) ) e) Aufgabe 8. Integrieren Sie: a) y= x= x x y c) x x y x x= y=x b) y z e az z y x x= y=y z=z Warum müssen Sie bei en Aufgaben c) un ) ie Reihenfolge beachten? ) x x+ y z y x x= y= z= Aufgabe 8. Berechnen Sie as Volumen eines Zylinerrings mit em inneren Raius R i, em äußeren Raius R a un er Höhe h Aufgabe 8.4 Ein Rechteck er Länge h un er Breite R rotiert um ie x-achse. Dabei entsteht ein Zyliner. a) Berechnen Sie as Volumen es Zyliners urch geschickte Integration. b) Berechnen Sie as Volumen es Zyliners mithilfe er Gulinsche Regel. Aufgabe 8.5 Beweisen Sie ie. Gulinsche Regel mithilfe er Definition es Schwerpunktes: S = A ρ z ρ A

9 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Vereinfachen Sie folgene reelle Funktionen un Ausrücke un zeichnen Sie iese: Überlegen Sie sich, ob sie abei en Definitionsbereich veränern. a) cos(φ) tan(φ) + sin(φ) = sin(φ) Erweiterung es D. bei φ = ± { π; π; 4 π;...} ) e ln( x) = x Erweiterung es D. auf x b) c) sin(x) + +sin(x) = cos(x) Der Definitionsbereich wir nicht veränert. cos(φ) sin(φ) cos(φ) = tan(φ) Erweiterung bei φ = ±{...; π; π; ; π; π;...} e) ln(e /x ) + ln(e e x ) = x + + x Der Definitionsbereich wir nicht veränert. f) log(x ) log( x) = log( x ) Der Definitionsbereich wir nicht veränert. Aufgabe. Bestimmen Sie alle fehlenen Winkel un Seiten er gegebenen Dreiecke a) Es seien γ = 9 ; a = 5 cm un b = 78, cm c = 9,7 cm; α =,6 ; β = 57,8 b) Es seien a = 79 m; b = 8, m un β = 6 c = 68,6 m; α = 55,69 ; γ = 8, Aufgabe. Faktorisieren Sie ie folgenen Funktionen a) x + x 4 = (x )(x + ) b) x 4 5x + 4 = (x + )(x )(x + )(x ) Aufgabe.4 Berechnen Sie mithilfe von i = a) = ± i b) 9 5 = ± 5i ) i = e) i 4 = g) ( + i) ( i) = h) ( i) (5 4i) = 7 i c) 4,56 = ± 5 4 i f) ( i) 5 = i i) +5i 4+i = 5 5 i Aufgabe.5 Konvertieren Sie ie Faktoren aus Aufgabe.4.g) in ie Eulersche Schreibweise. Führen Sie anschließen ie Multiplikation aus un konvertieren Sie as Ergebnis zurück in ie Kartesische Schreibweise Ist as Ergebnis ientisch zu em aus Aufgabe.4? ( + i)( i) = e π 4 i e π 4 i = e = (Natürlich kommt as Selbe heraus.) Aufgabe.6 Berechnen Sie alle komplexen Lösungen folgener Gleichungen a) z = i z = ± ( + i) b) z + z = z = 4 ± i c) z4 = z {; i; ; i} Aufgabe.7 Zeigen Sie: a) (z ± z ) = (x + i y ± x ± i y ) = x i y + ±x i y = (x + i y ) ± (x + i y ) = z ± z b) (z z ) = (x x y y + i(x y + y x )) = x x y y i(x y + y x ) = (x i y )(x i y ) = z z

10 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Berechnen Sie folgene Ableitungen nach x a) x (x 5 x 4 + x ) = 5x 4 4x + x c) ( a+bx ) = x c+ x bc a (c+ x) b) (x [ln(x) ]) = x ln(x) ) x (sin(x n ) cos(x)) = nx n cos(x n ) cos(x) sin(x n ) sin(x) Aufgabe. Diskutieren un zeichnen Sie ie angegebene Funktion f (x) = x 4 ( x) Nullstellen: x = x = Extrema: Tiefpunkt ( ); Hochpunkt (,8,89) Wenepunkte: WP (,6,584) Aufgabe. Es soll ein Rechteck mit en Seitenlängen a un b in en Einheitskreis passen. Bestimmen Sie a un b so, ass er Flächeninhalt F = a b maximal wir. Es ist a = b =. Aufgabe.4 Entwickeln Sie ie Taylorreihe er folgenen beien Funktionen bis zum einschließlich. Taylorpolynom ( Glieer) a) f (x) = x x 8 x b) f (x) = ln( + x) x x Aufgabe.5 Berechnen Sie en Nullpunkt Ihres Taylorpolynoms aus Aufgabe.4.a) Wie weit liegt ieser von tatsächlichen Nullpunkt entfernt? Der Nullpunkt er Taylorreihe liegt bei x =,46 un ist amit,46 vom realen Nullpunkt x = entfernt Aufgabe.6 Berechnen Sie mithilfe er Regel von l Hospital ln(x) x lim x x α = lim x α x α = α lim x x α =, α Aufgabe.7 Beweisen Sie ie Summenregel er Ableitung z(t + h) ± y(t + h) z(t) y(t) z(t) ± y(t) = lim t h h z(t + h) z(t) = lim ± h h y(t + h) y(t) h = lim h z(t + h) z(t) h ± lim h y(t + h) y(t) h = t z(t) ± t y(t)

11 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Knacken Sie folgene Integrale a) x 4 + 4x x = x 5 + x 4 + C b) 8x x x + 5 x = x 4 4x 5x + 5x + C c) 6 cos(x) x = sin(x) ) π x cos(x) x = (x ) sin(x) + cos(x) π = π x= x= e) sin(x) cos(x) x = sin(x) + C = cos(x) + C f),5 x= x x + 4 x = y 9 = 9 9 y=4 9 g) x x= 7 x = 6 7 x = x= 6 h) a b y x = ab x= y= i) 4 n( + u)un = n= u= Aufgabe. Zeigen Sie: Das gegebene Integral hat für kein α (, ) eine Lösung x= f α (x) x = x= x α x Betrachten wir zunächst en Fall α = : Dann ist as Integral ausführt: F (x) = ln(x) Der ln(x) geht für x gegen un für x gegen +. Damit kann as Integral für α = keine Lösung haben. Ist < α <, so wir ie Stammfunktion F α (x) = α x α. Dann ist ie Potenz von x negativ. Damit ist F α () =, aber für x geht x α un x α un as Integral hat ebenfalls keine Lösung. Es bleibt als letztes er Fall α > zu iskutieren: Hier ist ie Stammfunktion ebenfalls F α (x) =. Jetzt ist aber ie Potenz von x positiv. Damit ist α x α lim x (F α (x)) = un lim x (F α (x)) =, soass as Integral ebenfalls keine Lösung besitzt. Zusammenfassen hat as Integral für keinen er Werte α > eine Lösung was mit er Behauptung aus er Aufgabenstellung äquivalent ist.

12 Übungen Sommersemester 4 - Übungsblatt Aufgabe. Welche Ornung haben folgene Differentialgleichungen? (Freitag) Sin sie gewöhnlich, linear un / oer homogen? Aufgabe Ornung Gewöhnlich Linear Homogen a) y + y + y = ja ja ja b) y y y y = ja nein nein c) f (x, y) = f (x, y) ja ja ja x ) f x f (x, y) = (x, y) y nein ja ja k ja ja ja e) k + k = f) y (n) = n ja ja nein Aufgabe.4 Bestimmen Sie ie allgemeine Lösung folgener Differentialgleichungen (Freitag) a) y + y = y = C e 4x b) y (x) = x y = 5x + C c) 4y y + 9 y = y = C e,5x Aufgabe.5 Bestimmen Sie ie spezielle Lösung folgener Anfangswertprobleme (Freitag) a) y + y = x y() = y = e x b) 4 7 y + 6 y = 5 y() = y = e ( x ) c) ÿ + y = ẏ y( π ) = ; y(π) = y = sin(x) e x π

13 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt 4 zum Wochenene Aufgabe 4. Berechnen Sie folgene komplexe Ausrücke a) (i + 4) + (i ) = + i e) 6 ( i) = 7 8i i) i = i b) ( i + 5) + (5 i) = c) (6 4i) (6+4i) = i ) i ( i) = + 6i f) (4i + ) (4i ) = 5 g) (5i + ) (4i + ) = 7 7i h) (7 i) (i + 5) = 4 + i j) 5 i+4 = i k) 5+i 5 i = i l) i = i 8 Aufgabe 4. Es sollen alle Lösungen folgener komplexer Gleichungen gefunen weren. Zeichnen Sie iese in ie komplexe Ebene ein. a) z + z( i) i + = z = i z = + i b) z (+i)z +i = z = z = +i c) z = + i z = 6 {e π i ; e 5 πi ; e 9 πi } Tipp: + 4i = + i. ) z + i = 4 z = {; 4i} e) z 4 = e i z = {e 4 i ; e ( 4 + π )i ; e ( 4 +π)i ; e ( 4 + π)i } f) z = e +πi e 7, 89 Aufgabe 4. Berechnen Sie mithilfe er Logarithmengesetze: a) log() = b) lb() = 5 c) ln() ln() = ) log(54) log(,54) = e) log(5x) +log(x) = + log(x) f) log 9 () + log 8 (9) = Aufgabe 4.4 Bestimmen Sie as Taylorpolynom von cos(x) im Punkt x Cosinus ein um 9 verschobener Sinus ist. = π un beweisen Sie so, ass er Es ist cos (x) = sin(x), cos (x) = cos(x), cos (x) = sin(x), cos (4) (x) = cos(x),... Weiterhin ist cos( π ) = un sin( π ) =. Damit sin alle geraen Ableitungen an er Stelle π gleich un ie Ungeraen Ableitungen alternieren zwischen + un -. Für as Taylorpolynom von cos(x) an er selben Stelle ergibt sich also: cos (n) ( π cos(x) = ) x π n ( ) m+ = x π m+ n! (m + )! n= Für en Sinus an er Stelle π ergibt sich analog: sin(π) =, sin (π) = cos(π) =, sin (π) = sin(π) =, sin (π) = cos(π) =, sin (4) () = sin() =,... Damit ist sin(x) = sin (n) () (x) n = n! n= m= m= ( ) m+ (m + )! x π m+ Aufgabe 4.5 Berechnen Sie: a) x ex = e x x b) x ln(tan(x)), < x < π = cotan(x) + tan(x) c) (n + ) cos(x) n sin(x) x = cos(x) n+

14 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt 5 Aufgabe 5. Gegeben seien ie Basen b un b, sowie zwei Vektoren v er Basis un v er Basis. Waneln Sie v in Basis un v in Basis um. b = { e x, e y, e z }, b = { e u, e v, e w } mit e u = e x ; e v = e z un e w = e y. Weiterhin sei v = = e x + e y + e z = e u + e w + 4 e v = 4 v = x yz x yz = e u + e v + e w = 6 e x + e z + 4 e y = Aufgabe 5. Falls möglich, berechnen Sie folgene Ausrücke. Falls nicht, geben Sie eine Begrünung an. 7 a) 6 = 4 g) = b) 5 c) ) e) f) 4 4,, 6, = = Geht nicht, a ie beien Vektoren unterschielich viele Dimensionen haben un aus unterschielichen Vektorräumen stammen. = = h) i) j) k) l) uv w uv w = = Geht nicht, a as Kreuzproukt nur für Vektoren er Dimension efiniert ist. Aufgabe 5. Berechnen Sie ie Divergenz un ie Rotation er angegebenen Vektorfeler: x a) v = y v = + + = ; v = z b) v = yz z sin(x) v = sin(x); v = yz z cos(x) z = Geht nicht, a as Kreuzproukt nur für Vektoren efiniert ist.

15 Aufgabe 5.4 Zeigen Sie, ass ( v ) = ist für jees beliebige Vektorfel v. a(x; y; z) Sei v = b(x; y; z). So gilt: c(x; y; z) ( v ) = ( a b c ) = c b y z a c z x b a x y = c + a + b b c a x y yz z x xz x y xz =

16 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt 6 Aufgabe 6. Überprüfen Sie, ob sich ie folgenen Geraen / Ebenen schneien. Falls ja, geben Sie en Schnittpunkt bzw. ie Schnittgerae an. a) g = + λ ; g = + λ Es gibt keinen Schnittpunkt. b) g = + λ ; g = c) E : 4x x + x = 8; g = + λ + λ Schnittpunkt ist 5 Es gibt keinen Schnittpunkt. ) E : x + x x = ; E : x + x x = 4 Schnittgerae ist + λ 5 7 Aufgabe 6. Liegen ie Punkte ( -6) un (5-5 4) auf folgener Ebene? E : x + x x = Einsetzen in ie Ebenengleichung liefert für en ersten Punkt = un für en zweiten =. Damit liegt er erste Punkt nicht auf er Ebene, er zweite schon. Aufgabe 6. Gegeben Sei ie Ellipse x + 5 y x + 49 = in er x/y-ebene. Schneiet sie folgene Ebenen un wenn ja, in welchen Punkten? Für beie Aufgaben ist es ratsam, ie Ebenen zunächst mit er x/y-ebene (z = ) zu schneien, a nur ort ein Schnittpunkt vorliegen kann. Dies vereinfacht ie Gleichung. Anschließen setzt man as Ergebnis in ie Gleichung für ie Ellipse ein un berechnet ie Schnittpunkte. a) E = E x y = λ (5 λ) = λ + µ Es gibt keinen Schnittpunkt. b) E : x + z = 5 x = 5 y = ± 5 Schnittpunkte sin: Aufgabe 6.4 Wieerholung: Gegeben Sei as skalare Potential er Eranziehungskraft: Φ(r) = G M Ere. r a) Berechnen Sie ie ersten beien Taylorpolynome an er Stelle r = r e, em Raius er Ere. ± 5 Φ(r) G M Ere r e + G M Ere r e G M Ere r e

17 b) Ersetzen Sie jetzt (r r e ) urch z un G M Ere r urch g. Außerem können Sie ie Konstante weg lassen, a e ein Potential immer eine frei wählbare Konstante hat. Wenn Sie richtig gerechnet haben, erhalten Sie folgene Näherungsformel für as Gravitationspotential in er Nähe er Eroberfläche: Φ gz g r e z c) Berechnen Sie hieraus ie wirkene Beschleunigung a = gra(φ) = Φ = g. ) Zeigen Sie explizit, ass as Kraftfel Wirbelfrei ist,.h. rot( a) = a = g z r e zre y x zre =.

18 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt 7 Aufgabe 7. Bilen Sie as Proukt AB aus folgenen Matrizen: A = 4 5 B = AB = 4 5 Aufgabe 7. Zeigen Sie z.b. anhan er Matrizen aus Aufgabe 7., ass im allgemeinen gilt AB BA. BA = 6 5 BA Aufgabe 7. Bestimmen Sie ie Transponierten er folgenen Matrizen A = 4 B = i 7 i A T = 4 B T = i 7 i Aufgabe 7.4 Gegeben seien zwei Matrizen A un B. Zeigen Sie, ass Matrix B ie Inverse von Matrix A ist, bzw. A ie Inverse von B. A = Einfachste Lösung: Berechne A B = Aufgabe 7.5 Ermitteln Sie ie Inverse von A: B = A = = Aufgabe 7.6 Berechnen Sie ie Determinante von: A = 5 6 = 5 6 = B = 4 5 = 9 Aufgabe 7.7 Beweisen Sie, ass (AB) T = B T A T. (AB) T = (c i j ) T = c ji = a jm b mi = m b mi a jm = m m b T ima T mj = B T A T

19 Lösungen zur Übung Sommersemester 4 - Übungsblatt 8 Aufgabe 8. Gegeben sin folgene Vektoren in kartesischen Koorinaten. Waneln Sie iese um in Polar- bzw. Zyliner un Kugelkoorinaten. a) = c) = π 4 b) = π 6 ) = π 4, 955 e) = egal Aufgabe 8. Integrieren Sie: a) y= x= x x y = c) x x y x = x= y=x = b) y z e az z y x = y y (e az e az ) x= y=y z=z a ) x x+ y z y x = 4 x= y= z= Warum müssen Sie bei en Aufgaben c) un ) ie Reihenfolge beachten? Die Reihenfolge muss beachtet weren weil ie Grenzen es inneren Integrals von er Variable es äußeren Integrals abhängen. Aufgabe 8. Berechnen Sie as Volumen eines Zylinerrings mit em inneren Raius R i, em äußeren Raius R a un er Höhe h V = Ra h π ρ=r i z= φ= ρ φ z ρ = πh R a R i Aufgabe 8.4 Ein Rechteck er Länge h un er Breite R rotiert um ie x-achse. Dabei entsteht ein Zyliner. a) Berechnen Sie as Volumen es Zyliners urch geschickte Integration. V = R h π ρ= z= φ= ρ φ z ρ = πhr b) Berechnen Sie as Volumen es Zyliners mithilfe er Gulinsche Regel. Wie man leicht erkennt, liegt er Schwerpunkt bei S = R. Die Fläche ist A = h R. Damit ergibt sich für as Volumen V = πsh = πhr. Aufgabe 8.5 Beweisen Sie ie. Gulinsche Regel mithilfe er Definition es Schwerpunktes: S = A A ρ z ρ Sei f (ρ; z) eine Funktion, welche ie aufspannene Fläche beschreibt,.h. f (ρ; z) =, wenn (ρ z) ein Punkt auf er Fläche ist, ansonsten. Dann lässt sich as Volumen es Rotationskörpers wie folgt berechnen: V = V V = ρ z π φ= f (ρ; z) ρ φ z ρ = π ρ z f (ρ; z) ρ z ρ = π A ρ z ρ = πs A