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1 Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik III Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik, Wirtschaftsinformatik WS /.. Name Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe 5 max. Punkte Punkte Note Bitte beachten! Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und Matrikelnummer. Beginnen Sie jede Aufgabe mit einem neuen Blatt. Alle Aussagen müssen sorgfältig begründet werden. Bearbeitungszeit Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: Keine. Viel Erfolg!

2 . Aus statistischen Untersuchungen ist bekannt, dass 5% aller Texte einen bestimmten Rechtschreibfehler enthalten. Ein Programm zur Überprüfung der Rechtschreibung eines Textes, erkennt diesen Rechtschreibfehler mit einer Wahrscheinlichkeit von, 9. Enthält ein Text den Rechtschreibfehler nicht, so erkennt das Programm dennoch den Rechtschreibfehler mit einer Wahrscheinlichkeit von,. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass i das Programm bei einem zufällig überprüften Text diesen Rechtschreibfehler erkennt mithilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit P (B m P (B A i P (A i, Ω m A i, B Ω. i ii der Text diesen Rechtschreibfehler enthält, falls das Programm den Rechtschreibfehler erkennt. Runden Sie auf eine Stelle nach dem Komma. Sei A das Ereignis, dass der Text den Rechtschreibfehler enthält; B, dass das Programm den Rechtschreibfehler erkennt. P (B A, 9, P (B Ā,, P (A, 5, P (Ā, 95 zu i Nach dem Gesetz von der totalen Wahrscheinlichkeit gilt: i P (B P (B A P (A + P (B Ā P (Ā, 9, 5 +,, 95, 5 +, 9, 5 zu ii P (A B P (A B P (B,5,5, mit P (A B P (B A P (B A P (A, 9, 5, 5. Sei f : R [, ] gegeben mit, x < x, x f(x /x, < x, x > gegeben: i Zeigen Sie, dass die Funktion f(x Dichtefunktion einer Zufallsgröße + X ist, d.h., zeigen Sie f(xdx. ii Berechnen Sie den Erwartungswert E(X.

3 iii Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X < und P (X >. zu i zu ii zu iii f(xdx E(X P ( x < x dx + x dx [ x] + [ x] + ( ( xf(xdx x dx + [ x] + [ln x ] + ln f(xdx dx x x dx [ x] 8 P ( ( x > P x f(xdx ( x dx + x dx [ x] [ ] ( + x. Gegeben sei die Funktion f : R R mit f(x x cos ( π x x + auf dem Intervall [, ]. i Zeigen Sie, dass p(x x + x das quadratische Interpolationspolynom von f an den Stützstellen x i i mit i,, ist. ii Berechnen Sie f(, 5 näherungsweise mithilfe des Interpolationspolynoms p(x. iii Bestimmen Sie fünf Stützstellen (a i, b i, i, mit a i [, ], so dass p(x das Interpolationspolynom bzgl. diesen Stellen ist. zu i i x i f(x i 7 p(x a + a x + a x 7 a a + a a a + a + a a, a, a p(x x + x zu ii x, 5 und f(, 5 p(, 5, 5+, 5 +, 5 zu iii Gemäß Satz. müssen diese fünf Stützstellen auf dem Polynom p(x liegen, d.h. p(a i b i. Für (zum Beispiel a i, /,, /, erhält man b i p(a i 7,,,,.

4 . Gegeben ( sei das lineare Gleichungssystem ( Ax b mit A und b. i Untersuchen Sie die Matrix A auf Diagonaldominanz. ii Berechnen Sie, ausgehend vom Startvektor x ( (, T, zwei Näherungslösungen x ( und x ( mithilfe des Jacobi-Verfahrens x (k+ D (b (L + U x (k. iii Zeigen Sie, dass der relative Fehler der Näherungslösung x ( ( 7/ / des Jacobi-Verfahrens im Vergleich zur exakten Lösung kleiner als /9 ist. zu i A ist diagonaldominant, da > und >. zu ii Jacobi-Verfahren: ( mit D x ( x ( ( zu iii x (. Somit ist der relative Fehler:, L ( (, U (, x ( [( ( ( ] ( (( ( ( ( 5 ( [( ( ( 5 ] ( (( ( ( ( ( 5 7 echte Lösung: x x x x da größer als ist. ( / 5 < 9, ( 5 5. i Zeigen Sie, dass y sin(x und y cos(x linear unabhängige Funktionen sind. ii Gegeben sei die Differentialgleichung y y y sin( x. a Bestimmen Sie eine Lösung der Differentialgleichung. 7

5 b Bestimmen Sie eine Lösung y(x der Differentialgleichung mit y(. zu i Zum Beispiel mit Hilfe der Wronski-Determinante (siehe Def.. und Satz.5. Hier ist ( ( y y W (x det sin(x cos(x y y det cos(x sin(x sin (x cos (x. Also sind y, y linear unabhängig. zu ii Es handelt sich hierbei um eine lineare inhomogene DG mit konstanten Koeffizienten. Das charakteristische Polynom der zugehörigen homogenen DG lautet τ(λ λ λ (λ + (λ. zu ii.a Hier verwenden wir für eine partikuläre Lösung y p den Ansatz aus Satz.7 ii und bzgl. der dortigen Notation haben wir m, β und γ. Wegen τ(γi τ( i ergibt sich der Ansatz y p b (µ cos(x + µ sin(x ρ cos(x + ρ sin(x, mit ρ i b µ i. Ableiten ergibt y p ρ sin(x + ρ cos(x, y p ρ cos(x ρ sin(x. Einsetzen in die DG führt zu y p y p y p sin(x cos(x( ρ ρ + sin(x( ρ + ρ. Aufgrund der linearen Unabhängigkeit von cos(x und sin(x (siehe Teil i muss gelten ρ ρ und ρ + ρ mit der Lösung ρ / und ρ /. Somit ist y p cos(x sin(x eine partikuläre Lösung der DG. zu ii.b Das charakteristische Polynom hat die beiden Nullstellen λ und λ. Nach Satz. sind somit e x und e x zwei linear unabhängige Lösungen und nach Satz./. ist daher die allgemeine Lösung der DG gegeben durch y(x cos(x sin(x + c e x + c e x, c, c R. Dann ist y( +c +c. Mit c und c ist dann y( und y(x cos(x sin(x e x ist eine Lösung der DG mit y(. 5

6 . Bestimmen Sie alle Funktionen y : R R, die folgendes Problem lösen: y + sin(xy sin(x, mit y(π/. Gehen Sie dabei wie folgt vor: i Lösen Sie die zugehörige homogene Differentialgleichung. ii Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. iii Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der obigen inhomogenen Differentialgleichung und die Lösung y des Problems unter der Annahme y(π/. i Die zugehörige homogene Differentialgleichung ist y + sin(xy. Die Lösung y h davon kann man mittels Separation der Variablen (Satz. wie folgt finden: dy y sin(xdx. Somit ist ln(y h (x cos(x + c für eine Konstante c R. Dann ist für c R. y h (x ce cos(x ii Eine partikuläre Lösung findet man mit Hilfe der Variation der Konstanten (Bemerkung.9 oder durch draufschauen. Diese ist dann der Form y p (x c(xe cos(x wobei c(x bestimmt werden soll (oder mit Bemerkung.9 direkt berechnet werden. Die Ableitung von y p ist nun y p (x sin(xe cos(x c(x + c (xe cos(x. Einsetzen in der inhomogenen Differentialgleichung liefert sin(xe cos(x c(x + c (xe cos(x + sin(xe cos(x c(x sin(x. Also ist c (xe cos(x sin(x. Mittels Integration bzgl. x erhalten wir c(x: c(x c (xdx sin(xe cos(x e cos(x + c,

7 mit c R. Somit ist eine partikuäre Lösung (c y p e cos(x e cos(x. iii Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung ist gegeben durch (Satz. y y p + y h. Also ist y ce cos(x +, c R. Um die Lösung des Anfangswertproblems zu finden, setzen wir den Wert in der inhomogenen Differentialgleichung ein: y(π/ ce cos(π/ + c +. Somit ist c, und e cos(x + ist die Lösung des Anfangswertproblems. 7