Übungen zum Ferienkurs Analysis II
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- Benedikt Geiger
- vor 6 Jahren
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1 Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4. Umkehrbarkeit I Man betrachte die durch g(s, t = (e s cos(t, e s sin(t gegebene Funktion g : R R. Zeigen Sie, dass g die Bedingungen des Satzes über Umkehrfunktionen erfüllt, aber nicht injektiv ist Wir berechnen die Jacobimatrix von g. ( e J g = s cos(t e s sin(t e s sin(t e s cos(t Für die Determinante erhalten wir det J g = e s ( cos (t + sin (t = e s > 0 (s, t R Nach dem Satz über Umkehrfunktionen folgt damit, dass g auf ganz R ein lokaler Diffeomorphismus ist. g ist aber nicht injektiv denn es gilt g(s, t + π = g(s, t. 4. Umkehrbarkeit II Zeige: die Abbildung f : R \ {(0, 0} R, (x, y (x y, xy ist in allen Punkten ein lokaler C -Diffeomorphismus. Matrix Die Abbildung ist stetig differenzierbar und wir betrachten die Invertierbarkeit der Jacobi- ( x y J f = y x Die Determinante der Jacobi-Matrix lautet det J f = 4x + 4y > 0 (x, y R \ {(0, 0}. Damit folgt die Behauptung aus dem Satz über die Umkehrfunktion. 4.3 Implizite Funktionen I Zeigen Sie, dass sich die Gleichung x + y + z = sin(xyz in einer Umgebung V von (0, 0, 0 R 3 eindeutig nach z auflösen lässt. D.h. in einer geeigneten Umgebung U von (0,0 existiert eine Funktion z = g(x, y mit f(x, y, z = x + y + z sin(xyz = 0. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von g an der Stelle (0,0. f(x, y, z = x + y + z sin(xyz = 0 I f = ( yzsin(xyz xzsin(xyz xysin(xyz z (0, 0, 0 = 0. Damit existiert in einer Umgebung von (0,0 eine Funtion g(x,y mit f(x,y,g(x,y=0. Die Ableitung ergibt sich nach dem Satz über implizite Funktionen. D (x,y g(0, 0 = (D z f(0, 0, g(0, 0 D (x,y f(0, 0, g(0, 0 = (, Karolina Stoiber, Aileen Wolf Abgabe:
2 4.4 Implizite Funktionen II Sei f : R 3 R definiert durch f(x, y, z := x + yz + z e z. (a Zeigen Sie, dass in einer Umgebung des Punktes (,0,0 eine Funktion g(x, y existiert, die die Gleichung f(x, y, z = 0 nach z = g(x, y auflöst. (b Wie lautet der Gradient von g im Punkt (,0? ( ( ( ( ( (a Beh In einer Umgebung des Punktes (,0,0 existiert eine Funktion g(x, y, die die Gleichung f(x, y, z = 0 nach z = g(x, y auflöst. Bew Der Satz über implizite Funktionen aus der Vorlesung würde eine solche Auflösung liefern, falls seine Voraussetzungen erfüllt wären. Wir verifizieren also die Anwendbarkeit dieses Satzes: (a Die Funktion ist stetig differenzierbar, f C (R 3, R, da Polynome und die Exponentialfunktion glatt sind. (b Die Funktion verschwindet im Punkt (,0,0, d.h. f(, 0, 0 = 0. (c Die Ableitung nach der aufzulösenden Variablen ist am Punkt (,0,0 ungleich Null, z f(x, y, z = y + z e z, z f(, 0, 0 =. Der Satz über implizite Funktionen liefert nun die Existenz einer stetig differenzierbaren Funktion g mit g(, 0 = 0 und f(x, y, g(x, y = 0 in einer Umgebung von (x, y = (, 0. (b Beh g(, 0 = (, 0 Bew Gemäß der Formel aus der Vorlesung berechnet sich der Gradient von g folgendermaßen g(, 0 T = ( z f(, 0, 0 ( x f(, 0, 0 y f(, 0, 0. Da x f(x, y, z = x und y f(x, y, z = z, folgt die Behauptung. ( 0 ( 0 x ( 0 ( ( 4.5 Lineare Differentialgleichungen Gegeben ist die Differentialgleichung y + 7y + 5y + 9y = 0. (a Welche Dimension hat der sraum der Gleichung? (b Welche der folgenden Funktionen von x sind en der Gleichung? (i ln x (ii 0 (iii
3 (iv e x (v + x + x + 6 x3 (c Geben Sie ein Fundamentalsystem der Gleichung an! (d Geben Sie die Menge aller reellen en der Differentialgleichung y + 7y + 5y + 9y = 3 an! (a homogene lineare Differentialgleichung dritter Ordnung, ihr sraum ist also dreidimensional (b Die Gleichung hat konstante Koeffizienten, somit sind ihre en Produkte von Polynomen (maximal. Grades und Exponentialfunktionen, und Linearkombinationen davon. Die Nullfunktion ist immer eine. Man überprüft leicht, dass auch e x eine ist, da Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist. (c Das charakteristische Polynom ist χ(λ = λ 3 +7λ +5λ+9 mit der aus (b bekannten Nullstelle. Polynomdivision ergibt χ(λ = (λ + (λ + 6λ + 9 = (λ + (λ + 3. Also ist 3 noch eine doppelte Nullstelle. Somit ist (e x, e 3x, xe 3x Basis des sraums. (d Offenbar ist die konstante y(x = 3 der inhomogenen DGL. Der gesamte sraum besteht aus der Summe dieser konstanten und einer beliebigen des homogenen Systems. 4.6 Separierbare Differentialgleichung I Gegeben ist die Differentialgleichung ẋ = x mit x(t R. (a Für welche Anfangswerte x(0 zur Zeit t = 0 ist x(t = x(0 für alle t R eine? (b Bestimmen Sie für den Anfangswert x(0 = 0 eine auf ganz R definierte. Hinweis: arcsin (x = x für x [, ]. (c Ist die der Differentialgleichung mit dem Anfangswert x(0 = eindeutig bestimmt? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. (a Ist eine x(t = c konstant, so folgt ẋ(t = 0 also x(t = 0, somit x(t = x(0 = ±. Dies sind offenbar auch en. (b Trennung der Variablen im Bereich x ], [ führt auf das Integral G(x := dx = t t 0 x Eine Stammfunktion von x ist G(x = arcsin(x, definiert für x ], [. Einsetzen der Anfangsbedingung x(0 = 0 liefert G(0 = 0 = 0 t 0, also t 0 = 0. Auflösen von G(x = t für t ] π, π nach x liefert das Ergebnis x(t = sint. Dieses kann nach links durch x(t = für t π und nach rechts durch x(t = für t π stetig differenzierbar fortgesetzt werden. 3
4 (c Nein, die ist nicht eindeutig. Neben x(t = ist z.b. auch x(t 5 mit dem x(t aus (b eine des Anfangswertproblems. Das liegt daran, dass x bei x = ± nicht Lipschitzstetig ist. 4.7 Separierbare Differentialgleichung II Gegeben ist die Differentialgleichung ẋ = f(t, x mit f(t, x = te t+x. (a Geben Sie ein erstes Integral (Konstante der Bewegung für die Differentialgleichung an. (b Geben Sie eine maximale x : I R der Differentialgleichung mit dem Anfangswert x(0 = 0 an. (c Welche Eigenschaften besitzt die Funktion f : R R, die hinreichend sind für die lokale Existenz und Eindeutigkeit von en obiger Differentialgleichung? f ist stetig f ist erstes Integral f ist stetig differenzierbar f ist lipschitzstetig f ist lokal lipschitzstetig (d Ist die maximale des AWP ẋ = f(t, x, x(0 = 0 eindeutig bestimmt? (a Trennung der Variablen liefert ẋe x = te t. Somit ist F (t, x = e x dx te t dt = e x te t + e t dt = e t +( te t eine Konstante der Bewegung. (b Auflösen der Gleichung F (t, x = F (0, x(0 = 0 nach x ergibt x(t = ln ( te mit der t richtigen Anfangsbedingung. Der Definitionsbereich der maximalen ist der Bereich, wo das Argument des Logarithmus positiv ist, also für t ], [. (c Stetige Differenzierbarkeit und die daraus folgende lokale Lipschitzstetigkeit sind hinreichend für die lokale Existenz und Eindeutigkeit von en. Stetigkeit genügt i.a. nicht. f ist weder erstes Integral noch lipschitzstetig. x x f ist stetig f ist erstes Integral f ist stetig differenzierbar f ist lipschitzstetig f ist lokal lipschitzstetig (d Ja - aus lokaler Eindeutigkeit von en folgt schon die Eindeutigkeit maximaler en. 4.8 Lineares Differentialgleichungssystem Lösen sie das AWP ẋ = Ax mit 0 0, x(0 = Hinweis: Schreiben Sie das System als eine Differentialgleichung höherer Ordnung für x. 4
5 Ausgeschrieben ist x = x x = x 3 x 3 = x + x also ẍ = x = 4x 3 und x... = 4x 3 = 4x + 4x. Also lösen wir... x x + 4x = 0 mit den Anfangswerten x (0 = 5, x (0 = x (0 = 6 und ẍ (0 = x (0 = 4x 3 (0 =. Das charakteristische Polynom λ 3 λ + 4 mit der (erratenen Nullstelle λ =. Polynomdivision ergibt (λ 3 λ + 4 : (λ + = λ λ +, die weiteren Nullstellen sind λ,3 = ± = ± i. Ein reelles Fundamentalsystem ist also e t, e t cos t, e t sin t. Wir suchen α, β, γ R, so dass x (t = αe t + βe t cos t + γe t sin t die Anfangsbedingungen erfüllt. Taylorentwicklung: e t = t + t +... Somit gilt: e t cos t = ( + t + t +...( t +... = + t + O(t 3 e t sin t = ( + t + t +...(t 6 t = t + t + O(t 3 x (t = α + β + t( α + β + γ + t (α + γ + O(t 3. Koeffizientenvergleich ergibt das lineare Gleichungssystem α + β = x (0 = 5, α + β + γ = x (0 = 6, α + γ = ẍ(0 = 6, Also somit α =, β = 4, γ = 4. Die des AWPs lautet also γ = 6 α 4α + β = 0, x (t = e t + 4e t (cos t + sin t x (t = x (t = ( e t + 4e t (cos t + sin t + 4e t ( sin t + cos t = e t + 4e t cos t x 3 (t = x (t = (e t + 4e t (cos t sin t = e t + (cos t sin t 4.9 RC-Glied Ein periodisch angeregtes RC-Glied (R=Widerstand, C=Kondensator lässt sich in dimensionsloser Form folgenderweise darstellen. ẋ + x = Asin(ωt, ω > 0 Lösen Sie die DGL als Summe aus allgemeiner der homogenen DGL und partikulärer der inhomogenen DGL. 5
6 der homogenen DGL ẋ + x = 0: x(t = c e t Partikuläre des der inhomogenen DGL: x(t = c sin(ωt + c 3 cos(ωt 3 Gesamtlösung: x(t = c e t + c sin(ωt + c 3 cos(ωt. Bestimme c über x(0 = x 0 = c + c x(t = (x 0 c 3 e t + c sin(ωt + c 3 cos(ωt 4.0 Trennung der Variablen Lösen Sie die folgenen DGLs durch Trennung der Variablen. i y = y x ii (x y = y y(0 = 3 iii (x y = y y(0 = 5 i dy = xdx y y = + c y = x +c ii y(x = c((x y(0 = 3 y(x = 3 6x iii dy y = dx x = ( x x+ dx Das Integral existiert nur für x ± ln y ln c = ln x x+ y = c x x+ y(0 = 5 { x ± y = x y = x+ x = ± y = 0 4. Oszillierende Platte Eine in der x-z-ebene unendlich ausgedehnte dünne (D-Platte bei y = 0 befindet sich in einem inkompressiblen Fluid (Viskosität ν und oszilliert in x-richtung mit der Geschwingkeit U cos(ωt. Das Geschwindigkeitsfeld des Fluids lässt sich durch die Navier-Stokes-Gleichung beschreiben. Zeigen Sie, dass die DGL gelöst wird durch v x t = ν v x y v = v x (y, t 0 0 v(y, t = Ue ky cos(ky ωt, k = ω ν Hinweis: Verwenden Sie die no-slip Bedingung (Geschwindigkeit des Fluids an der Oberfläche der Platte ist gleich der Geschwindigkeit der Platte selbst und v = 0 für y und den Ansatz v x = Re(f(ye iωt. Setze Ansatz v x = Re(f(ye iωt in Navier Stokes Gleichung vx t iωf(ye iωt = νf (ye iωt ( = ν v x y ein. 6
7 Ansatz für f: f(y = e ay, Setze f(y in ( ein. +i a = ± ω ν = ±k( + i f(y = Ae ky(+i + Be ky(+i Bestimme A,B: f(y = 0 A = 0 v x = Re ( Be ky(+i eiωt = Re ( Be ky ei(ωt ky = Be ky cos(ky ωt v x (y = 0 = Ucos(ωt B = U 4. Charakteristisches Polynom Lösen Sie die DGL 3y + y y = 0 mit den Randbedingungen y(= und y (=0 mit Hilfe des charakteristischen Polynoms. Charakteristisches Polynom: 3λ + λ = 0 λ = λ = 3 der DGL: y(t = a e t + a e 3 t y (t = a e t + 3 a e 3 t Bestimmung der Koeffizienten über Randbedingungen: lineares Gleichungssystem ( ( y( e y = e (a ( 3 ( e 3 e = 3 a 0 Löse ( Gleichungssystem mit Gaußschen Additionsverfahren: [cc c]e e ( 3 [cc c]e ( ( a 0.5e e 3 e e 4 = 3 a.5e Gradienten Systeme a Seit dx/dt=f(x,y und dy/dt=g(x,y. Zeigen Sie, dass, falls es sich um ein Gradientensystem handelt, gilt: df/dy=dg/dx b Überprüfen Sie, ob es sich bei den folgenden Systemen um Gradientensysteme handelt? Konstruieren Sie gegebenenfalls eine Potentialfunktion U(x,y. i ẋ = y + ycos(x, ẏ = xy + sin(x ii ẋ = 3x e y, ẏ = xe y a Falls es sich um ein Gradientensystem handelt gilt: ẋ = f(x, y = U(x,y x und ẏ = g(x, y = U(x,y y f(x,y y = U(x,y yx = U(x,y xy = g(x,y x b i y f(x, y = y (y + ycos(x = y + cos(x xg(x, y = x (xy + sin(x = y + cos(x Es handelt sich also um ein Gradientensystem. Integriere partiell, um ein Potential zu finden. (y + ycos(xdx = y x + ysin(x + c (y = U(x, y mit c (x = 0 7
8 (xy + sin(xdy = y x + ysin(x + c (x = U(x, y mit c (y = 0 ii y f(x, y = ey xg(x, y = ey Es handelt sich ebenfalls um ein Gradientensystem. Integriere wieder partiell. (3x e y dx = x 3 x xe y + c y = U(x, y mit c (y = 0 ( xe y dy = xe y + c (x = U(x, y mit c (x = x 3 x 8
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