Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen

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1 Kapitel 2 Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen Die meisten partiellen Differentialgleichungen sind von 3 Grundtypen: elliptisch, hyperbolisch, parabolisch. Betrachte die allgemeine Dgl. 2. Ordnung, in zwei Dimensionen: Lu = a(x, y) u xx + 2b(x, y) u xy + c(x, y) u yy = f(u, u x, u y, x, y) (2.1) Bem.: a) L ist eine linearer Operator. b) Gl. (2.1) ist linear in höchsten Ableitungen, d.h. a, b, c sind keine Fkt. von (u, u x, u y ). Die Gl. ist semilinear, aufgrund der rechten Seite. c) Eine Koordinate kann auch die Zeit t sein. Betrachte zugehörige quadratische Form mit Q(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 = x t Ax (2.2) x = ( x y ) ( a b, A = b c und dem transponiertem Vektor x t, dann beschreibt ), Q(x, y) = const. = R (2.3) einen Kegelschnitt: Entweder eine Ellipse, Hyperbel, oder Parabel, abhängig von den Koeffizienten a, b, c. Def. Die korrespondierende Dgl. heißt also hyperbolisch parabolisch elliptisch für Bem.: Definition ist lokal, d.h. abhängig vom Punkt (x, y). b 2 ac > 0, Det(A) < 0 b 2 ac = 0, Det(A) = 0 b 2 ac < 0, Det(A) > 0 15

2 16 KAPITEL 2. KLASSIFIKATION PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Die Gleichung (2.1) kann durch eine geeignete Transformation ξ = ξ(x, y) und η = η(x, y) auf Normalform gebracht werden. Dies entspricht einer Diagonalisierung der quadratischen Form (2.2) B = T T A T, wobei B eine reelle Diagonalmatrix (mit den Eigenwerten von A) ist. Mit der Definition von A folgen die Eigenwerte aus ( ) a λ b det = 0. b c λ Man erhält λ 1,2 = a + c ± 1 (a + c)2 4(ac b ) (2.4) Für die Grundtypen ergibt sich hyperbolisch b 2 ac > 0 sign λ 1 = sign λ 2 parabolisch b 2 ac = 0 λ 1 = a + c, λ 2 = 0 elliptisch b 2 ac < 0 sign λ 1 = sign λ Normalformen Falls die Koeffizienten (a, b, c) die obigen Bedingungen erfüllen, kann die Dgl. (2.1) immer durch eine Koordinatentransformation auf die zugehörige Normalform gebracht werden. Man erhält a) hyperbolisch mit einer weiteren Transformation u ξη = f(u, u ξ, u η, ξ, η) α = η ξ, β = η + ξ folgt die übliche Form u αα u ββ = f(u, u α, u β, α, β) (2.5) Bspl.: Wellengleichung (in 2D) u xx + u yy 1 c u 2 tt = 0 b) elliptisch Bspl. u ξξ + u ηη = f (2.6) u xx + u yy = 0

3 2.2. CHARAKTERISTIKEN 17 Laplacegleichung, allg. Potentialgleichungen. Z.B. stationäre Lösung der Diffusionsgleichung. c) parabolisch Bspl. u ξξ = f (2.7) u t = κ(u xx + u yy ) Wärmeleitungsgleichung, Diffusionsproblem, Viskosität. 2.2 Charakteristiken Betrachte ein Problem mit Anfangs- und Randbedingungen (siehe Abb. 2.1) Frage: Unter welchen Bedingungen ist die Kenntnis von u, u x, u y auf einer Kurve Γ ausreichend zur eindeutigen Berechnung von u xx, u xy, u yy, so dass Gl. (2.1) erfüllt ist? t Γ Randbedingungen Randbedingunen Anfangsbedingungen Abbildung 2.1: Entwicklung der Lösungen der Differentialgleichung in einem Raum-Zeit- Diagramm Damit Ableitungen existieren, muss gelten du x = u xx dx + u xy dy du y = u xy dx + u yy dy

4 18 KAPITEL 2. KLASSIFIKATION PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN mit (2.1) ergibt sich a 2b c dx dy 0 0 dx dy u xx u xy u yy = f du x du y (2.8) Die Gleichung (2.8) hat eine eindeutige Lösung (für u xx, u xy, u yy ), falls die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet. ady 2 2bdx dy + cdx 2 0 (2.9) Falls die Ungleichung (2.9) erfüllt ist, dann existieren die zweiten Ableitungen und sie sind identisch ober- und unterhalb der Kurve Γ. Die Lösung von (2.1) kann in Nachbarpunkten von Γ berechnet werden. Die charakteristische Gleichung zu Gl. (2.1) erhält man durch Nullsetzen der Determinante in Gl. (2.9). Also ( ) 2 dy a 2b dy + c = 0. (2.10) dx dx Die Charakteristiken sind dann durch die gewöhnliche Dgln. dy dx = 1 [ b ± ] b a 2 ac (2.11) gegeben. In diesem Fall spezifiziert Gl. (2.8) die zweiten Ableitungen nicht vollständig und verschiedene Lösungen sind möglich ( Ausbreitung von Diskontinuitäten). Anhand des Vorzeichens der Diskriminanten erkennt man: hyperbolisch parabolisch elliptisch zwei reelle Charakteristiken eine reelle Charakteristik keine reelle Charakteristiken Im Fall des Verschwindens der Determinante in Gl. (2.9) ist es trotzdem oft möglich die weitere Lösung (entlang dieser Charakteristiken und damit im gesamten Raum) zu berechnen, wie die folgenden Beispiele illustrieren: (i) Lineare Advektionsgleichung in 1D Advektion heißt hier soviel wie Transport. mit a = const. Für das totale Differential gilt u t + a u x = 0 (2.12) du = u t Diese beiden Gleichungen lassen sich schreiben als ( ) ( ) 1 a ut = dt dx u x u dt + dx (2.13) x ( 0 du )

5 2.2. CHARAKTERISTIKEN 19 Die Koeffizientematrix verschwindet für dx adt = 0 und die Charakteristik lautet somit dx dt = a (2.14) Der Vergleich mit dem totalen Differential von u (Gl. 2.13) zeigt, dass auf der durch Gl. (2.14) definierten Charakteristik gilt du = 0 (2.15) Mit anderen Worten: u(x, t) wird entlang Charakteristiken unverändert transportiert. Betrachtet man die Charakteristiken an allen Punkten x, kann somit die Lösung im gesamten Raum konstruiert werden. Darauf basieren auch einige numerische Verfahren zur Lösung der Euler-Gleichungen. Die allgemeine Lösung des linearen Advektionsproblems ist durch u(x, t) = u 0 (x at) (2.16) gegeben, die Information wird mit der konstanten Geschwindigkeit a in x-richtung transportiert. (ii) Lineare Wellengleichung in 2D Die Lösung ist konstant auf Geraden. Bem.: u tt c 2 u xx = 0 dx 2 c 2 dt 2 = 0 (2.17) x ± ct = const. i) Anfängliche Diskontinuitäten breiten sich entlang Charakteristiken aus (Stoßwellen) ii) Die Lösung von parabolischen und elliptischen Gleichungen sind immer analytisch, auch bei diskontinuierlichen Anfangsbedingungen. iii) Falls die Kurve Γ, auf der die Daten u, u x, u y gegeben sind, Charakteristik ist, dann hat (2.1) keine Lösung. (Außer die Daten erfüllen die notwendigen Bedingungen auf Charakteristik, aber Lsg. nicht eindeutig). iv) Die Unterscheidung in parabolisch-hyperbolisch numerisch nicht sooo wichtig, weil häufig Mischtypen vorkommen. Z.B. in der Hydrodynamik: u t + u u x = αu xx. v) Wichtigere Unterscheidung: Anfangswertproblem oder Randwertproblem. vi) Es ist also nicht möglich, elliptische Gleichungen stabil von den Rändern zu integrieren.

6 20 KAPITEL 2. KLASSIFIKATION PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Numerisch ist Unterscheidung zwischen Anfangs- und Randwertproblem wichtiger. Anfangswertproblem: 2 u z.b. t = u 2 α 2 (2.18) x 2 Wenn u zu einem Zeitpunkt t 0 für alle x gegeben ist, dann beschreibt die Dgl. wie sich u(x, t) mit der Zeit entwickelt. Das Ziel eines Codes ist es, diese zeitliche Entwicklung mit der gewünschten Genauigkeit zu erreichen. Randwertproblem: 2 u z.b. x + 2 u = ρ(x, y) (2.19) 2 y2 Allgemein nicht möglich, stabil von den Rändern nach innen zu rechnen. Statt dessen ist die Lösung eine (stationäre) Fkt. in einem bestimmten Raumbereich W. Ziel: Konvergenz auf dem ganzen Gebiet W gleichzeitig. 2.3 Zusammenfassung Die Gleichung (2.1) Lu = a(x, y)u xx + 2b(x, y)u xy + c(x, y)u yy = f(u, u x, u y, x, y) hat also (in Abhängigkeit von den Koeffizienten a, b, c) die folgenden Eigenschaften: Hyperbolisch Parabolisch Elliptisch Bed. zwischen Koeff. b 2 > ca b 2 = ac b 2 < ac Charakteristiken 2 reelle 1 reelle 2 komplexe Randbed. Cauchy Cauchy Neumann Anfangswerte Anfangswerte oder Dirichlet Rand offen offen geschlossen Eigenschaften der Wellen- Diffusion, keine Wellen, Lösung ausbreitung Irreversibilität stationär 2.4 Beispiele Zweidimensionale Strömung stationär t wirbelfrei u = 0 kompressibel u 0 ideales, isothermes Gas p = ρc 2 c = const. Variablen ρ, u = (u, v). Führe Stromfunktion φ ein u = φ u = 0

7 2.4. BEISPIELE 21 Aus (stationärer) Euler-Gleichung ergibt sich: Die Kontinuitätsgleichung lautet uφ,xx + vφ,xy + c2 ρ ρ,x = 0 (2.20) uφ,xy + vφ,yy + c2 ρ ρ,y = 0 (2.21) (ρu) = 0 u ρ + ρ φ = 0 Multiplikation von (2.20) mit u und (2.21) mit v, und Addition der Eulergleichungen liefert: [ ] 1 u2 φ c 2,xx 2 ] c u v φ 2,xy + [1 v2 φ c 2,yy = 0 Die Determinante D = det(a) (vgl. Gl. 2.1 und 2.2)lautet Die Gleichung ist also: D = 1 ] ] ] c 4 u2 v 2 + [1 [1 u2 v2 = [1 u2 + v 2 hyperbolisch für u 2 > c 2 Überschallbereich D < 0 elliptisch für u 2 < c 2 Unterschallbereich D > 0 wirbelfrei u = 0 Beispiel: Umströmter Körper (Abb. 2.2) c 2 c 2 c 2 y u > c u =c u < c x Abbildung 2.2: Umströmter Körper

8 22 KAPITEL 2. KLASSIFIKATION PARTIELLER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2.5 Literatur Ames, W.F., 1969, Numerical Methods for partial differential equations (Nelson) Zwillinger, D., 1992: Handbook of differential equations (Academic Press)