f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 2y

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1 7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe : Bestimmen Sie die Niveaumengen (Höhenlinien) der Funktion f(x, y) = x 4x + y + y und skizzieren Sie das zugehörige Höhenlinienbild im kartesischen Koordinatensystem für mindestens 4 verschiedene Niveaus, darunter für den kleinsten und den größten Funktionswert, falls diese existieren. f(x, y) = x 4x + y + y = x 4x y + y + = (x ) + (y + ) 5 5. }{{} Die Niveaulinien f(x, y) = c sind konzentrische Kreise (x ) +(y+) = c+5 mit dem Radien r = c + 5 um den Mittelpunkt M(; ). Ein größter Funktionswert existiert nicht, f ist offensichtlich nach oben nicht beschränkt. Kleinster Funktionswert bei c = 5 mit r =. Weitere Niveaulinien (Skizze) z.b. c = 4, r =, c =, r =, c = 4, r = 3. Aufgabe : Geben Sie eine Funktion f : R R an, für die die Niveaumengen { (x, y) R : f(x, y) = c } für alle c R Parabeln sind. Zum Beispiel f(x, y) = y x mit den Niveaulinien y x = c bzw. y = x +c, c R. Aufgabe 3: Seien x(t), y(t) und f(x, y) stetig (partiell) differenzierbare Funktionen. Wie lautet dann die Ableitung dw der (verketteten, mittelbaren) Funktion dt w(t) = f ( x (t), y(t) )? Durch Anwendung der verallgemeinerten Kettenregel erhält man dw dt = f x d(x (t)) + f dt y dy dt = f (x (t), y(t)) x dx x dt + f (x (t), y(t)) dy y dt oder kurz w = f x x x + f y y.

2 7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe 4: Klassifizieren Sie die folgenden Differentialgleichungen (Ordnung, (Nicht-)Linearität, ggf. (In-)Homogenität, Art der Koeffizienten). Dabei gelte y = y(x). a) sin y + 3y = x, b) y + xy = y, c) y y =. a) sin y + 3y = x nichtlineare DGL. Ordnung (In-)Homogenität und Art der Koeffizienten hier ohne Sinn. b) y + xy = y bzw. umgeformt y + xy y = also eine homogene lineare DGL. Ordnung mit nichtkonstante Koeffizienten. c) y y = ist eine lineare DGL. Ordnung, inhomogen, mit konstanten Koeffizienten. Aufgabe 5: Skizzieren Sie den Bereich B = {(x, y) : 4 x + y 9, x } und transformieren Sie das Bereichsintegral x + y dxdy xy B auf Polarkoordinaten. (Grenzen und Integrand sind anzugeben, das Integral soll nicht berechnet werden!) B ist die rechte Hälfte der Kreisringes mit Mittelpunkt (; ), dem Inneradius und dem Außenradius 3, in Polarkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ zu beschreiben als { B = (r, ϕ) : r 3, π ϕ π }. Für die Funktionaldeterminante dieser Koordinatentransfomation gilt (bekanntlich) (x, y) (r, ϕ) = x r x ϕ = y r y ϕ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ = r. Damit folgt x + y dxdy = xy B 3 π r= ϕ= π r r cos ϕ r sin ϕ r dϕ dr = 3 π r= ϕ= π r dϕ dr. cos ϕ sin ϕ

3 7. Februar Lösungshinweise Theorieteil Aufgabe 6: In der x-y-ebene seien die Mengen A = {(x, y) : x } und B = {(x, y) : < x + y < } gegeben. a) Skizzieren Sie A und B. b) Geben Sie jeweils mit Begründung an, ob die Mengen offen oder abgeschlossen sind. c) Ist B einfach zusammenhängend? (Begründung!) a) b) A ist abgeschlossen, alle Randpunkte ( x = ) gehören zur Menge. B ist offen, besitzt nur innere Punkte, die Randpunkte ( x + y =, x + y = ) gehören nicht zur Menge. c) B ist nicht einfach zusammenhängend, geschlossene Kurven in B, die um den inneren Randkreis verlaufen, lassen sich nicht auf einen Punkt zusammenziehen, ohne dabei B zu verlassen. 3

4 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f(x, y, z) = 6 xy 3 y x 3 yz. (8 Punkte) a) Stellen Sie die Hesse-Matrix H f von f(x, y, z) im stationären Punkt P (,, ) auf. b) Berechnen Sie die Eigenwerte von H f. c) Schließen Sie aus den Eigenwerten auf Definitheitseigenschaften von H f, schlussfolgern Sie daraus, ob in P eine Extremstelle von f vorliegt und wenn ja, von welcher Art (lokales Minimum/Maximum) das zugehörige Extremum ist. f(x, y, z) = 6 xy 3 y x 3 yz a) f x = 6y 6x, f y = 6x 6y z, f z = yz, für P (,, ) gilt damit f x (P ) =, f y (P ) = und f z (P ) =, also ist P stationäre Stelle von f(x, y, z). b) Hesse-Matrix: f xx = x f xy = 6 f xz = f yx = 6 f yy = 6 f yz = z f zx = f zy = z f zz = y H f (,, ) = b) Eigenwerte: det ( H f (,, ) λ E ) = λ λ λ = ( λ) [ ( λ)( 6 λ) 36 ] = ( λ) (λ + 8λ + 36)! = = ( λ) λ λ λ =, λ,3 = 9 ± 8 36 = 9 ± 45 = 9 ± 3 5 = 3 (3 ± 5) alle drei Eigenwerte sind negativ, damit ist H f negativ definit und folglich liegt in P ein relatives Maximum vor. 4

5 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe : Ermitteln Sie das Minimum und das Maximum der Funktion (8 Punkte) f(x, y) = x 4y unter der Nebenbedingung g(x, y) = x + 9y 9 =. Lagrange-Funktion: L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = x 4y + λ(x + 9y 9) Notwendige Bedingungen: L x (x, y, λ) = + λx = x = λ () L y (x, y, λ) = λy = y = 9λ () L λ (x, y, λ) = x + 9y 9 = ( λ ) + 9 ( 9λ) 9 = (3) (3) ergibt λ =, man erhält daraus λ, = ± 5 und damit aus (), () 8 schließlich x, = also die stationären Stellen P ( 9 5 ; 4 5 = 9 λ, 5, y, = = ± 4 9λ, 5, ) ( mit f 9 ; ( 4 5 5) = 5 und 9 P ; ( 4 5 5) mit f 9 ; 4 5 5) = 5. Geometrische Deutung im Raum: Gesucht sind Hoch- und Tiefpunkte der Schnittkurve zwischen der Ebene f(x, y) = x 4y und dem elliptischen Zylindermantel g(x, y) = x +9y 9 = ( schräger Schnitt durch ein Rohr mit elliptischen Querschnitt). Unter Berücksichtigung der Funktionswerte hat man damit offenbar in P ein absolutes (globales) Minimum und in P ein absolutes (globales) Maximum von f(x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) =. Möglich ist auch eine Untersuchung über das Höhenlinienbild. Die Höhenlinien (Niveaulinien) f(x, y) = x 4y = const. sind parallele Geraden, der Gradient gradf = (; 4) T ist orthogonal dazu und zeigt in Richtung wachsender Funktionswerte (Parallelverschiebung der Höhenlinien). Von allen Punkten der Ellipse x + 9 y = liefert P denn kleinsten und P größten Wert für f. 5

6 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe 3: Wird der Aufhängungspunkt eines Pendels der Länge l = m mit (5 Punkte) einer Beschleunigung von a =,5 m/s aufwärts bewegt, so ergibt sich eine Eigenfrequenz von g + a ω =, l wobei g = 9,8 m/s die Fallbeschleunigung ist. Berechnen Sie den möglichen absoluten und relativen Fehler der Eigenfrequenz, falls die Fehler der eingehenden Größen l cm und a, m/s sind. g + a ω ω(a, l) =, l a = l g + a ω, l l = ( l g + a g + a ) l ω ω a a + ω l l bei a,, l, ( [m]!). ; Absoluter Fehler: ω ( l g + a l a + g + a ) l l = ( ), + (9,8 +,5), =,3 9,8 +,5,3,97 [/s]. Relativer Fehler: ω(,5; ) =,3, ω ω(,5; ),3,597 (,6% ).,3 6

7 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe 4: a) Für welche Werte des reellen Parameters a ist das Kurvenintegral a cos y v d x mit v(x, y, z) = z x sin y wegunabhängig? γ yz (8 Punkte) b) Bestimmen Sie für das oben berechnete a diejenige Stammfunktion von v, die im Punkt (, π, ) gleich ist. c) Ermitteln Sie für obiges a den Wert des Integral v d x, wobei die Kurve γ von (, π, ) γ nach (, π, ) verläuft. a) v ist definiert und stetig partiell differenzierbar auf R 3. Integrabilitätsbedingung für Kurvenintegrale. Art (im Vektorfeld) rot v = i j k x y z a cos y z x sin y yz z + z = + =! sin y + a sin y Integral ist wegunabhängig, wenn sin y + a sin y = (unabhängig von y!), d.b. wenn a =. Dann existiert eine Stammfunktion f(x, y, z) mit v = gradf. b) Berechnung der Stammfunktion (Ansatzmethode): P cos y f x v = Q = z x sin y =! f y R yz f z c). f x = P f = P dx = cos y dx = x cos y + c(y, z) ( c(y, z) Ansatz für die von y und z abhängige Integrationskonstante).. f y = Q x sin y + c y (y, z) = z x sin y c(y, z) = ( z ) dy = yz + d(z) ( d(z) Ansatz für die von z abhängige Integrationskonstante). Zwischenstand: f(x, y, z) = x cos y yz + d(z). 3. f z = R yz + d (z) = yz d(z) = dz = C. Für die Stammfunktion ergibt sich folglich: f(x, y, z) = x cos y yz + C. Speziell für f(, π, ) = cos π + C! = findet man C = und die gesuchte spezielle Stammfunktion ist damit f(x, y, z) = x cos y yz +. (,π, ) (,π,) v d x = f(, π, ) f(, π, ) = cos π π( ) cos π + π = 3 π. 7

8 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Masse des Körpers B mit der Dichte (8 Punkte) ϱ(x, y, z) = y z, der von den Flächen x + y = 4, z = und z = x + y begrenzt wird und für den x, y gilt. Der Körper B ist das Prisma über dem Viertelkreis mit dem Radius im. Quadranten, bezüglich z begrenzt durch z x + y. Als B in Zylinderkoordinaten x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z läßt er sich beschreiben als Normalbereich r, ϕ π, z r. Die Funktionaldeterminante für die Transformation von kartesischen in Zylinderkoordinaten ist bekanntlich (x,y,z) (r,ϕ,z) = r. Für die gesuchte Masse erhält man damit m= ρ(x, y, z) dv = yz dx dy dz = ( r sin ϕ z) r dr dϕ dz B B B = π r r sin ϕ z dz dϕ dr = π r 4 sin ϕ dϕ dr r= ϕ= z= = r 4 dr π sin ϕ dϕ r= ϕ= (Produktform) r= ϕ= [ t 5 = 5 ] [ cos ϕ ] π = 3 5. Altenativ kann man hier auch in Kartesischen Koordinaten rechnen mit B = { (x, y, z) x, y 4 x, z x + y } als Normalbereich: m = = x= x= = 4 4 x y= x +y z= [ y x + ] 4 x 4 y4 yz dz dy dx = dx = (4 x )(4 + x ) dx = 4 x= 4 x y= y(x + y ) dy dx [ (4 x )x + ] 4 (4 x ) dx (6 x 4 ) dx = 4 [ 6x ] 5 x5 = 3 5 8

9 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Aufgabe 6: a) Lösen Sie das Anfangswertproblem y + x y = x, y() = 3 b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y + 4 y = e 4x + 6x.. (8 Punkte) a) y + x y = x, y() = 3 (x >!), lineare DGL. Ordnung. Homogene Gleichung (Trennung der Veränderlichen): y + x y =, y = y dy dx x, y = x, ln y = ln x + C ln y = ln x + C, y H = C x = C x. Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung (Variation der Konstanten): Ansatz y = c(x) x = c(x) x (Einsetzen in DGL) y + x y = c x + c c = ( x ) = x, c = ( ) x 3 + x c x c! = = x x x dx = x, y P = c(x) x = x x = x 3 = x3. Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: y I = y H + y P = C x + x3. Anfangswertproblem: y() = C + 3! = 3, C =, y A = x + x3. b) y + 4 y = e 4x + 6x, lineare DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Homogene Gleichung (Ansatz y = e λ x ): Charakteristische Gleichung λ + 4 =, λ, = ±i (konjugiert komplex), y H = C sin x + C cos x. Partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung : Ansatz y = A e 4x + B x + C y = 4A e 4x + B, y = 6A e 4x. Einsetzen in DGL 6A e 4x + 4 (A e 4x + B x + C) = A e x + 4B x + 4C =! e 4x + 6x A =, B = 4, C = y P = e 4x + 4x. Allgemeine Lösung: y I = y H + y P = C sin x + C cos x e 4x + 4x. 9

10 7. Februar Lösungshinweise Aufgabenteil Zusatz - Aufgabe: Berechnen Sie die Länge der durch die Parameterdarstellung x(t) = + sin t, y(t) = cos t, z(t) = t 3, t [; ] beschriebenen Raumkurve. Anmerkung: Eine fehlerbehaftete Aufgabenstellung der Zusatzaufgabe in der Originalklausur ist für diese Klausurensammlung nachträglich korrigiert worden. (3 Punkte) t ẋ(t) Lösung: S = + ẏ(t) + ż(t) dt = t = = 3 + t dt = ( ) cos t + sin t + (t ) dt [ ] ( + t) dt = ( + t) 3 = 3 3 ( ) 3