Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel

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1 Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

2 Definition: Lokale bzw. absolute Extremwerte Eine Funktion z = f (x, y) besitzt an der Stelle (x 0, y 0 ) ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum, wenn in einer Umgebung von (x 0, y 0 ) f (x 0, y 0 ) > f (x, y) bzw. f (x 0, y 0 ) < f (x, y) (1) gilt, wobei (x, y) (x 0, y 0 ). Die lokalen Minima bzw. Maxima einer Funktion werden unter dem Begriff lokale Extremwerte zusammengefasst. Ist eine der beiden Ungleichungen (1) an jeder Stelle des Definitionsbereichs von z = f (x, y) erfüllt, dann liegt an der Stelle (x 0, y 0 ) ein absolutes Maximum bzw. ein absolutes Minimum vor. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

3 Beispiel für ein globales Minimum Die Funktion z = f (x, y) = x 2 + y 2 hat an der Stelle (x 0, y 0 ) = (0, 0) ein absolutes oder globales Minimum. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

4 Beispiel für ein globales Maximum Die Funktion z = f (x, y) = e (x 2 +y 2) hat an der Stelle (x 0, y 0 ) = (0, 0) ein absolutes oder globales Maximum. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

5 Beispiel für ein globales Maximum Die Funktionen g 1 (x) = f (x, 0) = e (x ) bzw. g 2 (y) = f (0, y) = e (02 +y 2 ) haben an der Stelle x 0 = 0 bzw. y 0 = 0 ein absolutes oder globales Maximum. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

6 Notwendige Bedingung für einen lokalen Extremwert In einem relativen Extremum (x 0, y 0 ) der Funktion z = f (x, y) besitzt die zugehörige Bildfläche stets eine zur (x, y)-ebene parallele Tangentialebene. Die Bedingungen f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0 (2) sind daher notwendige Vorraussetzungen für die Existenz eines relativen Extremwertes an der Stelle (x 0, y 0 ). Dieses Kriterium ist zwar notwendig, aber keinesfalls hinreichend. D.h.: In einem Extremum verläuft die Tangentialebene stets parallel zur (x, y) Ebene, jedoch ist nicht jeder Flächenpunkt mit einer zur (x, y) Ebene parallelen Tangentielebene auch ein Hoch oder Tiefpunkt. Es kann sich auch um einen sogenannten Sattelpunkt handeln. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

7 Beispiel für einen Sattelpunkt Die Funktion z = f (x, y) = x 2 y 2 hat an der Stelle (x 0, y 0 ) = (0, 0) einen Sattelpunkt. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

8 Hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert Eine Funktion z = f (x, y) besitzt an der Stelle (x 0, y 0 ) einen lokalen Extremwert, wenn die folgenden Bedingungen zugleich erfüllt sind: 1 Die partiellen Ableitungen 1. Ordung verschwinden in (x 0, y 0 ): f x (x 0, y 0 ) = 0 und f y (x 0, y 0 ) = 0. (3) 2 Die partiellen Ableitungen 2. Ordnung genügen der Ungleichung = f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) f 2 xy(x 0, y 0 ) > 0. (4) Das Vorzeichen von f xx (x 0, y 0 ) entscheidet dann über die Art des Extremwertes (Maximum oder Minimum): f xx (x 0, y 0 ) < 0 lokales Maximum f xx (x 0, y 0 ) > 0 lokales Minimum Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

9 Bemerkungen 1 Ähnlich wie bei den Funktionen von einer Veränderlichen entscheiden also die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung über Existenz und Art der lokalen Extremwerte. 2 Die Bedingungen (3) und (4) sind hinreichend. In den Fällen < 0 und = 0 gilt: < 0: Es liegt kein Extremwert, sondern ein Sattelpunkt vor. = 0: Das Kriterium versagt, d.h. es ermöglicht in diesem Fall keine Entscheidung darüber, ob an der Stelle (x 0, y 0 ) ein lokaler Extremwert vorliegt oder nicht. 3 Der Begriff des lokalen Extremwertes läßt sich ganz analog auf Funktionen von n Veränderlichen (n > 2) erweitern. Eine notwendige Bedingung für die Existenz eines lokalen Extremwertes ist dann wieder das Verschwinden aller partiellen Ableitungen 1. Ordnung an der betreffenden Stelle. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

10 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Aufgabenstellung: Gesucht ist ein Extremwert der Funktion z = f (x, y), wobei die Variablen x, y einer Einschränkung der Form unterworfen sind. ϕ(x, y) = 0 Man unterscheidet hierbei zwei Fälle: 1 ϕ(x, y) läßt sich nach y bzw. nach x auflösen: Einsetzen gemäß y = ϕ 1 (x) bzw. x = ϕ 2 (y). z = f (x, ϕ 1 (x)) = g 1 (x) bzw. z = f (ϕ 2 (y), y) = g 2 (y) liefert dann eine Extremwertaufgabe in einer Varänderlichen. 2 Ein Auflösen der Funktion ϕ nach x bzw. y ist nicht möglich bzw. zu unpraktisch oder aufwändig. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

11 Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Die Extremwerte einer Funktion z = f (x, y) unter der Nebenbedingung ϕ(x, y) = 0 lassen sich wie folgt berechnen: 1 Bilde die Hilfsfunktion F(x, y, λ) := f (x, y) + λ ϕ(x, y). Den Faktor λ bezeichnet man als Lagrangeschen Multiplikator. 2 Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Hilfsfunktion werden gleich Null gesetzt: F x (x, y, λ) = f x (x, y) + λ ϕ x (x, y) = 0 F y (x, y, λ) = f y (x, y) + λ ϕ y (x, y) = 0 (5) F λ (x, y, λ) = ϕ(x, y) = 0 Aus diesem Gleichungssystem lassen sich die Extremwerte und der Lagrangesche Multiplikator berechnen. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34

12 Bemerkungen Beim Lagrangeschen Multiplikator handelt es sich um eine Hilfsgröße, die i.a. keine physikalische Bedeutung hat. Die Bedingungen (5) sind notwendig aber nicht hinreichend. Existenz und Art eines Extremwertes unter Nebenbedingungen sind also ggf. zu überprüfen. Häufig sind sie aufgrund der (physikalischen) Fragestellung vorgegeben. Bei Funktionen von n Veränderlichen u = f (x 1,..., x n ) mit m Nebenbedingungen (m < n) ϕ i (x 1,..., x n ) = 0 (i = 1,..., m) bildet man analog zum zweidimensionalen Fall eine Hilfsfunktion m F(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m ) = f (x 1,..., x n ) + λ i ϕ i (x 1,..., x n ) und setzt die (n + m) partiellen Ableitungen 1. Ordnung dieser Funktion gleich Null. Dies liefert (n + m) Gleichungen für die (n + m) Unbekannten x 1,..., x n, λ 1,..., λ m. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34 i=1

13 Anwendungen Fehlerrechnung Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichsgeraden Statistische Thermodynamik Quantenmechanik Lösung der Schrödingergleichung im LCAO-Formalismus Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 34