Lagrange-Multiplikatoren
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- Irmgard Messner
- vor 6 Jahren
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1 Lagrange-Multiplikatoren Ist x eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i, so dass grad f (x ) = λ i grad g i (x ). i Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x stetig differenzierbar sind und dass die Gradienten grad g i (x ) linear unabhängig sind. Lagrange-Multiplikatoren 1-1
2 Lagrange-Multiplikatoren Ist x eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i, so dass grad f (x ) = λ i grad g i (x ). i Dabei wird vorausgesetzt, dass f und g in einer Umgebung von x stetig differenzierbar sind und dass die Gradienten grad g i (x ) linear unabhängig sind. Bei nur einer Nebenbedingung hat die Lagrange-Bedingung die einfache Form grad f (x ) grad g(x ), falls grad g(x ) 0, d.h. die Niveauflächen von f und g berühren sich an einer Extremstelle. Lagrange-Multiplikatoren 1-2
3 Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen. Lagrange-Multiplikatoren 1-3
4 Die Lagrange-Bedingung ist nicht hinreichend, um zu entscheiden, ob ein lokales Extremum vorliegt und ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt. Dies lässt sich nur mit Hilfe weiterer Informationen feststellen. Die globalen Extrema erhält man durch den Vergleich der Funktionswerte an den Punkten, welche die Lagrange-Bedingung erfüllen, sowie gegebenenfalls den Randpunkten der zulässigen Menge oder Punkten mit einem Rangverlust von g. Lagrange-Multiplikatoren 1-4
5 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen Lagrange-Multiplikatoren 2-1
6 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Lagrange-Multiplikatoren 2-2
7 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Lagrange-Multiplikatoren 2-3
8 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Grund: Für m n, besteht die zulässige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind. Lagrange-Multiplikatoren 2-4
9 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Grund: Für m n, besteht die zulässige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind. (ii) m < n: Lagrange-Multiplikatoren 2-5
10 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Grund: Für m n, besteht die zulässige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind. (ii) m < n: fasse die Nebenbedingungen g i zu einer Funktion g = (g 1,..., g m ) t zusammen Lagrange-Multiplikatoren 2-6
11 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Grund: Für m n, besteht die zulässige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind. (ii) m < n: fasse die Nebenbedingungen g i zu einer Funktion g = (g 1,..., g m ) t zusammen partitioniere die Variablen als x = (u, v) R m R n m, wobei nach eventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix ( g(u, v)/ u) (u,v ) = g u (u, v ) vorausgesetzt wird Lagrange-Multiplikatoren 2-7
12 Beweis: n: Anzahl der Variablen, m: Anzahl der Nebenbedingungen (i) m n: Der n-vektor grad f (x ) ist immer als Linearkombination der, nach Voraussetzung linear unabhängigen Gradienten grad g i (x ) darstellbar. Grund: Für m n, besteht die zulässige Menge im Allgemeinen bereits aus diskreten Punkten, die durch die Nebenbedingungen festgelegt sind. (ii) m < n: fasse die Nebenbedingungen g i zu einer Funktion g = (g 1,..., g m ) t zusammen partitioniere die Variablen als x = (u, v) R m R n m, wobei nach eventueller Permutation die Invertierbarkeit der Jacobi-Matrix ( g(u, v)/ u) (u,v ) = g u (u, v ) vorausgesetzt wird Satz über implizite Funktionen = lokale Auflösbarkeit der Nebenbedingungen g(u, v) = (0,..., 0) t u = ϕ(v), (u, v) (u, v ) Lagrange-Multiplikatoren 2-8
13 Gradient der Funktion v h(v) = f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum, d.h. grad h(v ) = f u (u, v )ϕ (v ) + f v (u, v ) = 0 aufgrund der Kettenregel und mit ϕ der Jacobi-Matrix von ϕ Lagrange-Multiplikatoren 2-9
14 Gradient der Funktion v h(v) = f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum, d.h. grad h(v ) = f u (u, v )ϕ (v ) + f v (u, v ) = 0 aufgrund der Kettenregel und mit ϕ der Jacobi-Matrix von ϕ Differenzieren der Nebenbedingungen g(ϕ(v), v) = (0,..., 0) t = ϕ (v) = g u (u, v) 1 g v (u, v) Lagrange-Multiplikatoren 2-10
15 Gradient der Funktion v h(v) = f (ϕ(v), v) Null an einem Extremum, d.h. grad h(v ) = f u (u, v )ϕ (v ) + f v (u, v ) = 0 aufgrund der Kettenregel und mit ϕ der Jacobi-Matrix von ϕ Differenzieren der Nebenbedingungen g(ϕ(v), v) = (0,..., 0) t = ϕ (v) = g u (u, v) 1 g v (u, v) Setzen von λ = f u (u, v )g u (u, v ) 1 und Einsetzen des Ausdrucks für ϕ in den Gradienten f u = λg u, f v = f u ( gu 1 g v ) = λg v (u- und v-komponenten der Bedingung f = λg im Punkt (u, v )) Lagrange-Multiplikatoren 2-11
16 Beispiel: minimiere f (x, y) = y unter der Nebenbedinung g(x, y) = y 3 x 2 = 0 Minimum bei (0, 0) g = y 3 x 2 = 0 grad f (0, 0) y = 0 Lagrange-Multiplikatoren 3-1
17 Die Lagrange-Bedingung (f x, f y ) = λ(g x, g y ) nicht erfüllt: (0, 1) (0, 0) = λ( 2x, 3y 2 ) Lagrange-Multiplikatoren 3-2
18 Die Lagrange-Bedingung (f x, f y ) = λ(g x, g y ) nicht erfüllt: (0, 1) (0, 0) = λ( 2x, 3y 2 ) Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g (x, y ) = (0, 0) Lagrange-Multiplikatoren 3-3
19 Die Lagrange-Bedingung (f x, f y ) = λ(g x, g y ) nicht erfüllt: (0, 1) (0, 0) = λ( 2x, 3y 2 ) Grund: kein maximaler Rang der Jacobi-Matrix g (x, y ) = (0, 0) Die Lagrange-Bedingung ist in singulären Punkten nicht anwendbar. Lagrange-Multiplikatoren 3-4
20 Beispiel: Lagrange Bedingung für die Extremstellen (x, y ) einer bivariaten Funktion f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: d.h. grad g ist parallel zu grad f (f x, f y ) = λ(g x, g y ), grad g 0 Lagrange-Multiplikatoren 4-1
21 Beispiel: Lagrange Bedingung für die Extremstellen (x, y ) einer bivariaten Funktion f (x, y) unter der Nebenbedingung g(x, y) = 0: (f x, f y ) = λ(g x, g y ), grad g 0 d.h. grad g ist parallel zu grad f Die Niveaulinien von f im Punkt (x, y ) sind tangential zu der durch g definierten Kurve. Lagrange-Multiplikatoren 4-2
22 2 g = 0 1 (x, y ) 0 1 f =const Lagrange-Multiplikatoren 4-3
23 z.b.: f (x, y) = (x 3)(y 3) min, g(x, y) = x 2 + y 2 2 = 0 Lagrange-Multiplikatoren 4-4
24 z.b.: f (x, y) = (x 3)(y 3) min, g(x, y) = x 2 + y 2 2 = 0 Langrange-Bedingung (f x, f y ) = (y 3, x 3) = λ(2x, 2y) = λ(g x, g y ) Lagrange-Multiplikatoren 4-5
25 z.b.: f (x, y) = (x 3)(y 3) min, g(x, y) = x 2 + y 2 2 = 0 Langrange-Bedingung (f x, f y ) = (y 3, x 3) = λ(2x, 2y) = λ(g x, g y ) Elimination von λ durch Bilden der Differenz yf x xf y y(y 3) x(x 3) = 0 (y x)(y + x 3) = 0 Lagrange-Multiplikatoren 4-6
26 z.b.: f (x, y) = (x 3)(y 3) min, g(x, y) = x 2 + y 2 2 = 0 Langrange-Bedingung (f x, f y ) = (y 3, x 3) = λ(2x, 2y) = λ(g x, g y ) Elimination von λ durch Bilden der Differenz yf x xf y y(y 3) x(x 3) = 0 (y x)(y + x 3) = 0 Berücksichtigung der Nebenbedingung x 2 + y 2 2 = 0 (kein zulässiger Punkt für y + x 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie ( 1, 1) als mögliche Extremstellen Lagrange-Multiplikatoren 4-7
27 z.b.: f (x, y) = (x 3)(y 3) min, g(x, y) = x 2 + y 2 2 = 0 Langrange-Bedingung (f x, f y ) = (y 3, x 3) = λ(2x, 2y) = λ(g x, g y ) Elimination von λ durch Bilden der Differenz yf x xf y y(y 3) x(x 3) = 0 (y x)(y + x 3) = 0 Berücksichtigung der Nebenbedingung x 2 + y 2 2 = 0 (kein zulässiger Punkt für y + x 3 = 0) x = y und (1, 1) sowie ( 1, 1) als mögliche Extremstellen Existenz von Minimum und Maximum für eine stetige Funktion auf einer kompakten Menge (Kreis mit Radius 2) = f bei (1, 1) minimal und bei ( 1, 1) maximal Lagrange-Multiplikatoren 4-8
28 Beispiel: Bestimmung der Extrema von f (x, y, z) = x + 2y z unter den Nebenbedingungen g 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 8 = 0, g 2 (x, y, z) = x + z 4 = 0 (Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene) Lagrange-Multiplikatoren 5-1
29 Beispiel: Bestimmung der Extrema von unter den Nebenbedingungen f (x, y, z) = x + 2y z g 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 8 = 0, g 2 (x, y, z) = x + z 4 = 0 (Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene) Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen ( ) g 2x 2y 0 (x, y) = voller Rang für (x, y) (0, 0); auf zulässiger Menge erfüllt Lagrange-Multiplikatoren 5-2
30 Beispiel: Bestimmung der Extrema von unter den Nebenbedingungen f (x, y, z) = x + 2y z g 1 (x, y, z) = x 2 + y 2 8 = 0, g 2 (x, y, z) = x + z 4 = 0 (Ellipse: Schnitt eines Zylinders mit einer Ebene) Jacobi-Matrix der Nebenbedingungen ( ) g 2x 2y 0 (x, y) = voller Rang für (x, y) (0, 0); auf zulässiger Menge erfüllt Lagrange-Bedingung für Extremstellen (x, y, z) ( ) 2x 2y 0 (1, 2, 1) = (λ 1, λ 2 ) Lagrange-Multiplikatoren 5-3
31 bzw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y 1 = λ 2 Lagrange-Multiplikatoren 5-4
32 bzw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y 1 = λ 2 Einsetzen von λ 1 = 1/y und λ 2 = 1 in die erste Gleichung = x = y Lagrange-Multiplikatoren 5-5
33 bzw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y 1 = λ 2 Einsetzen von λ 1 = 1/y und λ 2 = 1 in die erste Gleichung = x = y Nebenbedingungen mögliche Extrema (2, 2, 2) und ( 2, 2, 6) Lagrange-Multiplikatoren 5-6
34 bzw. 1 = 2λ 1 x + λ 2 2 = 2λ 1 y 1 = λ 2 Einsetzen von λ 1 = 1/y und λ 2 = 1 in die erste Gleichung = x = y Nebenbedingungen mögliche Extrema (2, 2, 2) und ( 2, 2, 6) Existenz von Minimum und Maximum auf der Ellipse und Vergleich der Funktionswerte, f ( 2, 2, 6) = 12 < 4 = f (2, 2, 2), = f ist minimal bei ( 2, 2, 6) und maximal bei (2, 2, 2). Lagrange-Multiplikatoren 5-7
35 Beispiel: Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehängten Kette mit 2n Kettengliedern der Länge 1 Lagrange-Multiplikatoren 6-1
36 Beispiel: Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehängten Kette mit 2n Kettengliedern der Länge 1 r x 1 x 2 Lagrange-Multiplikatoren 6-2
37 Beispiel: Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehängten Kette mit 2n Kettengliedern der Länge 1 r x 1 x 2 potentielle Energie unter Berücksichtigung der Symmetrie ( x1 ) ( f (x) = 2 2 x 1 + x ) ( 2 2 x x n 1 + x ) n = a 1 x 1 a n x n mit a i = 2(n i) + 1 Lagrange-Multiplikatoren 6-3
38 Beispiel: Gleichgewichtslage einer an zwei Punkten aufgehängten Kette mit 2n Kettengliedern der Länge 1 r x 1 x 2 potentielle Energie unter Berücksichtigung der Symmetrie ( x1 ) ( f (x) = 2 2 x 1 + x ) ( 2 2 x x n 1 + x ) n = a 1 x 1 a n x n mit a i = 2(n i) + 1 Länge der Kette Nebenbedingung n g(x) = r/2 1 xi 2 = 0 i=1 Lagrange-Multiplikatoren 6-4
39 Optimierungsproblem f min, g = 0 Lagrange-Multiplikatoren 6-5
40 Optimierungsproblem f min, g = 0 Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g a i = λ x i 1 x 2 i, i = 1,..., n Lagrange-Multiplikatoren 6-6
41 Optimierungsproblem f min, g = 0 Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g a i = λ x i 1 x 2 i Quadrieren und Auflösen nach x i = x 2 i = a2 i a 2 i + λ 2, i = 1,..., n Lagrange-Multiplikatoren 6-7
42 Optimierungsproblem f min, g = 0 Lagrange-Bedingungen grad f = λ grad g a i = λ x i 1 x 2 i Quadrieren und Auflösen nach x i = x 2 i = a2 i a 2 i + λ 2 Einsetzen in die Nebenbedingung r/2 = i r n 2 = i=1, i = 1,..., n λ 2 a 2 i + λ 2 1 x 2 i Lagrange-Multiplikatoren 6-8
43 ... monotone Funktion von λ Lagrange-Multiplikatoren 6-9
44 ... monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Lösung λ Lagrange-Multiplikatoren 6-10
45 ... monotone Funktion von λ einfach zu berechnende numerische Lösung λ Bestimmung von x i aus den Lagrange-Bedingungen Lagrange-Multiplikatoren 6-11
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