Kapitel 6 Vektoranalysis. 6.1 Glatte Kurven und Flächen in R 3

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1 Kapitel 6 Vektoranalysis 6. Glatte Kurven und Flächen in R 3 Bisher haben wir unter einem glatten Weg im R n stets eine differenzierbare Abbildung γ:i R n, definiert auf einem Intervall I R, verstanden. Für n = ist das Bild von γ C := {γ(t) t I} R n eine ebene Kurve und für n = 3 ist es eine Kurve im Raum. 6.. Definition Wir bezeichnen C als glatte Kurve, falls C keine Selbstüberschneidungen hat, das heisst falls γ injektiv ist, und γ(t) 0 für alle t I. In diesem Fall gibt es zu jedem Punkt p = γ(t 0 ) auf C eine eindeutig bestimmte Tangente an C durch p, nämlich die Gerade durch p mit Richtungsvektor γ(t 0 ). Eine gewölbte Fläche im Raum hat zwei Freiheitsgrade, man benötigt daher für die Beschreibung zwei Parameter. Die Parametrisierung einer Fläche (oder eines Flächenstücks) ist also eine differenzierbare Abbildung ϕ:u R 3 von einer offenen Teilmenge U R nach R 3. Unter einer glatten Fläche im Raum wollen wir eine Teilmenge verstehen, die sich jeweils lokal parametrisieren lässt. Genauer: 6.. Definition Eine Teilmenge M R 3 bezeichnen wir als glatte Fläche in R 3, falls zu jedem Punkt p M eine offene Umgebung p U M und eine bijektive, differenzierbare Abbildung ϕ:u U von einer offenen Teilmenge U R auf U existiert mit Rangdϕ q = für alle q U. Die Abbildung ϕ bezeichnet man als lokale Parametrisierung, und die Umkehrabbildung ϕ :U U als Karte um p. Die Rangbedingung garantiert, dass M wirklich überall zweidimensional ist und weder Einschnürungen noch Falten hat. Schauen wir uns dazu einige Beispiele an Beispiel Seien r,l > 0 und ϕ(u,v) = (rcos(u),rsin(u),v) für u R und 0 < v < L. Das Bild M von ϕ in R 3 ist die Wand eines offenen Zylinders mit Durchmesser r und Höhe L. Als lokale Parametrisierung können wir jeweils eine passende Einschränkung von ϕ auf eine offene Teilmenge U R verwenden. Die Jacobimatrix der Abbildung ϕ an der Stelle q = (u,v) lautet: rsin(u) 0 J ϕ (u,v) = rcos(u) 0. 0 Die Spalten dieser Matrix sind (für alle u,v) linear unabhängig, der Rang von dϕ q ist also überall gleich.

2 6.. Glatte Kurven und Flächen in R 3 89 In den folgenden Beispielen ist die Rangbedingung nicht überall erfüllt Beispiele DieFunktionϕ:R R 3,definiertdurchϕ(u,v) = (u,u 3,v), ist injektiv und überall differenzierbar. Die Jacobimatrix von ϕ an der Stelle q = (u,v) ist hier J ϕ (u,v) = u 0 3u 0. 0 Der Rang dieser Matrix ist gleich, falls u 0 ist, und gleich, falls u = 0 ist. Tatsächlich ist das Bild von ϕ eine Fläche in R 3 mit einer Falte entlang der Linie {(0,v) v R}. Sei jetzt ϕ:( π, π) R R3 definiert durch ϕ(u,v) = (vcosu,vsinu,v ) für v 0 und durch ϕ(u,v) = ( vcosu, vsinu, v ) für v < 0. Wiederum ist ϕ injektiv und überall differenzierbar. Die Jacobimatrix lautet hier für v 0: J ϕ (u,v) = vsinu cosu vcosu sinu 0 v Der Rang dieser Matrix ist gleich, falls v 0, und gleich für v = 0. Das Bild von ϕ ist eine Fläche, die an einen in der Mitte zusammengeschnürten Vorhang erinnert. Der Teil der Fläche oberhalb der x-y-ebene ist ein halbiertes Paraboloid, und der Teil unterhalb der x-y-ebene ist das dazugehörige Spiegelbild, beide Teile berühren sich im Nullpunkt. Eine glatte Fläche M in R 3 im Sinne unserer Definition hat die Eigenschaft, dass es an jeder Stelle eine eindeutige Berührebene gibt. Betrachten wir dazu eine lokale Parametrisierung ϕ:u U und einen Punkt q = (u 0,v 0 ) U. Die ParametrisierungliefertauchgleichzeitigzweiScharenvonKurvenaufU,nämlichγ v (u) = ϕ(u,v) (für v fest) und δ u (v) = ϕ(u,v) (für u fest). Durch den Punkt p = ϕ(q) gehen zwei ausgezeichnete Kurven, nämlich γ u0 und δ v0. Die Geschwindigkeitsvektoren dieser beiden Kurven in p, nämlich γ v0 (q) = u ϕ(q) und δ u0 (q) = v ϕ(q), können wir auffassen als die Spalten der Jacobi-Matrix von ϕ, gebildet an der Stelle q. Weil der Rang dieser Matrix nach Voraussetzung gleich ist, sind die Geschwindigkeitsvektoren der beiden Kurven linear unabhängig. Also spannen sie eine Ebene auf, und dies ist gerade die Tangentialebene an die Fläche M im Punkt p. Verschiebt man diese Ebene parallel um p, so erhält man eine Ebene, die die Fläche M im Punkt p berührt Definition Die Tangentialebene einer glatten Fläche M im Punkt p ist definiert als T p M := Bild(dϕ q ) R 3, wobei ϕ eine lokale Parametrisierung um q ist und p = ϕ(q). Es handelt sich also um diejenige Ebene in R 3, die von den Vektoren u ϕ(q) und v ϕ(q) aufgespannt wird..

3 90 Kapitel 6. Vektoranalysis 6..6 Beispiel Ist M die Zylinderwand, parametrisiert wie oben und ausserdem p = (rcos(u 0 ),rsin(u 0 ),v 0 ), so sind die beiden ausgezeichneten Kurven durch p gerade die Kreislinie auf M in der zur x-y-ebene parallelen Ebene durch p und die vertikale Linie parallel zur z-achse. Die Tangentialebene wird also erzeugt von der Tangente an die Kreislinie und der z-achse, wie es der Anschauung entspricht: T p M = lin rsin(u 0) rcos(u 0 ), Satz Die Tangentialebene an M im Punkt p hängt nicht von der Wahl der lokalen Parametrisierung ϕ ab. Denn T p M stimmt überein mit der Menge der Geschwindigkeitsvektoren (bei p) sämtlicher glatter Kurven durch p, die ganz in M verlaufen: T p M = {w R 3 w = γ(0) für γ:( ǫ,ǫ) M mit γ(0) = p}. Beweis. Wählen wir eine lokale Parametrisierung ϕ:u U um p U und sei q = (u 0,v 0 ) das Parameterpaar aus U mit ϕ(q) = p. Sei zunächst w R und w = dϕ q (w ). Weil U R eine offene Umgebung von q ist, gibt es ein ǫ > 0 mit q +hw U für alle h ( ǫ,ǫ). Wir definieren nun eine Kurve γ:(ǫ,ǫ) U durch γ(h) = ϕ(q +hw ). Dann ist γ(0) = ϕ(q) = p und nach der Kettenregel γ(0) = dϕ q (w ) = w. Damitistgezeigt,dassjederVektorausdemBildvondϕ q alsgeschwindigkeitsvektor einer passenden Kurve vorkommt. Sei jetzt umgekehrt w = γ(0) für eine differenzierbare Kurve γ:( ǫ,ǫ) M mit γ(0) = p. Durch eventuelle Verkleinerung von ǫ können wir erreichen, dass die Kurve γ ganz in U verläuft. Weil ϕ bijektiv ist, existiert die Umkehrabbildung ϕ, und man kann damit die Kurve γ von U nach U transportieren: γ(t) := ϕ (γ(t)) für alle t ( ǫ,ǫ). Die Rangbedingung an dϕ garantiert, dass auch ϕ wiederum differenzierbar ist. Aus der Kettenregel folgt ähnlich wie eben: w = γ(0) = d dt (ϕ( γ(t)) t=0 = dϕ γ(0) γ(0). Nach Konstruktion ist γ(0) = ϕ (p) = q und γ(0) =: w R. Wir erhalten w = dϕ q (w ), der Tangentialvektor w liegt also wie behauptet im Bild von dϕ q. q.e.d. Auch die Funktionsgraphen differenzierbarer, reellwertiger Funktionen in zwei Variablen sind glatte Flächen im Sinne der Definition.

4 6.. Glatte Kurven und Flächen in R Satz Sei U R offen und f:u R differenzierbar. Dann ist der Graph M von f eine glatte Fläche in R 3 mit der Parametrisierung ϕ:u M, (x,y) (x,y,f(x,y)). Für den Tangentialraum an M in p = (x,y,f(x,y)) gilt hier: T p M = lin 0 x f(x,y), 0 y f(x,y). Beweis. Man sieht sofort, dass die Rangbedingung an ϕ hier immer automatisch erfüllt ist. q.e.d. Eine Fläche kann auch implizit als Nullstellenmenge einer differenzierbaren Funktion in drei Variablen beschrieben sein. Beispielsweise ist die Einheitssphäre S die Lösungsmenge der Gleichung und die Lösungsmenge der Gleichung ist ein Paraboloid. Es gilt folgender Satz: x +y +z = 0, x +y z = Satz Sei D R 3 eine offene Teilmenge und f:d R differenzierbar. Bezeichne M := {(x,y,z) D f(x,y,z) = 0} die Nullstellenmenge von f. Ist df p 0 für alle p M, so ist M eine glatte Fläche in R 3. Ausserdem gilt f(p) T p M für alle p M. Das Gradientenvektorfeld von f steht also an jeder Stelle von M senkrecht auf der Fläche. Aus Dimensionsgründen folgt nun: T p M := {w R 3 w f(p)}. Beweis. Sei p M. Dann ist nach Voraussetzung df p 0. Also gibt es ein j {,,3} mit j f(p) 0. Nach dem Satz über implizite Funktionen können wir deshalb die Gleichung f(x,x,x 3 ) = 0 lokal (in der Nähe von p) nach x j auflösen und erhalten so eine lokale Beschreibung von M als Graph einer differenzierbaren Funktion. Ist zum Beispiel j = 3 und nehmen wir an, p = (p,p,p 3 ), dann gibt es nach dem Satz über implizite Funktionen offene Umgebungen U R von (p,p ) und V R von p 3 mit U V D

5 9 Kapitel 6. Vektoranalysis und eine differenzierbare Funktion g:u V mit g(p,p ) = p 3, so dass für alle (x,x,x 3 ) U V gilt: f(x,x,x 3 ) = 0 g(x,x ) = x 3. Also ist M (U V) der Graph der Funktion g. Die Fälle j = und j = sind entsprechend. Sei jetzt γ:( ǫ,ǫ) M eine Kurve in M mit γ(0) = p. Dann folgt f(γ(t)) = 0 für alle t. Daraus ergibt sich mit der Kettenregel df γ(0) γ(0) = f(p), γ(0) = 0, und das heisst f(p) T p M wie behauptet. Also ist die Tangentialebene im orthogonalen Komplement von f(p) = {w R 3 w f(p)} enthalten. Weil das orthogonale Komplement aber ebenfalls ein zweidimensionaler linearer Unterraum ist, stimmt es bereits mit der Tangentialebene überein. q.e.d Beispiel Als Karte für einen Punkt p = (x 0,y 0,z 0 ) mit z 0 > 0 auf der - Sphäre S R 3, gegeben durch die Gleichung f(x,y,z) = x + y + z = 0, können wir folgende Parametrisierung der Nordhalbkugel verwenden: ϕ:(u,v) (u,v, u v ) für u +v <. Durch diese Karte wird die Nordhalbkugel parametrisiert. Wir erhalten nun zwei Beschreibungen der Tangentialebene T p S. Einerseits handelt es sich um das orthogonale Komplement von f(p) = p, also T p S = {w R 3 w f(p)} = {w R 3 w p}. Andererseits lautet die Jacobimatrix von ϕ bei q = (x 0,y 0 ): 0 J ϕq = 0. x 0 z 0 y 0 z 0 x 0 z 0 y 0 z 0 Daraus können wir ablesen, dass die Tangentialebene T p S von den Vektoren w = 0 und w = 0 aufgespannt wird. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass es sich jeweils um dieselbe Ebene handelt. 6.. Definition Unter einem Normalenvektor aneine Fläche M R 3 im Punkt p versteht man einen Vektor w R n, der auf allen Tangentialvektoren an M in p senkrecht steht: N p M := (T p M) = {w R n w v für alle v T p M}.

6 6.. Glatte Kurven und Flächen in R 3 93 Ist M eine Fläche in R 3, so ist der Normalenraum N p M an jedem Punkt eindimensional. Es gibt also genau zwei Vektoren der Länge, die an der Stelle p auf der Fläche senkrecht stehen. Unter einer Orientierung der Fläche versteht man eine konsistente Wahl eines solchen Einheitsnormalvektors, die dann eine Aussenseite und eine Innenseite der Fläche festlegt. 6.. Definition Eine Fläche M in R 3 heisst orientierbar, wenn es eine stetige Zuordnung M R 3 gibt, die jedem Punkt p einen Einheitsnormalenvektor n(p) N p M zuordnet. Die Wahl dieser Zuordnung bezeichnet man auch als Orientierung der Fläche, und es gibt dafür genau zwei Möglichkeiten (wenn sie überhaupt existiert). Aber nicht jede Fläche in R 3 ist orientierbar. Eine berühmte nichtorientierbare Fläche ist das Möbiusband Bemerkung Sei M definiert durch die Gleichung f(x,y,z) = 0, wobei f:d R 3 R stetig differenzierbar sei mit f(p) 0 für alle p M. Dann ist M eine orientierbare Fläche, und die Zuordnung ist eine Orientierung. p f(p) f(p) Das bedeutet also, dass das Möbiusband nicht durch eine einzige Gleichung global definiert werden kann. Für die implizite Beschreibung dieser Flächen braucht man auf jeden Fall mehrere Karten. Schauen wir uns nun Abbildungen zwischen Flächen genauer an Definition Sei M R 3 eine glatte Fläche, p M, und ϕ:u R M mit ϕ(q) = p eine lokale Parametrisierung. Eine Abbildung f:m N von M in eine Fläche N R 3 nennen wir differenzierbar bei p, wenn die Zusammensetzung f ϕ:u R 3 R 3 bei q differenzierbar ist. Diese Definition hängt nicht von der Wahl der lokalen Parametrisierung ab, denn jeder Wechsel der Parametrisierung ist wiederum in beiden Richtungen differenzierbar Bemerkung Ist F:R 3 R 3 eine differenzierbare Abbildung, so ist auch die Einschränkung von F auf jede glatte Fläche M R 3 als Funktion von M nach R 3 überall differenzierbar Definition Sei f: M N eine differenzierbare Abbildung zwischen glatten Flächen im R 3, und sei p M und q := f(p). Das Differential df p von f an der Stelle p M ist eine lineare Abbildung von T p M nach T q N. Und zwar setzen wir für jede differenzierbare Kurve γ:( ǫ,ǫ) M mit γ(0) = p fest: df p (γ (0)) := (f γ) (0).

7 94 Kapitel 6. Vektoranalysis Beweis. Die so definierte Zuordnung zwischen den Tangentialräumen ist tatsächlich linear, denn wenn wir eine lokale Parametrisierung ϕ:u U von M in der Nähe vonpwählenmitϕ(a) = p,soistt p M = Bild(dϕ a ).Fürw R k undv = dϕ a (w)gilt df p (v) = d(f ϕ) a (w).alsolassensichdiebehauptungenaufdiekartezurückspielen. q.e.d Beispiel Sei M das Ellipsoid in R 3, definiert durch x +y +3z = und bezeichne S die Einheitskugeloberfläche in R 3. Dann ist die Abbildung f:m S, v v v differenzierbar, weil sie durch Einschränkung einer differenzierbaren Abbildung von R 3 \ {0} S R 3 definiert ist. Das Differential von f bildet jeweils die Tangentialvektoren an einem Punkt v auf dem Ellipsoid auf Tangentialvektoren am entsprechenden Punkt auf der Kugeloberfläche ab. 6. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung Betrachten wir jetzt eine differenzierbare Funktion f:u R n R (U offen in R n ). Ist n = 3 und M U eine glattefläche, dann definiert f durch Einschränkung auch eine differenzierbare Funktion auf M. Entsprechendes gilt für eine glatte Kurve M in U R. In diesem Abschnitt wird eine Methode dafür beschrieben, die lokalen Extrema von f auf M zu finden. Ist M implizit als Nullstellenmenge der Funktion g:u R n R beschrieben, so spricht man auch davon, Extremwerte von f:u R unter der Nebenbedingung g(x) = 0 (für x U) zu suchen. 6.. Definition Man sagt, f habe an der Stelle a U ein lokales Maximum (bzw. Minimum) unter der Nebenbedingung g(x) = 0, wenn es ein ǫ > 0 gibt, so dass K ǫ (a) U und f(v) f(a) (bzw.f(v) f(a)) für alle v K ǫ (a) M. 6.. Beispiel Die Funktion f:r R, gegeben durch f(x,y) = xy nimmt auf der Kreislinie K := {(x,y) R x +y = } ihr Maximum an bei x = y = und bei x = y =. Das Minimum wird bei x = y = ± angenommen. Diese vier Punkte sind gerade diejenigen, an denen die Niveaulinien von f den Kreis berühren, wo also der Gradient von f auf dem Kreis senkrecht steht. Auch für lokale Extrema unter Nebenbedingungen gibt es ein notwendiges Kriterium. Es gilt nämlich folgendes: 6..3 Satz Sei M := {x U R n g(x) = 0}, wobei U R n eine offene Teilmenge,g:U Rdifferenzierbarund g(x) 0seifürallex M.Seiausserdem f:u R differenzierbar. Hat f ein lokales Extremum auf M an der Stelle p, so existiert eine reelle Zahl λ (ein sogenannter Lagrange-Multiplikator) mit f(p) = λ g(p).

8 6.. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung 95 Beweis. Wir beschränken uns hier auf die Fälle n = oder n = 3. Nehmen wir an, die Funktion f habe an der Stelle p M ein lokales Extremum. Zu jedem w T p M gibt es eine Kurve γ:( ǫ,ǫ) M mit γ(0) = p und γ(0) = w. Und die Funktion, definiert durch f(γ(t)) für ǫ < t < ǫ, hat dann bei t = 0 ein lokales Extremum. Daraus folgt nach dem Kriterium für Funktionen in einer Variablen: 0 = d dt f(γ(t)) t=0 = df γ(0) ( γ(0)) = f(p),w. Das heisst, dass f(p) ein Normalenvektor an M in p ist. Die Voraussetzung an g, nämlich g(p) 0, garantiert, dass M auch an der Stelle p glatt ist. D.h. der Normalenraum N p M ist eindimensional und wird von g(p) erzeugt. Also ist f(p) ein skalares Vielfaches von g(p), wie behauptet. q.e.d. Kehren wir nochmals zu Beispiel 6.. zurück Beispiel Die Kreislinie K ist die Nullstellenmenge der Funktion g(x, y) = x +y. Der Gradient von g verschwindet nur im Nullpunkt, der ja nicht auf K liegt, also ist die Voraussetzung an g erfüllt. Der Lagrangeansatz zur Bestimmung der lokalen Extrema von f(x,y) = xy auf K lautet hier: f(p) = ( y x ) = λ g(p) = λ ( x y Darausfolgt y = 4λ y.wäre y = 0, folgteauch x = 0, der Nullpunkt liegt aber nicht auf K. Also ergibt sich λ = ± und daraus x = ±y. Setzen wir dies wiederum in die definierende Gleichung für M ein, erhalten wir dieselben vier Punkte, die wir bereits auf geometrische Art gefunden hatten, nämlich x = y = ± und x = y = ±. ). Hier ein Beispiel für Extrema einer Funktion auf einer Fläche: 6..5 Beispiel Sei M = S. Auf der kompakten Kugeloberfläche nimmt jede stetige Funktion sowohl Maximum als auch Minimum an. Um das Maximum der Funktion f(x,y,z) = x + y z auf der Einheitskugeloberfläche S, definiert durch g(x,y,z) = x +y +z = 0, zu finden, machen wir den Ansatz: f(x,y,z) = = λ g(x,y,z) = λ Da λ 0 sein muss, ist dies äquivalent zu x y =. λ z x y z Ein solcher Punkt liegt nur dann auf der -Sphäre, wenn λ = 3 ist, das heisst, λ = ± 6/. Die Funktion f nimmt also ihr Maximum entweder an im Punkt p = 6 (,, ) oder im Punkt p = 6 (,, ). Durch Einsetzen in f stellen wir fest, dass der Wert bei p maximal ist, nämlich f(p ) = 6, während f bei p den minimalen Wert annimmt, und zwar f(p ) = 6..

9 96 Kapitel 6. Vektoranalysis Die folgende geometrische Extremwertaufgabe lässt sich mit derselben Methode lösen Beispiel Sei E die Ellipse in R, definiert durch die Gleichung g(x,y) = x +4y 4 = 0 ( x ) +y =. Gesucht sind diejenigen Punkte q auf der Ellipse E, die den kleinsten Abstand zum Punkt p = (,0) haben. Der Abstand eines Punktes (x,y) R zu p beträgt f(x,y) = (x,y) p = (x ) +y. Gesucht sind also die Punkte auf E, in denen die Funktion f:e R ihr Minimum annimmt. (Solche Punkte gibt es, weil f stetig und E kompakt ist, und jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge sowohl Maximum als auch Minimum annimmt.) Der Lagrange-Ansatz lautet hier: f(x,y) = (x ) +y ( ) (x ) = λ g(x,y) = λ y ( ) x. 8y Dies ist äquivalent zu dem folgenden Gleichungssystem für (x,y) E, λ R : x = λf(x,y)x y = λf(x,y)8y Falls y 0, folgt λ = und daraus x = 4. Auf der Ellipse E gibt es zwei 8f(x,y) 3 Punkte mit diesem x-wert, nämlich q = ( 4, 5 ) und q 3 3 = ( 4 3, 5). Ausserdem 3 gibt es auf E auch zwei Punkte mit y = 0, nämlich (±,0). Da x 0, können wir hier λ = (x ) wählen. Wir haben also insgesamt vier Kandidaten für die xf(x,y) gesuchten Punkte mit minimalem Abstand. Um festzustellen, welches die richtigen Punkte sind, reicht es, die Werte von f an diesen Stellen zu vergleichen. Es sind ( ) 4 5 f(,0) = 3, f(,0) =, f 3,± = = 3. Die Funktion f nimmt also auf E ihr Maximum an im Punkt (,0), und ihr Minimum in den Punkten q und q. An der Stelle (,0) liegt ein lokales Maximum vor, das aber kein absolutes Maximum ist.