Äußere Geometrie von Flächen

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1 Äußere Geometrie von Flächen Bezeichnungen und Wiederholung der Analysis II. Auf der übernächsten Folie werden wir definieren, was ein (parametrisiertes) Flächenstück ist. Als mathematisches Objekt ist es eine Abbildung (oder eine Äquivalenzklasse von Abbildungen von U R 2 nach R 3 ). Die Standardbasis von R n (n=2,3) sei e 1,...,e n. Wir können daher für die Punkte von R n schreiben: X = (x 1,...,x n ) = x 1. x n ; in Dimension 2 und 3 werden wir oft die Bezeichnungen (x,y) = (x 1,x 2 ) = (x 1,x 2 ) und (x,y,z) = (x 1,x 2,x 3 ) = (x 1,x 2,x 3 ) benutzen. Sei U R 2 offen und sei f : U R 3, f(x,y) = f 1(x,y) f 2 (x,y) f 3 (x,y) eine (stetig) differenzierbare Abbildung. Das bedeutet, dass die partiellen Ableitungen f 1, f2, f3, f1, f2, f3 in allen Punkten von U existieren (und stetig sind). Die partielle Ableitungen soll man als Komponenten der Matrix f 1 f 1 ) f 2 f 2 auffassen. Diese Matrix heißt Jacobi-Matrix. f 3 = f 3 ( f f

2 Differential als lineare Abbildung (Analysis II) f 1 Die partielle Ableitungen kann man als Komponenten der Matrix f 2 f 3 f 1 f ( 2 = f f 3 auffassen. Diese Matrix definiert (für jedes p U) eine lineare Abbildung df p : R 2 R 3, df p (X) = f 1 f 2 f 3 f 1 ( f 2 X 1 ) f X 2 3 = ) f X 1 f 1 + X2 f 1 X 1 f 2 + X2 f 2 X 1 f 3 + X2 f 3 Diese Abbildung heißt Differential von f im Punkt p; die ist diejenige lineare Abbildung, die die Funktion f(x) f(p) in der Umgebung des Punktes p am besten approximiert, das bedeutet f(x) = f(p)+df p (x p)+o(x p). Insbesondere gilt: für jedes p U und jeden Vektor X R 2 ist die Richtungsableitung im Punkt p in Richtung X, also der Vektor Xf(p) := d dt f(p +tx) t=0 = df p (X)..

3 Kettenregel für Differential Selbstverständlich definiert man das Differential u.s.w. nicht nur für die Abbildungen von R 2 nach R 3, sondern auch für die Abbildungen von U( n ) R n nach R m. In diesem Fall ist die Jacobi Matrix eine m n Matrix fi j (i = 1,...,m;j = 1,...,n) und das Differential df p ist eine lineare Abbildung von R n R m. Die Kettenregel aus Analysis II sagt, dass das Differential (im Punkt p) der Verkettung der Abbildungen f = h g gleich der Verkettung von linearen Abbildungen df p = dh g(p) dg p ist. Letztere wird in Koordinaten durch das Matrizenprodukt der Jacob- Matrix von h (im Punkt g(p)) und der Jacobi-Matrix von g (im Punkt p) dargestellt.

4 Differential in Dimension n = 1 Link zur Analysis I. Sei zuerst n = m = 1, die Abbildung f : R R ist in diesem Fall eine übliche Funktion einer Variablen. Nach Definition ist die Jacobi-Matrix (im Punkt x) die 1 1 Matrix (f (x)). Das Differential (im Punkt x) ist die lineare Abbildung X f (x) X. Wenn wir zwei Abbildungen f,g : R R verketten, bekommen wir nach den obigen Regeln, dass die Jacobi-Matrix der Verkettung f g im Punkt x das Produkt (f (g(x))) (g (x)) = (f (g(x)) g (x)) ist, was der üblichen Kettenregel aus Ana I entspricht. Sei nun n = 1 und m = 2 (m = 3 analog), also f : R 1 R 2. Die Jacobi-Matrix ist dann die Matrix ( f 1 (t) ) und die zugehörige lineare Abbildung ist X ( f 1 (t) X ) f. 2 (t) X Wenn wir die Abbildungen f : R 1 R 2, g : R 1 R 1 verketten, bekommen wir die Jacobi-Matrix ( f 1 (g(t)) ) (g (t))= ( f ) f 2 (g(t)) 1 (g(t))g (t) f 2 (g(t))g (t), was wieder die übliche Kettenregel aus Analysis I, komponentenweise angewendet, ist. f 2 (t)

5 Geschwindigkeitsvektor von f γ Seien f : R 2 R 3 und γ : I R 2 glatte Abbildungen. Die Jacobi-Matrizen dieser Abbildungen und dann von deren Verkettung sind: f 1 f 2 f 3 f 1 f 1 ( f 2 γ ) und 1 γ und f 2 f 2 3 f 3 f 1 f 1 ( f 2 γ ) γ 1 + f 1 γ 2 1 γ = f 2 γ 1 + f 2 γ 2. f 2 3 f 3 γ 1 + f 3 γ 2

6 Geometrische Definition des Differentials Sei f : U R n R m (alles auf dieser Folie wird genügend glatt vorausgesetzt). Differential im Punkt p U ist eine Abbildung df p : }{{} R n R m, die wie folgt definiert wird: Vektor Sei X R n ein Vektor. Wir betrachten eine Kurve γ : ( ε,ε) U mit γ(0) = p und γ (0) = X, und die Kurve c := f γ : U R m. Dann definieren wir df p (X) := c (0). Bemerkung. Von dieser geometrischen Definition ist a priori nicht sofort klar, warum sie mathematisch korrekt ist (d.h. warum c (0) nicht von der Wahl von γ mit γ(0) = p und γ (0) = X abhängt, und warum die Abbildung df p linear ist). Die beide Aussagen sind nichttrivial, und folgen aus analytischen Überlegungen: man zeigt, dass diese Definition des Differentials mit der analytischen Definition (mit Hilfe der Jacobi-Matrix) des Differentials übereinstimmt. Machen Sie bitte zu Hause: Machen Sie sich bitte mit diesen 2 Definitionen vertraut: Für uns sind nur kleine Dimensionen n = m = 2 und n = 2,m = 3 von Interesse. Vergewissern Sie sich, durch mit Gewalt nachrechnen und unter Verwendung der Taylor-Entwicklung und/oder Kettenregel in Dimension 1, dass die beide Definitionen in kleinen Dimensionen übereinstimmen.

7 Definition eines Flächenstücks Def. Wir verwenden den Buchstaben U für Gebiete des R 2, d.h. für offene (weg-)zusammenhängende Teilmengen. (i) Eine Abbildung f C 1 (U;R 3 ) heißt Immersion, wenn für jedes p U das Differential df p : R 2 R 3 den (maximalen) Rang 2 hat. (ii) Ein parametrisiertes Flächenstück ist eine Immersion f C 1 (U;R 3 ). (iii) Ein parametrisiertes Flächenstück f C 1 (Ũ;R3 ) heißt Umparametrisierung von f C 1 (U;R 3 ), wenn f = f φ gilt, für einen Diffeomorphismus φ C 1 (Ũ;U) (d.h. φ ist bijektiv und φ und φ 1 sind C 1 -differenzierbar). (iv) Ein Flächenstück [f] ist eine Äquivalenzklasse parametrisierter Flächenstücke unter der Relation Umparametrisierung. Ein orientiertes Flächenstück < f > ist entsprechend eine Äquivalenzklasse parametrisierter Flächenstücke unter der Relation orientierungstreue Umparametrisierung (d.h. det(dφ) > 0). Bemerkung. Der Name Flächenstück beruht darauf, dass man Flächen in der Regel mit mehreren Flächenstücken parametrisieren muss.

8 Beispiele von Flächenstücken Ebene: f(x,y) = P +x V +y W = p 1 +xv 1 +yw 1 p 2 +xv 2 +yw 2. p 3 +xv 3 +yw 3 Differential df hat die Matrix f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 = V 1 W 1 V 2 W 2 f 3 V 3 W 3 Wenn die Vektoren V und W linear unabhängig sind, hat die Matrix Rang 2; die Abbildung ist eine Immersion und f ist ein Flächenstuck. ;

9 Bsp. Graph einer Funktion. Sei h : U R eine Funktion. Wir betrachten die Abbildung x f(x,y) = y h(x,y). Das Differential df hat im Punkt p = (x,y) die Matrix f 1 f 2 f 3 f f 2 = 0 1 h f 3 (x,y) h (x,y). Wir sehen, dass die Matrix Rang 2 hat (weil die erste Zeilen linear unabhängig sind) und die Abbildung eine Immersion ist, d.h. f ist ein Flächenstück.

10 Bsp. HalbSphäre als Graph einer Funktion Wenn wir im Bsp. auf der vorherigen Folie die Funktion h(x,y) als h(x,y) = 1 x 2 y 2 annehmen, und als Gebiet U den Kreis U = {(x,y) R 2 x 2 +y 2 < 1} wählen, so bekommen wir die Halbsphäre.

11 Sphäre (ohne Meridian), sphärische Koordinaten f : (0,2π) ( π 2, π ) cos(x) cos(y) 2 R, f(x,y) = sin(x) cos(y) sin(y) Man rechnet die Jacobi-Matrix aus und sieht, dass der Rang in jedem Punkt gleich 2 ist.

12 Bsp. Helikoid Bsp. Das Helikoid (oder die Wendelfläche) ist x siny f : R 2 R 3, f(x,y) := x cosy. y Wir haben die Jacobi-Matrix ( f, f ) = und ihr Rang ist 2. siny x cosy cosy x siny 0 1

13 Allgemeine (informale) Fragestellung, die man im Hinterkopf behalten sollte 1. Gegeben parameteresierte Flächenstücke f und f, wie kann man entscheiden ob es eine Bewegung F und eine Umparametrisierung φ gibt, sodass F f φ = f? 2. Sei γ : I U eine reguläre Kurve in U. Wir betrachten die Raumkurve c = f γ (die automatisch auch regulär ist. Welche Information benötigt man von dem Flächenstück, um Krümmung, Torsion der Kurve auszurechen? Methoden um die Fragen zu beantworten: Konstruktion geometrischer Objekte: mehrere Krümmungsbegriffe kommen in der Vorlesung, außerdem werden wir kompliziertere Objekte behandeln.

14 Erste Fundamentalform (Metrik) Sei f C 1 (U;R 3 ) parametrisiertes Flächenstück. Die erste Fundamentalform ist die (stetige) Abbildung g : U R 2 R 2 R, g p (X,Y) := df p (X),df p (Y). Wir bezeichnen X gp := g p (X,X) als (Riemannsche) Länge von X im Punkt p. Bsp. f sei die Ebene, f(x,y) = P +x V +y W = V 1 W 1 V 2 W 2 V 3 W 3 V 1 W 1 ) V 2 W 2 ( X1 X V 3 W 2, V 1 W 1 V 2 W 2 3 V 3 W 3 Dann ist df p durch die Matrix g p (X,Y) = gegeben, also ( Y1 Y 2 ) = V,V X 1 Y 1 + V,W (X 1 Y 2 +X 2 Y 1 )+ W,W X 2 Y 2. p 1 + xv 1 + yw 1 p 2 + xv 2 + yw 2. p 3 + xv 3 + yw 3 Wie habe ich sie ausgerechnet (selbstverständlich, kann man mit Gewalt machen)? Wir sehen, dass in diesem Fall g p (X,Y) nicht von p abhängt; also g p (X,Y) = g(x,y).

15 Aus der Definitionsformel g p (X,Y) := df p (X),df p (Y) sehen wir, dass (für jedes p, im Fall der Ebene hängt die erste Fundamentalform nicht von p ab) g p (X,Y) eine symmetrische Bilinearform auf R 2 ist (also eine Abbildung von R 2 R 2 nach R, die bezüglich beiden Argumenten linear ist: g(λx +λ X,Y) = λg(x,y)+λ g(x,y), g(x,λy +λ Y ) = λg(x,y)+λ g(x,y ), und auch symmetrisch ist: g(x,y) = g(y,x). Aus lineare Algebra ist bekannt, dass die Werte der Bilinearform auf Basisvektoren die Bilinearform eindeutig bestimmen: wenn wir die Werte g(e i,e j ) als (symmetrische) Matrix auffassen, die so genannte Gramsche Matrix, dann ist g(x,y) = (X 1,X 2 ) In unserem Fall ( ) ( g(e 1,e 1 ) = df 1 1 p 0,dfp 0 ( g(e1,e 1 ) g(e 1,e 2 ) g(e 2,e 1 ) g(e 2,e 2 ) ) = )( Y1 Y 2 ). V 1 W 1 ( ) V 2 W 2 1 0, V 1 W 1 ( V 2 W V 3 W 3 V 3 W 3 ) = V,V. Analog ist g(e 1,e 2 ) = g(e 2,e 1 ) = V,W und g(e 2,e 2 ) = W,W, und wir bekommen die Formel ( )( ) V,V V,W Y1 g(x,y) = (X 1,X 2 ) = V,W W,W Y 2 V,V X 1 Y 1 + V,W (X 1 Y 2 +X 2 Y 1 )+ W,W X 2 Y 2.

16 Die Gramsche Matrix von g im Punkt p U Dieselbe Argumentation funktioniert auch im Fall, wenn g von p abhängt: für jedes p ist die Abbildung (X,Y) g p (X,Y) := df p (X),df p (Y) bilinear (als Abbildung R 2 R 2 R) und ist deswegen durch eine (symmetrische) 2 2 Matrix gegeben (wenn wir p ändern, werden die Einträge von Matrix mind. stetig geändert; falls das Flächenstück ( C k -glatt ist, dann sind )( sie) C k 1 -glatt). gp (e Also ist g p (X,Y) = (X 1,X 2 ) 1,e 1 ) g p (e 1,e 2 ) Y1 = ( g p (e 2,e 1 ) g p (e )( 2,e 2 ) ) Y 2 dfp (e (X 1,X 2 ) 1 ),df p (e 1 ) df p (e 1 ),df p (e 2 ) Y1 = df p (e 2 ),df p (e 1 ) df p (e 2 ),df p (e 2 ) Y ( 2 f f f (p), (p) f (p), (X 1,X 2 ) (p) ) (Y1 ) f f f (p), (p) f (p), (p) = Y 2 X 1 Y 1 f f (p), (p) +(X 1Y 2 +Y 1 X 2 ) f f (p), (p) +X 2Y 2 f f (p), (p).

17 I. Fundamentalform des Helikoids für das Helikoid f : R 2 R 3, f(x,y) := x siny x cosy haben wir die Jacobi-Matrix oben ausgerechnet: y ( ) f f = siny x cosy cosy x siny. 0 1 Dann ist in p = (x,y) die I. Fundamentalform durch die Gramsche Matrix ( f f gegeben (p), f (p), f (p) f (p) f f (p), (p) ) f (p), (p) = ( ) x 2

18 für jedes p ist Bilinearform g p positiv definit g : U R 2 R 2 R, g p(x,y) := df p(x),df p(y). Wir haben gesehen: für jedes p ist die Abbildung g p : R 2 R 2 R eine symmetrische Bilinearform. Wir zeigen jetzt, dass sie positiv definit ist, also g p (X,X) > 0 für X 0 ist (und deswegen die Riemannsche Länge X gp := g p (X,X) wohldefiniert ist). Da f ein Flächenstück ist, ist sie eine Immersion, also ist df p Immersion (hat also Rang 2). Dann ist die lineare Abbildung df p eine injektive Abbildung nach der Dimensionsformel: für jede lineare Abbildung F : V U gilt: dim(v) = dim(bild F ) + dim(kern F ). } {{ } Rang F für F = df p : R 2 R 3 haben wir dann 2 = Rang df p +dim(kern dfp ) }{{} 2 und deswegen Kern dfp = { 0} und die Abbildung df p ist injektiv. Folglich ist für jedes X 0 R 2 : df p (X) 0 R 3. Dann ist g p (X,X) := df p (X),df p (X) > 0. }{{} 0 Bemerkung. Wir sehen, dass für jedes p U g p ein Skalarprodukt ist. Also können wir eine Basis finden, sodass g p durch die Einheitsmatrix gegeben ist. Wir können aber nicht immer (und eigentlich sehr selten) ein Koordinatensystem auf U finden, sodass in jedem Punkt p die Matrix von g p die Einheitmatrix ist. Diese Aussage ist wichtig und nichttrivial; sie wird viel spater besprochen und bewiesen.

19 Bemerkung Das Standard-Skalarprodukt auf U R 2 spielt für uns keine Rolle. Wenn wir Begriffe wie senkrecht oder Orthonormalbasis für U bzw. für Vektoren des R 2 verwenden, so meinen wir dies immer bezüglich g. Das Standard-Skalarprodukt R 3 dagegen wird für uns wichtig.

20 Die Länge einer Kurve c = f γ mit Hilfe von g Sei f : U R 3 ein parametrisiertes Flächenstück und sei γ : [a,b] U eine (C 1 -glatte, nicht notwendig reguläre) Kurve auf U. Wir betrachten die Kurve c := f γ, die ebenfalls C 1 -glatt ist, weil der Geschwindigkeitsvektor c (t) nach Kettenregel wie folgt gegeben ist: c (t) = df γ(t) (γ (t)) = f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 γ(t) ( γ ) 1 (t) γ. 2 (t) Dann ist c (t) = c (t),c (t) R 3 = g γ(t) (γ (t),γ (t)) = γ (t) gγ(t). Deswegen ist die Länge der Raumkurve L(f γ) (=Riemannsche Länge der Kurve γ) gegeben durch L g (γ) = b a γ (t) gγ(t) dt. Bsp. für das Helikoid f : R 2 R 3, f(x,y) := x siny x cosy y haben wir g oben ausgerechnet: g (x,y) = ( ) x. Als 2 Kurve γ betrachten wir die Kurve γ(t) = ( ) t 0. Dann ist die Länge von γ [a,b] gleich L g (γ) = b 1dt = b a. a

21 Bsp. Für das Helikoid f : R 2 R 3, f(x,y) := x siny x cosy y haben wir g oben ausgerechnet: g (x,y) = ( ) x. Als 2 Kurve γ betrachten wir die folgenden 2 Kurven γ(t) = ( ) 1 und γ(t) = ( 0 t ). Dann ist die Länge von γ [a,b] gleich t und von γ ist L g (γ) = b a L g ( γ [a,b] ) = 1+12 dt = 2(b a) b a 1dt = (b a).

22 Tangentialebene Def. Sei f : U R 3 ein Flächenstück. Die Tangentialebenezuf impunktp (Bezeichnung:T p f) ist die 2-dimensionale Ebene Bild dfp (R 2 ) R 3. Bild von Wikipedia Bemerkung. Das ist tatsächlich eine Ebene: df p ist eine Linearabbildung, deswegen ist Bild dfp (R 2 ) ein Vektorraum. Da Rang(df p ) = 2 ist, ist er 2-dimensional. Bemerkung. Diese Ebene ist dann durch Bilder von zwei beliebigen linear unabhängigen Vektoren von R 2 aufgespannt, z.b. durch die Vektoren f und f R3, die Bilder der Standardbasisvektoren e 1 und e 2 sind. Bemerkung. Wir haben gesehen, dass für jede Kurve γ : ( ε,ε) U mit γ(0) = p der Tangentialvektor der Kurve c = f γ (im Punkt t = 0) gleich df p (γ (0)) ist. Also besteht T p f aus Tangentialvektoren im Punkt t = 0 von allen Kurven f γ, sodass γ(0) = p. Das impliziert, dass T p f ein geometrisches Objekt ist: wenn wir das Flächenstück umparametrisieren, bekommen wir die gleiche Tangentialebene, d.h. T p (f φ) = T φ( p) f.

23 Die Normalen-(=Gauß-)Abbildung Def. Sei f : U R 2 ein Flächenstück. Die Gaußabbildung definieren wir durch ν : U R 3 1, ν(p) := f f. Aus der Definition sehen wir: 1. ν(p) hat Länge 1. f f 2. ν(p) ist zur allen Vektoren von Tangentialebene T p f orthogonal. 3. Die Basis (df p (e 1 ),df p (e 2 ),ν(p)) ist positiv. Da diese Eigenschaften den Vektor ν(p) eindeutig definieren, und da diese Eigenschaften eines Vektors unter orientierungserhaltenen Umparametrisierungen von U erhalten bleiben, ist die Gaußabbildung auch ein geometrisches Objekt, in dem Sinne, dass für das umparametrisierte Flächenstück f := f φ gilt: ν = ν φ.

24 Beispiele von Normalen für die Standard-Sphäre vom Radius 1 ist aus geometrischen Gründen offensichtlich, dass ν(p) = ±f(p), (Vorzeichen hängt von Orientierung von U ab), weil der Vektor f(p) die folgenden Eigenschaften hat: 1. ν(p) hat Länge ν(p) ist zur allen Vektoren von Tangentialebene T pf orthogonal.. 3. Die Basis ( df p(e 1 ),df p(e 2 ),ν(p) ) ist positiv. Für die Ebene ist die Situation noch einfacher: wenn die Ebene von Vektoren V,W aufgespannt ist, ist ν := 1 V W V W. Für das Helikoid f(x,y) := f = siny cosy, f = x cosy x siny 0 1 x siny x cosy y und f f 1 ν(x,y) = 1+x 2 ist, wie oben berechnet, = cosy siny x cosy siny. x und deswegen

25 Normale und geodätische Krümmung: Fragestellung Wir wollen nun die Krümmung von Kurven c = f γ untersuchen (wobei f Flächenstück und γ eine Kurve in U. Alles ist mind. so glatt wie wir für Definitionen brauchen). Wir nehmen an, dass c nach Bogenlänge parametrisiert ist, d.h. γ hat stets Riemannsche Länge γ (t) g 1. Wir betrachten den Vektor c (aus Vorl. 7 wissen wir, dass c (t) die Krümmung von c im Punkt t ist) und zerlegen ihn orthogonal in einen Anteil tangential und einen Anteil normal zum Tangentialraum: c (t) = c (t) T +c (t), wo c (t) T T p f und c (t) ν(t). (Die Vektoren c (t) T und c (t) kann man per Formel angeben; c = c,ν ν und c T = c c,ν ν. ) Def. Die geodätische Krümmung von (nach g-bogenlänge parameterisierten) γ ist κ geod (t) := c T (t) ; die normale Krümmung ist κ norm := c (t),ν(γ(t)) = ± c (t). Das sind geometrische Größen. Def. Vorsetzung. Wie immer für ein beliebig parametrisiertes γ werden die Krümmmungen durch Umparametrisierung auf Bogenlänge bestimmt. Frage : Welche Information benötigt man vom Flächenstück, um die Normal- und geodätische Krümmung auszurechnen?

26 Weingarten-Abbildung (Engl. Shape-Operator): Vorarbeit Lemma 7. Sei f C 2 (U;R 3 ) parametrisiertes Flächenstück und ν die Gaußabbildung. Dann gilt: für jedes p U bildet dν p den Raum R 2 auf T p f ab, also dν p (X) T p f für alle X R 2. Bemerkung. Vergleichen Sie diese Aussage mit Lemma 1: Sie werden sehen, dass die Beweise von Lemma 7 und Lemma 1 ähnlich sind und auf dem gleichen Trick basieren. Lemma 1. Bei einer nach Bogenlänge parametrisierten c C 2 (I;R 2 ) Kurve gilt: c (t) c (t) (und deswegen ist c (t) proportional zu ν(t)). Beweis von Lemma 7. Wir benutzen die geometrische Definition des Differentials: wir betrachten die reguläre Kurve γ : ( ε,ε) U mit γ(0) = p und γ (0) = X. Nach Definition, dν p (X) = d dt t=0 ν(γ(0)), wollen wir zeigen, dass d dt t=0 ν(γ(0)) T pf ist, oder, was äquivalent ist, dass d ν(γ(t)) ν(p). dt t=0 Wir haben ν 1, also 1 ν(γ(t)),ν(γ(t)). Wir leiten diese Gleichung nach t im Punkt t = 0 ab und bekommen 0 = d dt t=0 ν,ν = 2 d dt t=0 }{{ ν(γ(t)),ν(γ(t)) } dν p(x)

27 Definition der Weingarten-Abbildung Nach Lemma 7 liegt dν(x) T p f. Nach Definition von T p f, T p f = Bild dfp (R 2 ), gibt es ein Y R 2 mit df p (Y) = X. Da die Abbildung df p injektiv ist (was wir auf Seite 18 bewiesen haben), ist dieses Y eindeutig. Def. Sei f C 2 (U;R 3 ) parametrisiertes Flächenstück, ν die Gaußabbildung. Dann definieren wir die Weingartenabbildung im Punkt p als Abbildung S p : R 2 R 2 gegeben durch X Y, wo Y der (eindeutig bestimmte) Vektor ist sodass dν p (X) = df p (Y). Bemerkung. Vorzeichen ist aus kosmetischen Gründen gewählt. Wir werden später eine analytische Formel für S p bekommen. Bemerkung. Die Weingarten-Abbildung ist nach Konstruktion linear, weil die beide Abbildungen, die in der Konstruktion vorkommen, dν p und df p, linear sind.

28 Bemerkung. Man kann die Weingarten-Abbildung mit Hilfe der folgenden Formel aufschreiben. Das wird auch in mehreren Büchern so gemacht: S p := (df p ) 1 dν p. ( ) Diese Formel muss man aber richtig interpretieren, weil die Jacobi-Matrix von df p eine 3 2 Matrix ist, und man sie nicht invertieren kann. Um der Formel ( ) Sinn zu geben, muss man df p als Abbildung von R 2 T p f R 2 betrachten. Das Invertieren der Abbildung df p ist dann in Wirklichkeit das Lösen eines Systems von 3 linearen Gleichungen auf 2 Variablen. Wegen Lemma 7 ist das System eindeutig lösbar. Bemerkung. Die Abbildung S hängt von p U ab, also kann man sie als eine Abbildung von U R 2 R 2 verstehen.

29 Beispiele zur Weingartenabbildung S p := (df p) 1 dν p. p 1 +xv 1 +yw 1 Bsp. für die Ebene f(x,y) = P +x V +y W = p 2 +xv 2 +yw 2 p 3 +xv 3 +yw 3 ist ν := 1 V W V W = const. Dann ist dν p = 0 und S p =0= ( ) Bsp. für die 1-Sphäre, egal wie wir die Sphäre parametrisieren, ist ν(p) = f(p) (bis auf Vorzeichen, o.b.d.a. + ). Dann ist (df p ) 1 dν p = -Id = ( ) ( )