Differentialformen. Lie-Ableitung von Differentialformen und Poincaré-Formel. Differentialform dp dx und ihre Invarianz bzgl. Hamiltonischer Flüsse.

Transkript

1 Differentialformen Plan Zuerst lineare Algebra: Schiefsymmetrische Formen im R n. Dann Differentialformen: Invarianz bzgl. Diffeomorphismen (und sogar beliebigen glatten Abbildungen). Äußere Ableitung. Lie-Ableitung von Differentialformen und Poincaré-Formel. Differentialform dp dx und ihre Invarianz bzgl. Hamiltonischer Flüsse.

2 Lineare Algebra: Wir arbeiten in R n Def. Eine (lineare) schiefsymmetrische k-form ist eine Abbildung ω : R n... R }{{} n R, k Stück welche folgende Eigenschaften besitzt: Linearität bzgl. jedes Arguments: ω(ξ 1,...,ξ i 1,λ ξ +λ ξ,ξ i+1,...,ξ k ) = λ ω(ξ 1,...,ξ i 1,ξ,ξ i+1,...,ξ k )+λ ω(ξ 1,...,ξ i 1,ξ,ξ i+1,...,ξ k ). Schiefsymmetrie: Für jedes i < j gilt ω(ξ 1,..,ξ j,...,ξ i,...,x k ) = ω(ξ 1,..,ξ i,...,ξ j,...,x k ) Bemerkung. Wegen der Schiefsymmetrie reicht es, nur Linearität bzgl. des ersten Arguments zu verlangen. Bemerkung Definition. Schiefsymmetrische k-formen sind für alle k N definiert. Wir werden jedoch sehen, dass für k > n jede schiefsymmetrische k-form identisch Null ist. Wir werden 0-Formen wie folgt definieren: 0-Formen sind für uns Konstanten (also Elemente in R).

3 Beispiele Jede lineare Abbildung l : R n R 1 (also: lineare Funktion) ist eine 1-Form. Erklärung. Schiefsymmetrie ist hier automatisch erfüllt, weil es nur ein Argument gibt. Sei Ω = (ω ij ) eine schiefsymmetrische (d.h. Ω T = Ω) n n-matrix. Wir definieren die 2-Form ω durch ω(x,y) = x T Ωy = i,j x i ω ij y j. Determinante: Wir definieren die n-form ω(ξ 1,...,ξ n ) = Determinante der n n Matrix, deren i te Spalte gleich ξ i ist. Schiefsymmetrie und Linearität folgen aus den Eigenschaften der Determinante.

4 Wie kann man lineare Formen angeben? Um zum Beispiel eine lineare Abbildung von R n nach R n anzugeben, können wir ihre Matrix (also im Wesentlichen n 2 Zahlen) angeben. Die Abbildung bestimmt die Matrix und die Matrix bestimmt die Abbildung. Was ist das Analogon der Darstellungsmatrizen für k-formen? Bsp. Eine 1-Form ist eine lineare Abbildung von R n nach R, also im Wesentlichen eine 1 n-matrix ω = (ω 1,...,ω n ). Die 1-Form ω ist dann gegeben durch x ω 1 x ω n x n. Bsp. Wie aus dem Standardkurs LA I bekannt (vgl. z.b. meine Vorlesungen am Ende des ersten Semesters), ist eine 2-Form im Wesentlichen eine schiefsymmetrische n n-matrix Ω = ( ) ω ij. Tatsächlich wissen wir aus der LA, dass jede Bilinearform mit Hilfe ihrer Gramschen Matrix dargestellt werden kann (mit Einträgen ω ij = ω(e i,e j )). Für schiefsymmetrische Bilinearformen ist diese Matrix offensichtlich schiefsymmetrisch. Die Formel für ω ist dann ω(x,y) = ω ij x i y j. i,j Da schiefsymmetrische Matrizen n(n 1) 2 unabhängige Komponenten haben, brauchen wir also n(n 1) 2 Zahlen, um eine 2-Form zu bestimmen.

5 Das Wedge-Produkt (Dachprodukt) von 1-Formen. Seien l 1,...,l k 1-Formen. Das Wedgeprodukt l 1... l k dieser Formen ist eine k-form, gegeben durch l 1 (ξ 1 ) l 1 (ξ k ) l 1... l k (ξ 1,...,ξ k ) = det.. = det ( l i (ξ j ) ). l k (ξ 1 ) l k (ξ k ) Bsp. Sei l(x) = x 1 +x 2 und f(x) = x 1 x 2. Dann ist ( ) x1 +x l f(x,y) = det 2 y 1 +y 2 = 2x x 1 x 2 y 1 y 1 y 2 +2x 2 y 1. 2 Wichtige Bezeichnung. Mit dx i bezeichnen wir die folgende 1-Form: dx i x 1. x n = x i. Bsp. dx 1... dx n ist eine der n-formen aus der 3. Folie: dx 1... dx n (ξ 1,...,ξ n ) = Determinante der n n Matrix, deren i te Spalte gleich ξ i ist.

6 Ein Satz aus der Linearen Algebra Es ist offensichtlich, dass die Menge Λ k = {alle k-formen} bzgl. der natürlichen Addition und Multiplikation ( ) einen Vektorraum bildet. n Satz 15. Der Raum Λ k ist -dimensional. Die k-formen k dx i1 dx ik wobei i 1 < < i k bilden eine Basis. Beweis wird an der Tafel vorgetragen. Folgerung. Jede lineare k-form kann man in der Form i 1<...<i k ω i1...i k dx i1 dx ik darstellen, wobei ω i1...i k R. Folgerung. Jede lineare k-form mit k > n ist identisch Null.

7 Differentialformen Def. Eine k-differentialform auf U ist eine (glatte) Abbildung ω : U R n... R }{{} n R, k Stück sodass für jedes p die Einschränkung von ω auf p R n... R }{{} n eine k Stück lineare k-form ist. Bsp. Eine Funktion ist eine 0-Differentialform (weil die Einschränkung der Funktion auf p konstant ist, und wir die Konstanten mit linearen 0-Formen identifizieren). Bsp. Sei f eine Funktion auf U. Wir betrachten das Differential df (als Abbildung von U R n nach R, (p,ξ) d p f(ξ)). Das ist eine 1-Differentialform. Im Punkt (p,ξ) U R n nimmt sie den Wert d p f(ξ) = f x 1 ξ 1 + f x n ξ n an. Bsp. Als Spezialfall des vorherigen Beispiels betrachten wir die i-te x 1 Koordinatenfunktion x i. := x i. Das Differential dieser Funktion x i ist dann die x n 1-Differentialform mit dx i (ξ) = ξ i.

8 Man kann die Definition des Wedgeprodukts auf Differentialformen erweitern: Das Wedgeprodukt l 1... l k von 1-Differentialformen l 1,...,l k ist eine k-form, gegeben durch l 1(p) (ξ 1 ) l 1(p) (ξ k ) l 1... l k(p) (ξ 1,...,ξ k ) = det.. l k(p) (ξ 1 ) l k(p) (ξ k ) = det ( l i(p) (ξ j ) ).

9 Folgerung. Jede lineare k-form kann man als i 1 <...<i k ω i1...i k dx i1 dx ik darstellen, wobei ω i1...i k R. Folgerung. Jede k-differentialform auf U kann man als i 1<...<i k ω i1...i k dx i1 dx ik darstellen, wobei ω i1...i k : U R (glatte) Funktionen sind. Bsp. Jede 1-Differentialform ist dann i ω i(p)dx i. Das Differential einer Funktion f ist f i x i dx i, also ω i (p) = f x i (p).

10 Verhalten von Differentialformen bezüglich Diffeomorphismen und Abbildungen Def. Sei U R n und φ : U V R m eine glatte Abbildung (sonst keine Regularitätsvoraussetzungen). Sei ω eine k-differentialform auf V. Wir definieren den Pullback φ ω durch die Regel φ ω p (ξ 1,...,ξ k ) = ω φ(p) (d p φ(ξ 1 ),...,d p φ(ξ k )). (Linearität, Glattheit und Schiefsymmetrie sind offensichtlich). Bemerkung. Diese Definition ist offenbar verträglich mit dem äußerem Produkt: φ (l 1... l k ) = φ l 1... φ l k. Beweis wird auf der Tafel vorgetragen. Bemerkung. Aus der Definition des Differentials folgt, dass φ (df) = d(φ f), wobei φ f := f φ. Hier ist f eine Funktion auf V und φ : U V. Deswegen ist φ d φ(p) f 1... d φ(p) f k = d p (φ f 1 )... d p (φ f k ).

11 φ (l 1... l k ) = φ l 1... φ l k. Bemerkung.Als Spezialfall betrachten wir die Basisform dy i1 dy ik auf V R m (wobei y 1,...,y m die Koordinaten auf R m sind). Die Abbildung φ : U V sei Dann ist φ(x) = y 1 (x). y m (x). φ (α(y)dy i1... dy ik ) = α(φ(x))dy i1 φ dy ik φ.

12 Äußere Ableitung von k-differentialformen Sei Λ k die Menge (eigentlich: Vektorraum) von k-differentialformen. Die Äußere Ableitung ist eine Abbildung gegeben durch d ( i 1<...<i k ω i1...i k (x)dx i1 dx ik Satz 16. d(φ ω) = φ (dω). d : Λ k Λ k+1, ) = i 1<...<i k dω i1...i k dx i1 dx ik. Folgerung. Die Äußere Ableitung hängt nicht von den Koordinaten ab. Beweis wird auf der Tafel vorgetragen. Die wichtige Schritte des Beweises ist die folgenden Aussagen: Lemma A. d(dω) = 0. Lemma B. Seien l 1,...,l k 1-Formen sodass dl i = 0. Dann gilt: d (fl 1... l k ) = df l 1... l k.

13 Lie-Ableitung Die Lie-Ableitung kann man für beliebige Objekte definieren, für welche das Verhalten bezüglich Diffeomorphismen erklärt ist (=geometrische Objekte): In unserer Vorlesung sind folgende geometrische Objekte vorgekommen: Vektorfelder Differentialformen Def. Sei Ω ein geometrisches Objekt und V ein Vektorfeld. Wir definieren L v Ω durch der Regel: L v Ω = d dt t=0 (Φ t Ω). Bemerkung. Lie hat seine Ableitung Fischer-Ableitung genannt: Ein Fischer sitzt am Ufer, beobachtet eine Stelle im Fluss und untersucht wie sich diese Stelle infinitesimal verändert. Die Lie-Ableitung eines Objekts ist ein geometrisches Objekt (weil die Koordinaten in der Definition nicht vorkommen). Es gilt: Wenn die Wirkung von Differeomorphismen auf ein Objekt linear ist (wenn also φ (λ Ω +λ Ω ) = λ φ (Ω )+λ φ (Ω ), so ist die Lie Ableitung ein Objekt desselben Typs wie das abgeleitete Objekt.

14 Def. Sei Ω ein geometrisches Objekt und V ein Vektorfeld. Wir definieren L vω durch der Regel: L vω = d dt t=0 (Φt Ω). ( ) 1 Bsp. Sei V =, dann ist Φ 0 t (x,y) = (x +t,y) und für jedes feste t ist dφ t = Id. Als Objekt Ω betrachten wir ein Vektorfeld ( U(x,y). Es ist dann (Φ t U)(x,y) = U(x t,y) und d U dt t=0 (Φ 1 ) t U) = x. U2 x ( 1 Bsp. Sei wieder V =, also Φ 0) t (x,y) = (x +t,y) und für jedes feste t ist dφ t = Id. Als Objekt Ω betrachten wir eine Differentialform, z.b. eine 2-Form i,j ω ijdx i dx j. Dann ist wieder (Φ t Ω)(x,y) = Ω(x t,y) und d dt t=0 (Φ t Ω) = i,j ω ij x 1 dx i dx j. Bsp. Sei f eine Funktion. Dann ist: L V f = V(f) = df(v).

15 Lie-Ableitung und Kommutatoren von Vektorfelder Satz 17. Für alle Vektorfelder U, V gilt [U,V] = L U V. Beweis. Da die Lie-Ableitung eine geometrische Operation ist, kann man die zwei Vektorfelder, [U,V] und L U V, in einem beliebigen Koordinatensystem vergleichen. Ist U(p) 0, so wählen wir Koordinaten, sodass U = (1,0,...,0) T. In diesen Koordinaten ist L U V = V 1 x 1. V n x 1 = [U,V]. Sei jetzt V 0 in einer Umgebung U(p). Dann ist Φ t Id auf U(p) und deswegen Φ t V = V und L U V = 0. Ebenso ist auch [U,V] = 0. Da fast jeder Punkt entweder W(p) 0 hat oder eine Umgebung besitzt sodass in dieser Umgebung U 0 ist, und weil die beide Seiten der Gleichung [U,V] = L U V stetig sind, erhalten wir in allen Punkten [U,V] = L U V.

16 Innere Ableitung Def. Sei ω eine k-differentialform und V ein Vektorfeld. Wir definieren die innere Ableitung i V ω als eine k 1-Differentialform definiert durch i V ω(ξ 1,...,ξ k 1 ) = ω(v,ξ 1,...,ξ k 1 ). Bemerkung. Bei der inneren Ableitung wird nichts abgeleitet!

17 Die Poincaré-Formel Satz 18. Für jede Differentialform ω und für jedes Vektorfeld gilt: L V ω = i V dω +d(i V ω). Schema des Beweises: Wie in Satz 17 können wir zwei Fälle betrachten: V(p) 0 oder V 0 in einer Umgebung W(p). Im ersten Fall können wir im Koordinatensystem mit V = (1,0,...,0) T arbeiten und die Poincare-Formel rechnerisch nachprüfen. Der Fall V 0 ist trivial: Beide Seiten der Poincare-Formel sind identisch Null.