Eine objektorientierte Programmierumgebung für differentialgeometrische Berechnungen in MuPAD
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- Linus Martin
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1 1 Eine objektorientierte Programmierumgebung für differentialgeometrische Berechnungen in MuPAD Studienarbeit von WOLFGANG GLOBKE Betreuer: Dipl. Inf. Marcus Hausdorf Dr. Werner Seiler Institut für Algorithmen und kognitive Systeme Lehrstuhl Prof. Dr. Jacques Calmet Universität Karlsruhe
2 2 Ziele der Arbeit Entwicklung von Datenstrukturen für differentialgeometrische Berechnungen in MuPAD. Anpassen dieser Datenstrukturen an die detools-bibliothek. Datenstrukturen für Jetbündel.
3 3 Übersicht 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
4 4 Gliederung 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
5 5 Kategorien und Domänen in MuPAD Zwei wesentliche Konzepte zur OO-Programmierung in MuPAD: Kategorien Grobe Entsprechung der mathematischen Kategorien. Abstrakte Schnittstellen ( Interface in Java). Ein Objekt kann zu mehreren Kategorien gehören. Domänen Stellen konkrete Datentypen bzw. mathematische Strukturen dar. Instanzen können erzeugt werden ( Class in Java). Ein Objekt gehört zu höchstens einer Domäne, aber einfache Vererbung möglich.
6 6 Kategorien und Domänen in MuPAD Zwei wesentliche Konzepte zur OO-Programmierung in MuPAD: Kategorien Grobe Entsprechung der mathematischen Kategorien. Abstrakte Schnittstellen ( Interface in Java). Ein Objekt kann zu mehreren Kategorien gehören. Domänen Stellen konkrete Datentypen bzw. mathematische Strukturen dar. Instanzen können erzeugt werden ( Class in Java). Ein Objekt gehört zu höchstens einer Domäne, aber einfache Vererbung möglich.
7 7 Kategorien und Domänen in MuPAD Zwei wesentliche Konzepte zur OO-Programmierung in MuPAD: Kategorien Grobe Entsprechung der mathematischen Kategorien. Abstrakte Schnittstellen ( Interface in Java). Ein Objekt kann zu mehreren Kategorien gehören. Domänen Stellen konkrete Datentypen bzw. mathematische Strukturen dar. Instanzen können erzeugt werden ( Class in Java). Ein Objekt gehört zu höchstens einer Domäne, aber einfache Vererbung möglich.
8 8 Gliederung 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
9 9 Mannigfaltigkeiten: Rechnen in Koordinaten p M ξ n x = ξ(p) Rechnen auf Mannigfaltigkeiten: Lokal über Karten in offenen Teilmenge des Ê n abbilden und dort rechnen. Identifiziere p M mit seinen Koordinaten x Ê n ; es werden nur noch Koordinaten angegeben.
10 10 Mannigfaltigkeiten in MuPAD C a t : : M a n i f o l d D o m : : M a n i f o l d D o m : : S u b M a n i f o l d Cat::Manifold: Nur Schnittstelle, keine Implementierung. Dom::Manifold: Liste von Koordinaten; Methoden für Jetbündel. Dom::SubManifold: Implizite Untermannigfaltigkeiten; Methoden für Tangentialräume.
11 11 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten C a t : : M a n i f o l d M a p D o m : : M a n i f o l d M a p Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten F : M 1 M 2 mit Koeffizienten aus R. Implementiert bereits die meisten mathematischen Methoden. Dom::ManifoldMap(M1,M2,R): Stellt einige administrative Methoden bereit.
12 12 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
13 13 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
14 14 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
15 15 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
16 16 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
17 17 Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Eigenschaften von Cat::ManifoldMap(M1,M2,R): R gehört zur Kategorie Cat::DifferentialRing. Wahl von R ermöglicht Ausnutzen von spezieller Arithmetik. Differentiale df berechnen. Pullbacks F von Abbildungen, Vektorfeldern und Differentialformen berechnen. Immersierte und eingebettete Untermannigfaltigkeiten durch Abbildungen darstellen.
18 18 Gliederung 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
19 19 Vektorfelder und Differentialformen Bereits im detools-paket vorhanden: D o m : : F r e e M o d u l e O l d D o m : : V e c t o r F i e l d D o m : : E x t e r i o r A l g e b r a D o m : : J e t V e c t o r F i e l d D o m : : D i f f e r e n t i a l F o r m Dom::VectorField: Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten. Dom::JetVectorField: Vektorfelder auf Jetbündel; stellt Methoden zur Symmetrieanalyse bereit. Dom::DifferentialForm: Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten.
20 20 Vektorfelder und Differentialformen Details zu Vektorfeldern und Differentialformen: Wahl des Koeffizientenrings erlaubt spezielle Arithmetik. Datenstrukturen angepasst an Dom::Manifold. Geometrische Operationen: Innere Ableitung X ω. Äußeres Differential dω. Kommutator [X, Y] und Lie-Ableitung L X (ω), L X (Y).
21 21 Vektorfelder und Differentialformen Details zu Vektorfeldern und Differentialformen: Wahl des Koeffizientenrings erlaubt spezielle Arithmetik. Datenstrukturen angepasst an Dom::Manifold. Geometrische Operationen: Innere Ableitung X ω. Äußeres Differential dω. Kommutator [X, Y] und Lie-Ableitung L X (ω), L X (Y).
22 22 Vektorfelder und Differentialformen Details zu Vektorfeldern und Differentialformen: Wahl des Koeffizientenrings erlaubt spezielle Arithmetik. Datenstrukturen angepasst an Dom::Manifold. Geometrische Operationen: Innere Ableitung X ω. Äußeres Differential dω. Kommutator [X, Y] und Lie-Ableitung L X (ω), L X (Y).
23 23 Vektorfelder und Differentialformen Details zu Vektorfeldern und Differentialformen: Wahl des Koeffizientenrings erlaubt spezielle Arithmetik. Datenstrukturen angepasst an Dom::Manifold. Geometrische Operationen: Innere Ableitung X ω. Äußeres Differential dω. Kommutator [X, Y] und Lie-Ableitung L X (ω), L X (Y).
24 24 Gliederung 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
25 25 Differentialgleichungen System S von Differentialgleichungen: F k (x, u (q) ) = 0, k = 1,...,s. Unabhängige Variablen x X. Abhängige Variablen u (q) U (q) mit partiellen Ableitungen bis zur Ordnung q. Lösung hat die Form u = f(x).
26 26 Jetbündel Fasse abhängige Variablen als freie Parameter auf: Das Jetbündel der Ordnung q über X und U ist J q (X, U) = X U (q). Für f : X U ist die q-te Prolongation j q f : X J q (X, U), x (x, f(x),... µ f(x)...). Fasse S als implizite Untermannigfaltigkeit von J q (X, U) auf: S = {(x, u (q) ) F k (x, u (q) ) = 0, k = 1,...,s}.
27 27 Kontakt(ko)distribution Nicht jede Abbildung ϕ : X J q (X, U) ist eine Prolongation. Dafür müssen gewisse Relationen gelten. Die Kontaktdistribution C q wird erzeugt von C i := x i + m j=1 1 µ <q u j µ+e i u j µ, Cµ j := uµ j, für µ = q. Die Kontaktkodistribution C 0 q wird erzeugt von ω j µ := du j µ für i = 1,...,n, n u j µ+e i dx i, für i = 1,...,m und 1 µ < q. i=1
28 28 Kontakt(ko)distribution C 0 q ist der Annullator von C q. Es ist ϕ = j q f für ein f : X U genau dann, wenn für ι : ϕ(x) J q (X, U) gilt ι ω j µ = 0, j = 1,..., m. Also ist ϕ(x) eine Integralmannigfaltigkeit von C q.
29 29 Vessiot-Distribution Eine Lösung f von S muss erfüllen: j q f(x) S, d.h. Tj q f(x) TS. j q f(x) ist Integralmannigfaltigkeit von C q, d.h. Tj q f(x) C q. Die Vessiot-Distribution ist definiert durch dι(v(s)) := dι(ts) C q, mit ι : S J q (X, U). Es gilt ebenfalls V(S) = (ι C 0 q) 0. Elemente von V(S) sind infinitesimale Lösungen von S.
30 30 Implementierung Aus einer Instanz von Dom::Manifold kann das q-te Jetbündel erzeugt werden. Methoden zur Berechnung von Kontaktdistribution Kontaktkodistribution Vessiot-Distribution sind in Dom::Manifold und Dom::SubManifold enthalten.
31 31 Gliederung 1 Objektorientierung in MuPAD 2 Mannigfaltigkeiten 3 Vektorfelder und Differentialformen 4 Differentialgleichungen 5 Beispiel: Die Monge-Ampère-Gleichung
32 32 Die Monge-Ampère-Gleichung Die Monge-Ampère-Gleichung lautet u xx u yy u 2 xy = 0. Unabhängige Variablen x, y. Abhängige Variable u. Betrachte Jetbündel J 2 (X, U). Gleichung entspricht der impliziten Untermannigfaltigkeit {(x, y, u, u x, u y, u xx, u xy, u yy ) J 2 (X, U) u xx u yy uxy 2 = 0}.
33 33 Datenstrukturen für die Monge-Ampère-Gleichung DV := Dom::DifferentialVariable([x,y], [u]); DE := Dom::DifferentialExpression( DV ); MNF := Dom::Manifold; SUB := Dom::SubManifold;
34 34 Datenstrukturen für die Kontaktdistribution Erzeuge X und J 2 (X, U): X := MNF( [DV(x),DV(y)] ); Jet := MNF::jetBundle(X,2);
35 35 Kontaktdistribution Berechne Kontaktdistribution von J 2 (X, U): MNF::contactDistribution( Jet ); x + u x u + u xx ux + u xy uy y + u y u + u xy ux + u yy uy uxx uxy uyy
36 36 Kontaktkodistribution Berechne Kontaktkodistribution von J 2 (X, U): MNF::contactCodistribution( Jet ); du u x dx u y dy du x u xx dx u xy dy du y u xy dx u yy dy
37 37 Vessiot-Distribution der Monge-Ampère-Gleichung Definiere die Differentialgleichung: equation := DV(u([x,x]))*DV(u([y,y]))-DV(u([x,y]))ˆ2 = 0; S := SUB(Jet, equation); Berechne Vessiot-Distribution von S: SUB::vessiotDistribution( S ); x + u x u + u xx ux + u xy uy y + u y u + u xy ux + u yy uy uxy + 2 u xy u yy uxx uyy u xx u yy uxx
38 38 Zusammenfassung Datenstrukturen für Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder. Methoden zur formalen Behandlung von Differentialgleichungen. In Zukunft: Methoden weiter ausbauen. Methoden für Distributionen. Vorhandenes Symmetriepaket besser integrieren.
39 39 Zusammenfassung Datenstrukturen für Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder. Methoden zur formalen Behandlung von Differentialgleichungen. In Zukunft: Methoden weiter ausbauen. Methoden für Distributionen. Vorhandenes Symmetriepaket besser integrieren.
40 40 Zusammenfassung Datenstrukturen für Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder. Methoden zur formalen Behandlung von Differentialgleichungen. In Zukunft: Methoden weiter ausbauen. Methoden für Distributionen. Vorhandenes Symmetriepaket besser integrieren.
41 41 Zusammenfassung Datenstrukturen für Mannigfaltigkeiten und Vektorfelder. Methoden zur formalen Behandlung von Differentialgleichungen. In Zukunft: Methoden weiter ausbauen. Methoden für Distributionen. Vorhandenes Symmetriepaket besser integrieren.
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