D-MAVT/D-MATL FS 2018 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie16. y(u, v) = 2u

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1 -MAVT/-MATL FS 28 r. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie6. ie Koordinatentransformation xu, v = 2v, yu, v = 2u bildet Kreise auf Kreise ab. a Wahr. b Falsch. ie Transformation entspricht einer Stauchung um den Faktor 2 gefolgt von einer rehung um 9 Grad entgegen dem Uhrzeigersinn. Folglich bleiben Kreise erhalten. Bitte wenden!

2 2. Betrachten Sie das Integral I = Welche der folgenden Integrale sind gleich I? a y y dx dy x x dy dx. b y x dx dy c y x dx dy as Integral a entsteht aus I durch Vertauschung der Variablen x und y. In c ist der Integrationsbereich durch dieselbe Bedingung wie bei I, nämlich y x, gegeben. a auch der Integrand gleich ist, stimmen diese beiden Integrale überein. Um zu sehen, dass b nicht richtig ist, gibt es mehrere Möglichkeiten. Möglichkeit : Es wird über die Region x y integriert, der Integrand ist derselbe. Intuitiv stimmt b daher nicht. Eine Rechnung bestätigt dies: y y x dx dy = y dx dy = [ ] x 2 y y 2 [ ] y 3 dy = 2 2 dy = = 6 6, [ ] [yx] y y dy = y 2 3 dy = = 3 3. Möglichkeit 2: Vertauschen wir die Variablen x und y, so hat das Integral die Form x y dy dx. Es wird also beide Male über die Region y x integriert, einmal allerdings ist der Integrand gleich x, das andere Mal gleich y. Nun ist aber fast immer y < x, es muss also das Integral in b kleiner sein als I. Siehe nächstes Blatt!

3 3. Es sei B ein Bereich in der x, y-ebene und B der via Polarkoordinaten entsprechende Bereich in der ϱ, ϕ-ebene. Welchem Integral entspricht xy dx dy? B a b c ϱ 2 sin ϕ cos ϕ dϱ dϕ B ϱ 3 sin ϕ cos ϕ dϱ dϕ B ϱ 3 sin ϕ cos 2 ϕ dϱ dϕ B ie allgemeine Formel lautet Also ist b richtig. B fx, y dx dy = f ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ ϱ dϱ dϕ. B Bitte wenden!

4 4. Es sei I = x2 + y 2 df, wobei das reieck mit den Eckpunkten,,, und, bezeichne. Je nach Wahl des Koordinatensystems und der Reihenfolge der Integration lässt sich I auf verschiedene Arten als zweifaches Integral ausdrücken. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? a I = x x2 + y 2 dy dx b I = π 4 c I = cos ϕ ϱ 2 dϱ dϕ x2 + y 2 dx dy Beim dritten Integral wird über das Quadrat mit Eckpunkten,,,,, und, integriert. 5. Betrachten Sie die Koordinatentransformation xu, v = 2u + v, yu, v = u 3v. a Es bezeichne R das Einheitsquadrat in der xy-ebene, also R = [, ] [, ]. Skizzieren Sie den Bereich R der uv-ebene, der unter dieser Transformation entsteht. b Berechnen Sie die Einträge und die eterminante der Matrix J = u y u v y v c Vergleichen Sie das Resultat aus b mit dem Verhältnis der Flächen von R und R. Lösung: a urch Umformungen erhalten wir ux, y = 3 7 x + 7 y, vx, y = 7 x 2 7 y. ie vier Eckpunkte,,,,, und, des Einheitsquadrats in der xy-ebene werden nun zu den vier Punkten,, /7, 2/7, 3/7, /7 und 4/7, /7 in der uv-ebene. a unter einer linearen Transformation Geraden erhalten werden, muss der Bereich R also folgende Form haben:. Siehe nächstes Blatt!

5 v y R /7 2/7 /7 R 3/7 4/7 u x b Es gilt J = u y u Folglich ist die eterminante gleich 7. v y v 2 =. 3 c ie Fläche in der uv-ebene ist 7-mal kleiner, also genau um den Faktor der eterminante der Matrix J. 6. Betrachten Sie den Laplace-Operator f = f xx + f yy + f zz für zweimal differenzierbare Funktionen f : x, y, z fx, y, z in drei Variablen. a Berechnen Sie f für fx, y, z = x 2 y + 2xz + sinxz. b Welche Form hat dieser Laplace-Operator in zylindrischen Koordinaten, das heisst, nach der Koordinatentransformation xϱ, ϕ, z = ϱ cosϕ, yϱ, ϕ, z = ϱ sinϕ, zϱ, ϕ, z = z, wobei ϱ >, ϕ [, 2π und z R sind? Beschränken Sie sich hierzu auf x > und y >, da ansonsten unnötige Komplikationen bei der Berechnung des Arkustangens auftreten. Anleitung: Hierzu definieren Sie zunächst die Funktion f :, [, 2π R R, gegeben durch fϱ, φ, z = f ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, z. iese Funktion erlaubt uns, nun direkt die Variablen ϱ, ϕ und z einzusetzen. ann berechnen Sie die Umkehrungen ϱx, y und ϕx, y und verwenden schliesslich die verallgemeinerte Kettenregel. c Berechnen Sie, unter Zuhilfenahme von Teil b, f für Lösung: und x, y, z >. fx, y, z = z arctan y x 2z x 2 + y 2 Bitte wenden!

6 a Es gilt f x = 2xy + 2z + z cosxz, f y = x 2 und f z = 2xz 2 + x cosxz. Also gilt Folglich ist f xx = 2y z 2 sinxz, f yy =, f zz = 4xz 3 x 2 sinxz. f = 2y + 4xz 3 x 2 + z 2 sinxz. b ie Umkehrformeln für Zylinderkoordinaten lauten ϱx, y = x 2 + y 2, ϕx, y = arctan y x, z = z, sofern x > und y > gilt. Mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel erhalten wir folglich f x = f ϱ ϱ x + f ϕ ϕ x, f y = f ϱ ϱ y + f ϕ ϕ y, f z = f z. Mit der Produktregel und nochmals der Kettenregel bekommen wir f xx = fϱϱ ϱ x + f ϱϕ ϕ x ϱ x + f ϱ ϱ xx + fϕϱ ϱ x + f ϕϕ ϕ x ϕ x + f ϕ ϕ xx, f yy = fϱϱ ϱ y + f ϱϕ ϕ y ϱ y + f ϱ ϱ yy + fϕϱ ϱ y + f ϕϕ ϕ y ϕ y + f ϕ ϕ yy, f zz = f zz. Also ist f gleich f ϱϱ ϱ 2 x + ϱ 2 y + 2 f ϱϕ ϱ x ϕ x + ϱ y ϕ y + f ϕϕ ϕ 2 x + ϕ 2 y+ f ϱ ϱ xx + ϱ yy + f ϕ ϕ xx + ϕ yy + f zz. Nun sind ϱ x = x2 + y 2 x = x2 + y = cosϕ, 2 ϱ y = y x2 + y 2 = y x2 + y 2 = sinϕ. Um ϕ x zu berechnen, differenzieren wir die Gleichung x = ϱx, y cosϕx, y partiell nach x. Es folgt = ϱ x cosϕ ϱ sinϕϕ x und somit ϕ x = ϱ x cosϕ ϱ sinϕ = cos2 ϕ ϱ sinϕ Analog erhalten wir ϕ y = cosϕ ϱ. Schliesslich sind ϱ xx = sin2 ϕ, ϱ ϱ yy = cos2 ϕ, ϱ 2 sinϕ cosϕ ϕ xx = ϱ 2, ϕ yy = 2 sinϕ cosϕ ϱ 2, = sin2 ϕ ϱ sinϕ = sinϕ. ϱ Siehe nächstes Blatt!

7 wobei wir die genauen Rechnungen nicht angeschrieben haben. urch Einsetzen erhalten wir nun f = f ϱϱ + ϱ f ϱ + ϱ 2 f ϕϕ + f zz. c In Zylinderkoordinaten haben wir fϱ, ϕ, z = ϕz 2zϱ. Also gilt Folglich ist f ϱ = 2z, fϱϱ =, fϕ = z, fϕϕ =, fz = ϕ z 2 2ϱ, fzz = 2ϕ z 3. fx, y, z = f ϱϱ + ϱ f ϱ + ϱ 2 f ϕϕ + f zz = 2ϕ z 3 2z ϱ. 7. a Berechnen Sie x 2 y 2 df, wobei das durch die Kurven y = x 2 und y = eingeschlossene Gebiet bezeichnet. b Berechnen Sie xe x+y df, wobei = [, ] [, ] das Einheitsquadrat bezeichnet. c Berechnen Sie e x2 +y 2 df, Lösung: wobei = {x, y R 2 : x 2 + y 2 } den Einheitskreis bezeichnet. a Es gilt b Es gilt x 2 y 2 df = = 3 xe x+y df = x 2 x 2 y 2 dy dx = x 2 x 6 dx = 3 xe x+y dy dx = Mittels partieller Integration erhalten wir [ y x x e x+ e x dx = [ xe x+ e x ] x= x= ] x 2 dx x 2 x 8 dx = 3 [ x 3 3 x9 9 ] = x [ e x+y] y= y= dx = x e x+ e x dx. e x+ e x dx = e 2 e [ e x+ e x] x= x= = e2 e e 2 e e + = e. Bitte wenden!

8 c Wir rechnen in Polarkoordinaten, setzen also x = r cos φ und y = r sin φ für r und φ 2π. as Flächenelement berechnet sich dann als df = r dφ dr und das gesuchte Integral ist gleich 2π re r2 dφ dr = 2π re r2 dr = π 2re r2 dr = π [e r2] = π. e 8. Sei S = {x, y [, ] 2 : x 2 + y 2 }. y x Berechne den Schwerpunkt von S. Lösung: Sei F S die Fläche von S. a S ein Einheitsquadrat minus einen Viertelkreis von Radius ist, gilt F S = π 4. Für die x-koordinate x S des Schwerpunkts gilt F S x S = xdydx x 2 = x 2 xdx = 2 x 2 xdx = 2 u2 u + du. Wir haben u2 dx = FlächeViertelkreis = π 4. Andererseits gilt per Substitution v = u 2, dass u2 udu = 2 vdv = 2 [ 2 ] 3 v 3 2 = 3. Insgesamt ergibt sich x S = π 4 2 π Aus Symmetriegründen liegt der Schwerpunkt auf der Geraden y = x, also gilt y S = x S.7766.