D-MAVT/D-MATL FS 2018 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie1

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1 D-MAVT/D-MATL FS 8 Dr. Andreas Steiger Analysis IILösung - Serie. Das Volumenelement der Koordinaten, welche in der untenstehenden Abbildung definiert sind, ist gegeben durch z Q Ρ Α Β y (a) ϱ cos β dϱ dα dβ. (b) (c) (d) (e) ϱ cos α dϱ dα dβ. ϱ sin β dϱ dα dβ. ϱ dϱ dα dβ. ϱ sin β dϱ dα dβ. Die kartesischen Koordinaten werden wie folgt durch die Koordinaten (ϱ, β, α) ausgedrückt ϱ cos α cos β, y ϱ sin α cos β und z ϱ sin β, wobei ϱ <, α < π und π/ β π/. Das Volumenelement ergibt sich dann aus dv ddydz det(j) dϱdαdβ mit cos(α) cos(β) r sin(α) cos(β) r cos(α) sin(β) (, y, z) J (ϱ, α, β) sin(α) cos(β) r cos(α) cos(β) r sin(α) sin(β). sin(β) r cos(β) Also ist (a) die richtige Antwort. det(j) ϱ cos β Bitte wenden!

2 . Betrachten Sie die Funktion f : R R erklärt durch die Vorschrift ( ) (, y) y. y Es sei J(, y) die Jacobimatri der Funktion f an der Stelle (, y). Welche der folgenden Aussagen ist wahr? (a) det J(, y) für alle (, y) R. (b) det J(, y) für alle (, y) R. (c) det J(, y) genau dann, wenn (, y) (, ). (d) det J(, y) 6 auf der Menge M {(, y) R + y }. Die Aussage c) ist die richtige, denn det J(, y) y y ( + y ). 3. Sei T ein Tetraeder mit Eckpunkten (,, ), (,, ), (,, ), (,, 3). Berechnen Sie das Integral f(, y, z)dv, mit f(, y, z) + y. (a) 3 (b) 3 (c) Es gilt: y T ( + y)dzdyd ( + y)(3 3 3 y)dyd [( + y)z] z3 3 3 y z dyd (3 3 9 y + 3y 3 y )dyd [(3 3 )y + (3 9 )y 3 y3 3 ]y y d [(3 3 )( ) + (3 9 )( ) ( )3 ]d 3 ( ( ) 3 )d [ ( ) ] 3. Siehe nächstes Blatt!

3 . Gegeben ist ein Zylinder Z (Dichte ) mit Radius R und Höhe h der senkrecht auf der y-ebene steht. Welches der folgenden Integrale in Zylinderkoordinaten beschreibt das Trägheitsmoment Θ des Zylinders Z bezüglich der z-achse? (a) π h r dz dr dϕ (b) π h r dz dr dϕ π (c) h r3 dz dr dϕ (d) π h r dz dr dϕ Das Trägheitsmoment bei konstanter Massendichte ist das Integral ( + y ) d dy dz. In Zylinderkoordinaten transformiert es sich zu r r dz dr dϕ über ϕ [, π] und z [, h] sowie r [, R]. Bitte wenden!

4 5. Das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale mit Radius R und konstanter Flächendichte bezüglich einer Achse durch den Mittelpunkt ist proportional zu (a) R. (b) R 3. (c) R. (d) R 9/. (e) R 5. Das Trägheitsmoment bei konstanter Flächendichte m R (mit m die Massendichte und R die Dicke der Kugelschale) ist das Integral m ( + y ) d dy dz. In Kugelkoordinaten transformiert es sich zu m r cos θ r cos θ dϕ dθ dr, wobei über ϕ [ π, π] und θ [ π/, π/] sowie r [R R, R] integriert wird. Die inneren beiden Integrale über ϕ und θ liefern lediglich einen konstanten Faktor. Das verbleibende Integral R R mr dr ist mr R, also ist (c) richtig. Aliter: Wir wissen bereits, dass das Trägheitsmoment einer Vollkugel mit Radius R proportional zu R 5 ist. Das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale mit äusserem Radius R und Schalendicke R ist folglich proportional zu R 5 (R R) 5 R R + vernachlässigbare kleinere Terme. Also ist (c) die richtige Antwort. 6. Berechne den Betrag der Determinante der Jacobi-Matri für folgende Koordinatentransformationen. a) Von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten. b) Von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten. c) Von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten. Was fällt dir auf? Lösung: a) Die Zylinderkoordinaten sind gegeben durch ϱ cos(ϕ) y ϱ sin(ϕ) z z, wobei ϱ <, ϕ < π und z R. Die Jacobi-Matri J ist dann cos(ϕ) ϱ sin(ϕ) (, y, z) J (ϱ, ϕ, z) sin(ϕ) ϱ cos(ϕ). Siehe nächstes Blatt!

5 Der Betrag der Jacobi-Matri ist somit b) Die Kugelkoordianten sind gegeben durch det(j ) ϱ ( cos(ϕ) + sin(ϕ) ) ϱ. r cos(ϕ) sin(ϑ) y r sin(ϕ) sin(ϑ) z r cos(ϑ), wobei r <, ϕ < π und ϑ π. Die Jacobi-Matri J ist cos(ϕ) sin(ϑ) r sin(ϕ) sin(ϑ) r cos(ϕ) cos(ϑ) (, y, z) J (r, ϕ, ϑ) sin(ϕ) sin(ϑ) r cos(ϕ) sin(ϑ) r sin(ϕ) cos(ϑ), cos(ϑ) r sin(ϑ) und der Betrag deren Determinante ist det(j ) r cos(ϕ) sin(ϑ) 3 + r sin(ϕ) sin(ϑ) cos(ϑ) +r sin(ϕ) sin(ϑ) 3 + r cos(ϕ) sin(ϑ) cos(ϑ) r sin(ϑ) ( cos(ϕ) sin(ϑ) + sin(ϕ) cos(ϑ) + sin(ϕ) sin(ϑ) + cos(ϕ) cos(ϑ) ) r sin(ϑ) ( cos(ϕ) + sin(ϕ) ) ( cos(ϑ) + sin(ϑ) ) r sin(ϑ). c) Die Transformationsgleichungen von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten lauten r(, y, z) + y + z ( y k für >, y ϕ(, y, z) arctan + kπ wobei k für < ) k für >, y < ( ) θ(, y, z) π arctan z für + y. + y Daraus kann man die Jacobi-Matri J 3 (r, ϕ, θ) (, y, z) berechnen. r + y + z (analog für y und z) + y + z ϕ ϕ y + ( y + ( y ) y y + y ) ϕ z θ + z +y θ z + z + y z ( + y ) 3/ z ( + y + z ) + y (analog für y) + y + y + y + z +y Bitte wenden!

6 (r, ϕ, θ) J 3 (, y, z) Die Jacobi-Determinante ist dann +y +z y +y y z +y +z +y +z +y z yz +y ( +y +z ) +y ( +y +z ) +y +y +z ( det(j 3 ) + y ) y z y ( + y ) z ( + y + z ) 3/ ( + y ) 3/ ( + y ) ( + y ) + ( + y ) z ( + y + z ) 3/ ( + y ) 3/ + y + z + y. Daraus sieht man, dass det(j 3 ) + y + z + y + z + y r sin(θ) det(j ). 7. Berechnen Sie das oberhalb der Ellipse + y und unterhalb der Fläche z liegende Volumen. Hinweis: Finden Sie Koordinaten in der y-ebene in denen die Ellipse eine besonders einfache Form hat. Lösung: Das Volumen erhält man durch Integration von f (, y) über die Fläche A R, die durch die Ellipse + y begrenzt ist: V f (, y) ddy. A Siehe nächstes Blatt!

7 Mit folgendem Koordinatenwechsel (, y) (s, ϕ) s cos (ϕ) y s sin (ϕ) vereinfachen wir das Problem. Die Ellipse ist nun durch die Gleichung s gegeben. Die Funktion f ist gegeben durch f (s, ϕ) s cos (ϕ). Mit Hilfe der Jacobideterminante findet man: ddy s dsdϕ. So wird das Integral zu π f (, y) ddy f (s, ϕ) s dsdϕ A π π ( s s 3 cos (ϕ) ) dsdϕ ( πs πs 3 ) ds (s s ) 3π Ein gerader Kreiszylinder mit Radius R, ( +y R ), und Höhe H, ( z H), habe eine Dichte von ϱ(, y, z) + + y + z. Berechnen Sie die Masse und das Trägheitsmoment bei Rotation um die z-achse. Lösung: In Zylinderkoordinaten ist das Gebiet gegeben durch r cos(ϕ) y r sin(ϕ) z z r [, R], ϕ [, π], z [, H]. Die Jacobideterminante beträgt r, die Dichte ϱ + r + z. Die Masse ist gegeben durch also berechnen wir sie zu H π ( H π ( HR π V ϱdv. H ( + r + z)rdrdϕdz π H rdrdz + + HR Das Trägheitmoment ist gegeben durch + H R V r 3 drdz + H ( + r + z)rdrdz ) zrdrdz ) πhr ( + R + H). ϱ( + y )dv. Bitte wenden!

8 Mit + y r, dv rdrdϕdz lautet das Trägheitsmoment in Zylinderkoordinaten: H π ( H π ( HR π H ( + r + z)r rdrdϕdz π H r 3 drdz + + HR6 6 + H R 8 r 5 drdz + H ( + r + z)r rdrdz ) zr 3 drdz ) πhr (6 + R + 3H). 9. In der y-ebene werde der Bereich B durch die Strecke von (, ) nach (, ) und dem Kurvenbogen mit der Polardarstellung ϱ sin( φ ), φ π begrenzt. Man berechne das Volumen des über dem Bereich B liegenden Teils der Einheitskugel {(, y, z) : + y + z }. Lösung: Zur Berechnung eignen sich am besten Polarkoordinaten (ϱ, φ)... y B {(ϱ, φ) : ϱ sin( φ ), φ < π} V B ϱ df mit df ϱ dϱ dφ. V π sin(φ/) 3 3 π π [ ϱ ϱ dϱ dφ 3 ( ϱ ) 3/ cos 3 ( φ ) dφ 3 [ 3 sin(3φ ) + 3 sin(φ ) φ π ] π ] sin(φ/) cos(3φ ) + 3 cos(φ ) dφ dφ 3 ( π) π 3 8 9