Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler

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1 Inhaltsverzeichnis 9 Integralrechnung für Funktionen mehrerer ariabler Integration über ebene Bereiche in kartesischen Koordinaten Integration über ebene Bereiche in Polarkoordinaten Integration über ebene Bereiche in allgemeinen Koordinaten Anwendungsbeispiel: Flächenschwerpunkte Integration über dreidimensionale Bereiche Integration über dreidimensionale Bereiche in allgemeinen Koordinaten Anwendungsbeispiele

2 Kapitel 9 Integralrechnung für Funktionen mehrerer ariabler 9. Integration über ebene Bereiche in kartesischen Koordinaten Die Herleitung bestimmter Integrale über ebene Bereiche erfolgt in Analogie zur Herleitung bestimmter Integrale über Intervallen. Dabei sind allerdings Einschränkungen an den betrachteten Bereich nötig. 9.. Definition (Normalbereich) { } x-achse Eine Menge R heißt Normalbereich bzgl. der, wenn es stetige Funktionen y-achse { } { } ϕ, ϕ {(x, y) : a x b, ϕ (x) y ϕ gibt, so dass gilt (x)}. ψ, ψ {(x, y) : c y d, ψ (y) x ψ (y)} 9.. Beispiel Ein achsenparalleles Rechteck läßt sich als Normalgebiet bzgl. der x-achse mit ϕ (x) c, ϕ (x) d {(x, y) : a x b, c y d} 36

3 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 37 oder als Normalgebiet bzgl. der y-achse mit ψ (y) a, ψ (y) b darstellen. {(x, y) : c y d, a x b} 9..3 Beispiel Das ebiet sei durch die Parabel y x, die erade y und die erade x begrenzt. Normalgebiet bzgl.der x-achse: Normalgebiet bzgl. der y-achse: {(x, y) : x, y x } {(x, y) : y 4, y x } 9..4 Bemerkung Für die folgenden Betrachtungen darf der Bereich aus endlich vielen Normalgebieten bzgl. der x-achse oder der y-achse zusammengesetzt sein, d.h.... n, wobei i, i,..., n Normalbereiche bzgl. der x-achse oder der y-achse sind und höchstens an den Rändern übereinstimmen dürfen Beispiel sei begrenzt durch x + y mit x, y, y + (x ) mit x 3, y x +, y (x ) +.

4 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 38 Damit ergibt sich 3 4, wobei {(x, y) R : y, y x } {(x, y) R : x, y x + } 3 {(x, y) R : x, y (x ) + } 4 {(x, y) R : y, x y + } Wir wollen nun das olumen des Zylinders mit einer rundfläche in der xy-ebene und oberer Begrenzung durch eine stetige Funktion z f(x, y) mit f(x, y) für alle (x, y) bestimmen. Dazu wird die xy-ebene in achsenparallele Rechtecke der Fläche x y eingeteilt. R,..., R n seien diejenigen Rechtecke, die ganz in liegen. Mit (x i, y i ) bezeichnen wir einen beliebigen festen Punkt des Rechtecks R i. Eine Näherung für das gesuchte olumen ist dann die Summe der olumina der über den Rechtecken R i errichteten Säulen der Höhe z i f(x i, y i ), d.h. n S n f(x i, y i ) x y. i

5 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER Definition (Doppelintegral, Bereichsintegral) Falls für x, y der renzwert lim n S n existiert, dann heißt f(x, y) über integrierbar. Der renzwert wird mit f(x, y) d bezeichnet und heißt Doppel- oder Bereichsintegral von f(x, y) über Bemerkung Wie beim eindimensionalen Integrationsbereich garantiert die Stetigkeit von f die Existenz des Bereichsintegrals, wenn zusätzlich endliche ereinigung von Normalbereichen ist. Im folgenden befassen wir uns mit der praktischen Berechnung solcher Bereichsintegrale für Normalbereiche bzgl. der x- bzw. y-achse. a) Berechnung für Normalbereich bzgl. der x-achse Sei {(x, y) R : a x b, ϕ (x) y ϕ (x)} mit stetigen Funktionen ϕ, ϕ Man stellt sich nun vor, dass man für jedes feste x über das zugehörige y-intervall [ϕ (x), ϕ (x)] bzgl. der y-ariablen integriert und anschließend die infinitesimal dünnen Scheibchen für alle x [a, b] aufsammelt, d.h. [ b ] ϕ (x) f(x, y) d f(x, y) dy dx a. Schritt: Integration für festes x über zugehöriges y-intervall; liefert eine Funktion von x. Schritt: Integration des Ergebnisses des. Schritts bzgl. x für x [a, b] liefert reelle Zahl. ϕ (x) Die Integration erfolgt immer von innen nach außen!!! b) Berechnung für Normalbereich bzgl. der y-achse Sei {(x, y) R : c y d, ψ (y) x ψ (y)} mit stetigen Funktionen ψ, ψ. Für jedes feste y integriert man nun über das zugehörige x-intervall [ψ (y), ψ (y)] bzgl. der x-ariablen und sammelt anschließend die infinitesimal dünnen Scheibchen in y-richtung für y [c, d] auf, d.h. [ d ] ψ (y) f(x, y) d f(x, y) dx dy c. Schritt: Integration für festes y über zugehöriges x-intervall; liefert eine Funktion von y. Schritt: Integration des Ergebnisses des. Schritts bzgl. y für y [c, d] liefert reelle Zahl. ψ (y) Die Integration erfolgt immer von innen nach außen!!! c) Allgemeine ebiete zerlegt man in eine endliche ereinigung von Normalbereichen. Das Integral ist dann die Summe der Integrale über die Teilbereiche. Die Zerlegung ist nicht eindeutig, wohl aber das Endergebnis! 9..8 Beispiel Sei f(x, y) x + y und [, ] [, 4] {(x, y) R : x, y 4}.

6 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 4 ist sowohl Normalgebiet bzgl. der x-achse als auch bzgl. der y-achse. Es gibt also zwei Möglichkeiten für die Berechnung von f(x, y) d f(x, y) d [ 4 ] (x + y) dy dx [xy + ] y4 y dx (4x + 8) dx x + 8x x x 4 y oder f(x, y) d [ ] (x + y) dx dy [ x + yx x x ] dy ( + y y) dy 3 y + y y Beispiel Sei f(x, y) 4xe y + y und {(x, y) : x, x y 4}. ist Normalgebiet bzgl. der x-achse. Wir müssen also [ 4 ] f(x, y) d (4xe y + y) dy dx x berechnen. e y ist aber bzgl. y nicht elementar integrierbar. Wir versuchen daher einen anderen Weg und stellen dazu als Normalgebiet bzgl. der y-achse dar, d.h. {(x, y) : y 4, x y}. Damit erhalten wir nun [ 4 ] y f(x, y) d (4xe y + y) dx dy [ x e y + yx [ ye y + y y ye y dy + 4 x y x ] dy y 3 dy y ] dy

7 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 4 6 e u du + y4 5 y 5 y mit der Substitution u y im ersten Integral d.h. du y dy und den renzen u, u 6 e u u6 u e e Satz (Flächeninhalte) Der Flächeninhalt von ist gleich d denn: d ist nach Definition das olumen des Zylinders mit rundfläche und Höhe, d.h. rundfläche mal, also gleich der rundfläche. 9.. Beispiel Wir suchen den Inhalt der von xy 4, y x, x 4, y berandeten Fläche. Es gilt mit {(x, y) R : x, y x} {(x, y) R : x 4, y 4 x } Somit erhalten wir d x (y yx y dy dx + ) dx /x 4 4 x dx + x dx x x + 4 ln x x + 4 ln ( x4 x y y4/x y dy dx ) dx 9. Integration über ebene Bereiche in Polarkoordinaten Je nach estalt von ist die Berechnung von f(x, y) d

8 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 4 mit Hilfe von Polarkoordinaten einfacher. Statt des kartesischen Flächenelementes dx dy hat man nun das Flächenelement in Polarkoordinaten: r dr dϕ Mit x r cos ϕ, y r sin ϕ berechnet man somit f(x, y) d für a) Bereiche zwischen zwei festen Winkeln, d.h. {(x, y) R : x r cos ϕ, y r sin ϕ, ϕ ϕ ϕ, r (ϕ) r r (ϕ)} [ ϕ ] r (ϕ) f(x, y) d f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ ϕ r (ϕ) b) Bereiche zwischen zwei festen Radien, d.h. {(x, y) R : x r cos ϕ, y r sin ϕ, r r r, ϕ (r) ϕ ϕ(r)} [ r ] ϕ (r) f(x, y) d f(r cos ϕ, r sin ϕ)dϕ r dr r ϕ (r) 9.. Beispiel Sei f(x, y) x y und die Achtelkreisfläche {(x, y) R : r cos ϕ, y r sin ϕ, ϕ π 4, r }. x y d π 4 π 4 π 4 (r cos ϕ)(r sin ϕ)r dr dϕ [sin ϕ cos ϕ 4 ] r r4 dϕ 4 sin ϕ cos ϕ dϕ r

9 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 43 u u u u du 9.. Beispiel Inhalt der von der Cardioide (Herzlinie) berandeten Fläche; Polarkoordinatendarstellung r(ϕ) + cos ϕ, ϕ π, d.h. d π +cos ϕ π r r π π r dr dϕ r+cos ϕ ( + cos ϕ) dϕ dϕ ( + cos ϕ + (cos ϕ + )) dϕ (3 ϕ + sin ϕ + 4 sin ϕ) ϕπ 3 π ϕ

10 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER Integration über ebene Bereiche in allgemeinen Koordinaten 9.3. Satz ( Substitutionsregel ) Ist x x(u, v), y y(u, v) und {(x, y) R : x x(u, v), y y(u, v), a u b, g (u) v g (u)} so gilt: [ b g ] (u) x x (u, v) (u, v) f(x, y) d r ϕ a g (u) f(x(u, v), y(u, v)) u u (u, v) v v (u, v) 9.3. Beispiel (Polarkoordinaten) Für x x(r, ϕ) r cos ϕ, y y(r, ϕ) r sin ϕ ist: x x r (r, ϕ) ϕ (r, ϕ) (r, ϕ) (r, ϕ) cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ r cos ϕ + r sin ϕ r Also f(x, y) d f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ dv du Beispiel Zur Berechnung des Flächeninhalts der Ellipse x + y, d.h. a b {(x, y) R : x x(r, t) a r cos t, y y(r, t) b r sin t, t π, r } benötigen wir x x r (r, t) ϕ (r, t) (r, t) (r, t) a cos t a r sin t b sin t b r cos t a b r(cos t + r sin t) a b r Damit gilt r ϕ d π π Der Flächeninhalt der Ellipse beträgt also: π a b a b r t a b r dr dt a b r dt dr tπ t π a b r dr π a b r r r π a b Beispiel Das olumen eines Zylinders mit der rundfläche x + y (Ellipse), der nach oben durch a b die Fläche f(x, y) b x + a y + begrenzt ist, beträgt π f(x, y) d (b a r cos t + a b r sin t + )abr dr dt dr

11 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 45 π π π ( b 3 a 3 r 3 + abr ) dr dt ( 4 a3 b 3 r 4 + ) r abr r ( 4 a3 b 3 + ) ab dt ) π ( 4 a3 b 3 + ab dt ( a b + ) abπ 9.4 Anwendungsbeispiel: Flächenschwerpunkte Der Schwerpunkt (Massenmittelpunkt) einer ebenen Fläche (Platte) mit Massendichte m(x, y) ist gegeben durch die Schwerpunktkoordinaten x s x m(x, y) d, y s y m(x, y) d M M mit der esamtmasse M m(x, y) d Ist speziell m(x, y) (homogene Massendichte), dann ist M der Flächeninhalt von und (x s, y s ) sind die Koordinaten des geometrischen Flächenschwerpunktes Beispiel Schwerpunkt der von den eraden x, y und dem Parabelbogen y x begrenzten Platte mit ebener Massendichte m(x, y) x + y Es gilt {(x, y) R : x, y x }. M (x + y ) d x (x + y ) dy dx

12 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 46 Somit gilt: M x 6 5 x [ yx + ] 3 y3 x y dx ( 3 x6 + x 4 x 3 ) dx x(x + y ) dy dx 35 8, M y x y(x + y ) dy dx x s M M x , y s M M y Beispiel eometrischer Schwerpunkt eines iertelkreises mit Radius R. Mit m(x, y) gilt Aus Symmetriegründen gilt y s x s. M 4 πr - Fläche x s 4 R π 4R 3π R r cos ϕ r dr dϕ 9.5 Integration über dreidimensionale Bereiche erallgemeinerung der Definitionen und Erläuterungen der vorhergehenden Abschnitte Definition (Normalbereiche) R 3 heißt Normalbereich bzgl. der x-achse, wenn sich darstellen läßt als {(x, y, z) R 3 : a x b, ϕ (x) y ϕ (x), ψ (x, y) z ψ (x, y)} bzw. {(x, y, z) R 3 : a x b, ψ (x) z ψ (x), ϕ (x, z) y ϕ (x, z)} Normalbereiche bzgl. der y-achse bzw. z-achse werden analog definiert Beispiel { (x, y, z) R 3 : x, x y x +, sin (. x y) z sin (. x y) + }

13 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 47 Es gilt { (x, y) R : x, x y x + } ist Normalgebiet bzgl. der x-achse in der xy-ebene. Man erhält daraus, indem man jedem Punkt (x, y ) eine untere z-komponente sin (. x y ) und eine obere z-komponente sin (. x y ) + zuordnet Bemerkung Der Bereich darf auch hier wieder aus endlich vielen Normalbereichen zusammengesetzt sein. Für die Berechnung eines Integrals einer Funktion f(x, y, z) über R 3 wird der R 3 in kleine Würfel zerlegt.,..., n seien diejenigen Würfel, die ganz in liegen mit olumen,..., n. Eine Näherung für das gesuchte Integral ist n S n f(x j, y j, z j ) j j Definition Falls für jede beliebige Zerlegung von mit max j {,...,n} j (n ) der renzwert lim n S n existiert, dann heißt f(x, y, z) über integrierbar. Der renzwert wird mit f(x, y, z) d bezeichnet und heißt Dreifach- oder olumenintegral von f(x, y, z) über. Berechnung für Normalbereich bzgl. der x-achse, d.h. {(x, y, z) R 3 : a x b, ϕ (x) y ϕ (x), ψ (x, y) z ψ (x, y)}. { b [ ϕ (x) ] } ψ (x,y) f(x, y, z) d f(x, y, z) dz dy dx a ϕ (x) ψ (x,y)

14 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 48. Schritt: Integration für festes x und festes y über zugehöriges z-intervall; liefert eine Funktion von x und y.. Schritt: Integration des Ergebnisses des. Schritts für festes x über zugehöriges y-intervall; liefert eine Funktion von x. 3. Schritt: Integration des Ergebnisses des. Schritts über zugehöriges x-intervall; liefert eine reelle Zahl. Die Integration erfolgt immer von innen nach außen!!! Bemerkung Für Normalbereiche bzgl. der y- oder der x-achse erfolgt die Berechnung entsprechend Beispiel Sei {(x, y, z) R 3 : x, y x, z x y} und f(x, y, z) y e z ye z d x x y x x y e z dz dy dx zx y (y e z ) dy dx z (y e x y y) dy dx {( y )e x y } yx y dx y {( x ) } x + e x dx x x 6 x3 + e x x 3 + e e. 9.6 Integration über dreidimensionale Bereiche in allgemeinen Koordinaten 9.6. Satz ( Substitutionsregel ) Ist x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w) und {(x, y, z) R 3 : x x(u, v, w), y y(u, v, w), z z(u, v, w), x a u b, g (u) v g (u), h (u, v) w h (u, v)} so gilt: f(x, y, z) d b a g (u) h (u,v) g (u) h (u,v) f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) x u u u x v v v x w w w dw dv du

15 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER Beispiel (Zylinderkoordinaten) Zylinderkoordinaten, d.h. in der xy-ebene Polarkoordinaten x r cos ϕ, y r sin ϕ und Höhe z z. x x x r ϕ d dr dϕ dz r r ϕ ϕ cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ dr dϕ dz (r cos ϕ + r sin ϕ)dr dϕ dz r dr dϕ dz Zylinderkoordinaten eignen sich bei der Integration über (bzgl. der z-achse) rotationssymmetrische Körper Beispiel (Kugelkoordinaten) Für die Einführung von Kugelkoordinaten führen wir folgende Bezeichnungen ein. r - Abstand von (x, y, z) zum Ursprung ψ - Winkel zwischen der xy-ebene und dem Ursprungsstrahl durch den Punkt (x, y, z); ψ [ π, π ] ϕ - Winkel zwischen der x-achse und dem Ursprungsstrahl durch die Projektion des Punktes (x, y, z) in die xy-ebene; ϕ [ π, π] Mit diesen Bezeichnungen gilt: x r cos ψ cos ϕ y r cos ψ sin ϕ z r sin ψ

16 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 5 und d x r r r x ϕ ϕ ϕ x ψ ψ ψ dr dϕ dψ cos ψ cos ϕ r cos ψ sin ϕ r sin ψ cos ϕ cos ψ cos ϕ r cos ψ cos ϕ r sin ψ sin ϕ sin ψ r cos ψ dr dϕ dψ (r cos 3 ψ cos ϕ + r cos ψ sin ϕ + r sin ψ cos ψ cos ϕ + r cos 3 ψ sin ϕ)dr dϕ dψ (r cos 3 ψ + r cos ψ sin ψ)dr dϕ dψ r cos ψ drdϕ dψ Beispiel Integration von f(x, y, z) über der Einheitskugel. {(x, y, z) : x r cos ψ cos ϕ, y r cos ψ sin ϕ, z r sin ψ; π ψ π, π ϕ π, r } d π π π π π π π π r cos ψ dr dϕ dψ π cos ψ π 3 r3 r r dϕ dψ cos ψ 3 πdψ 3 π sin ψ ψ π ψ π 3 4π Dies ist (wie zu erwarten war) gerade das olumen der Einheitskugel. 9.7 Anwendungsbeispiele a) d - olumen des Körpers b) olumenschwerpunkt bei gegebener Massendichte m(x, y, z). Schwerpunktkoordinaten x s x m(x, y, z) d M y s y m(x, y, z) d M

17 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 5 wobei z s z m(x, y, z) d M M m(x, y, z) d die esamtmasse ist Beispiel Das olumen des Rotationskörpers {(x, y, z) : x r cos ϕ, y r sin ϕ, z z; z, ϕ π, r z } beträgt π z d r drdϕ dz π π [ ] z r dϕ dz r z4 dϕ dz π 5 z5 π 5 3 Schwerpunkt bei homogener Massendichte m(x, y, z), d.h. M d 3 5 π. Aus Symmetriegründen gilt x s y s. z s 3π/5 z d π z 5 3π 5 3π 3 3 π 5 3, d.h. der Schwerpunkt hat die Koordinaten (,, 5 3 ) z r dr dϕ dz 9.7. Beispiel (ravitationskraft) Zwei Massenpunkte mit Massen m, m und Abstand r ziehen sich nach dem Newtonschen ravitationsgesetz an mit einer Kraft F γ m m r (γ: ravitationskonstante). Berücksichtigt man auch die Richtung der Kraft, so lautet das esetz F γ m m r 3 r,

18 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 5 wobei r denektor vom einen zum anderen Massenpunkt darstellt. r m Zwischen Erde und Mensch (z.b.) wirkt auch die ravitationskraft (ewicht), aber die Erde ist kein Massenpunkt! Wir berechnen die ravitationskraft über ein olumenintegral. Erde als Ursprungskugel K mit Radius R, Massenpunkt mit Masse m (Mensch) an Position (,, a) mit a R. m m a dm R Beitrag zur ravitationskraft durch ein Massenelement dm an der Stelle x (x, y, z) innerhalb der Kugel: df γ dm m x r 3 r mit r y. z a Bezeichnet ρ( x) die Dichte der Kugel an Position x, so ist also dm( x) ρ( x)d, d F γ ρ( x) m r 3 r d. Zur ereinfachung nehmen wir jetzt ρ( x) als konstant an, ρ( x) ρ. Für die drei Komponenten der esamtanziehungskraft F (F x, F y, F z ) erhalten wir damit x F x γρm (x + y + (z a) d ) 3/ K y F y γρm (x + y + (z a) d ) 3/ K

19 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 53 F z γρm K z a (x + y + (z a) d ) 3/ Aus Symmetriegründen ist F x F y. Wir berechnen F z mit Hilfe von Zylinderkoordinaten. In Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) ist die Kugel gegeben durch r R, ϕ π, R r z + R r, und es ist d r dϕ dz dr. F z γρm K γρm R z a (x + y + (z a) d ) 3/ + R r π R r + R r z a (r + (z a) r dϕ dz dr ) 3/ R z a πγρm R r (r + (z a) r dz dr ) 3/ R + R r πγρm (r + (z a) ) / r dr R r R r πγρm (r + ( ) / R r a) πγρm R r (r + ( R r a) ) / dr r r (a ) / R r + R + a ( a ) / dr. R r + R + a Das Integral über den ersten Term erledigen wir mit der Substitutionsregel: s a R r + R + a R r also ds ar R r I ar s R a dr, a R r (a R r + R + a ) / dr R +a s + R + a 4a (R+a) s Für den zweiten Term erhalten wir entsprechend mit der Substitution s a R r + R + a R r also ds ar R r I ar s R a dr, a R ds. r ( a R r + R + a ) / R +a s + R + a 4a (R a) s ds. a (s R a ) a (s R a )

20 KAPITEL 9. INTERALRECHNUN FÜR FUNKTIONEN MEHRERER ARIABLER 54 Damit erhalten wir insgesamt F z πγρm (I I ) πγρm 4a πγρm 4a (R a) s + R + a ds (R+a) s [ 3 ] (R a) s3/ + (R + a )s / (R+a) (Beachte: R a, also (R a) a R) [ πγρm 4a 3 (a R)3 + (R + a )(a R) + ] 3 (R + a)3 (R + a )(R + a) ; [ ] πγρm 4a 3 ((R + a)3 (a R) 3 ) 4(R + a )R (verwende: (R + a) 3 R 3 + 3R a + 3Ra + a 3, (a R) 3 a 3 3a R + 3aR R 3 ) [ ] 4 πγρm 4a 3 (R3 + 3a R) 4(R + a )R πγρm 4a 8 3 R3 γ(ρ 4π 3 R3 )m a. Hierin ist 4π 3 R3 das olumen der Kugel, also ρ 4π 3 R3 m die Masse der Kugel. Wir erhalten so das bemerkenswerte Resultat: Die ravitationskraft für die (ausgedehnte) Kugel mit Masse m ist identisch zu der für einen im Schwerpunkt ( Kugelmittelpunkt) angebrachten Massenpunkt mit Masse m.